四川省眉山市田家炳中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析

四川省眉山市田家炳中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题，使，则 ( )
A．，使 B．，使
C．，使 D．，使
参考答案：
B
2. 下列命题中正确的
是（）A．一条直线和一个点确定一个平面 B．三点确定一个平面
C．三条平行线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面
参考答案：
D
略
3. 无论取何实数值，直线都过定点P,则P点坐标为
（）
A．(-
1,3) B．C．D ．
参考答案：
D
4. 在三角形ABC中，如果，那么等于
A． B． C． D．（改编题）参考答案：
B
5. 函数的一个单调递增区间是（）
A． B. C. D.
参考答案：
A
6. 函数f（x）=sinx?ln|x|的部分图象为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x∈（0，1）时，函数f（x）的图象的位置，利用排除法可得答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）?ln|﹣x|=﹣sinx?ln|x|=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，
故排除CD，
当x∈（0，1）时，sinx＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，
故排除B，
故选：A
7. 已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意总有
，则下列大小关系一定正确的是( )
A． B．
C. D．
参考答案：
A
8. 下列求导运算正确的是( )
A． B．C．= D．参考答案：
B
9. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则
=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】简单线性规划．
【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点
P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，
构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．
设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，
则PB==，
于是=4x，解得，从而．
故选D．10. 若函数是奇函数,则=( )
A. 0
B.2
C. 2
D.2
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．测得米，并在点测得塔顶的仰角为,则塔高
= 米.
参考答案：
12.
将十进制数56
转化为二进制数____________
参考答案：
13. 若a≤ – 1，则不等式≥ a的解是。

参考答案：
( –∞，– 1 ]∪[ 1，+ ∞ )
14. 函数的定义域为A，若时总有，则称为单函数，例如：函数是单函数。

给出下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。

其中的真命题是。

（写出所有的真命题的序号）
参考答案：
②③④
略
15. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为锐角时，点的横坐标的取
值范围是
．（改编题）
参考答案：
16. 若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n= ．
参考答案：
（﹣2）n﹣1
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，
整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1=（﹣2）n﹣1
经验证当n=1时，上式也适合，
故答案为：（﹣2）n﹣1
17. 若命题“”是假命题，则实数的取值集合是____________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（Ⅱ）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
参考答案：
解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
（1）基本事件共有12个：
（0，0），（0，1），（0， 2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P（A）==.
（2）试验的全部结果所构成的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件A的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为
P(A)==.
19. (本题满分10分)在圆锥中，已知的直径的中点．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线.
参考答案：
（1）因为，D是AC的中点，
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD；
（2）（方法一）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC 所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△POD中，在Rt△OHC中，。

（方法二）用体积法求出点到平面的距离，再用线面夹角的定义。

20. 已知函数f（x）=mx3+2nx2﹣12x的减区间是（﹣2，2）．
（1）试求m、n的值；
（2）求过点A（1，﹣11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（1）由题意知：f'（x）=3mx2+4nx﹣12＜0的解集为（﹣2，2），
所以，﹣2和2为方程3mx2+4nx﹣12=0的根，
由韦达定理知，即m=1，n=0．
（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f'（x）=3x2﹣12，∵f（1）=13﹣12?1=﹣11
当A为切点时，切线的斜率k=f'（1）=3﹣12=﹣9，
∴切线为y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（
当A不为切点时，设切点为P（x0，f（x0）），这时切线的斜率是k=f'（x0）=3x02﹣12，
切线方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），即y=3（x02﹣4）x﹣2x03
因为过点A（1，﹣11），﹣11=3（x02﹣4）﹣2x03，∴2x03﹣3x02+1=0，（x0﹣1）2（2x0+1）=0，
∴x0=1或，而x0=1为A点，即另一个切点为，
∴，
切线方程为，即45x+4y﹣1=0
所以，过点A（1，﹣11）的切线为9x+y+2=0或45x+4y﹣1=0．
（3）存在满足条件的三条切线．
设点P（x0，f（x0））是曲线f（x）=x3﹣12x的切点，
则在P点处的切线的方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）即y=3（x02﹣4）x﹣2x03
因为其过点A（1，t），所以，t=3（x02﹣4）﹣2x03=﹣2x03+3x02﹣12，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设g（x）=2x3﹣3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可．
设g'（x）=6x2﹣6x=0，∴x=0或x=1分别为g（x）的极值点，
当x∈（﹣∞，0）和（1，+∞）时g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单增，
当x∈（0，1）时g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单减，
所以，x=0为极大值点，x=1为极小值点．
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得﹣12＜t＜﹣11．
略
21. （12分）（1）已知，其中
，求
的最小值，及此时与
的值．
（2）关于的不等式
，讨论的解．
参考答案：
22. 某公司对其50名员工的工作积极性和参加团队活动的态度进行了调查，统计数据得到如下2×2列联表：
（参考数据：
K 2= ）
则至少有 的把握可以认为员工的工作积极性与参加团队活动的态度有关．（请用百分数表示）
参考答案：
99.9%
【考点】独立性检验的应用．
【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．
【分析】根据2×2列联表中的数据，计算观测值K 2，与独立性检验界值表比较，即可得出结论． 【解答】解：根据2×2列联表中数据，得；
K 2==11.538＞10.828，
所以在犯错误不超过0.001的情况下，
即至少有99.9%的把握认为员工的工作积极性与参加团队活动的态度有关． 故答案为：99.9%．
【点评】本题考查了利用2×2列联表中数据进行独立性检验的应用问题，是基础题目．。