2019年北师版数学必修2第2章 §3 3.3 空间两点间的距离公式

3.3空间两点间的距离公式
学习目标：1.会推导和应用长方体对角线长公式．(重点)2.会推导空间两点间的距离公式．(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)
[自主预习·探新知]
1．长方体的对角线
(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图2-3-9)
图2-3-9
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d
2．空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|
[基础自测]
1．思考辨析
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．()
(2)点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.()
[解析](1)×，空间两点间的距离公式与两点顺序无关．
[答案](1)×(2)√
2．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是()
A．243 B．221C．9 D.86
D[|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.]
3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P
的坐标是________．
[解析] 设点P (0,0，z )， 则由|P A |＝|PB |， 得(0－4)2＋(0－5)2＋(z －6)2 ＝
(0＋5)2＋(0－0)2＋(z －10)2，
解得z ＝6，即点P 的坐标是(0,0,6)． [答案] (0,0,6)
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度.
【导学号：64442156】
[解] (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝
(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，
∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.
(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，3，72，
∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4－722
＝12.
1．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．
[解析] 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6. [答案]
2或 6
A 、
B 两
点的坐标，并求此时的|AB |.
[思路探究] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．
[解] 由空间两点的距离公式得|AB |＝
(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝
14⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －872
＋57， 当x ＝8
7时，|AB |有最小值
57＝35
7.
此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，227，67.
2．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)．在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．[解]假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．
因为|MA|＝32＋(－y)2＋12＝10＋y2，
|AB|＝2 5.
于是10＋y2＝25，解得y＝±10.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).
[
1．如图2-3-10，以棱长为a的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD 上．
当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.
【导学号：64442157】
图2-3-10
提示：当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，a 2，a 2.
因为点Q 在线段CD 上， 故设Q (0，a ，z )． 则|PQ |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2－z 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2
＋12
a 2
. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .
即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为2
2a .
2．在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值．
提示：因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短．
连接AQ ，BQ (图略)，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a .
已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面
ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．
(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．
[思路探究] 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决．
[解] (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，
∴AB 、BC 、BE 两两垂直．
以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，2
2a ，0，
∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2
2a －02
＝
a 2－2a ＋1.
(2)∵|MN |＝
a 2－2a ＋1＝
⎝
⎛⎭⎪⎫a －222
＋
1
2，
∴当a ＝22时，|MN |min ＝2
2.
3．如图
2-3-11，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？
图2-3-11
[解] 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．
则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1)． |NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2
＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14 ＝
5⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －452
＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值330
5， 此时a ＝
x 2＋y 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫852
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
＝
455， 所以当a ＝45
5时，NP 的长最小．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( )
A ．3或5
B ．－3或－5
C ．3或－5
D ．－3或5
A[由题意得|AB|＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a－4)2＝3，解得a＝3或5，故选A.]
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
C[由距离公式得：
|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，
|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，
|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．]
3．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．
[解析]∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|P A|＝|PB|，
∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.
[答案](0,0,3)
4．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______.
【导学号：64442158】[解析]|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
[答案] 3
5．如图2-3-12，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．
图2-3-12
[解] 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ， 所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．
由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a .
因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 4，3a 4，a . 根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－a 2
＝6
4
a .。