湖北省十堰市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题

十堰市2022~2023学年度上学期期末调研考试题
高二数学
本试卷共4页，22题，均为必考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列1,3,5,7,9,-- ，则该数列的第100项为（ ）
A ．99
B ．199-
C ．111-
D ．111
2．已知直线1:220l mx y +-=与直线2:5(3)50l x m y ++-=，若12l l ∥，则m =（ ）
A ．5-
B ．2
C ．2或5-
D ．5
3．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，3BF FP =
，设,,PA a PB b PC c === ，则FE = （ ）
A ．111232a b c -+
B ．111242a b c -+
C ．111343a b c ++
D ．212343
a b c
-+ 4．在x ，y 轴上的截距分别为3-，3的直线l 被圆2
2
:4630C x y x y +---=截得的弦长为（ ）
A
B ．
C ．
D ．5．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别
12
,,23
p
，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为
7
8
，则p =（ ）A ．
25 B ．13 C ．15 D ．14
6．过直线:43100l x y ++=上一点P 向圆2
2
:2450C x y x y +---=作切线，切点为Q ，则||PQ 的最小值为（ ）
A
B ．
C
D ．7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射
后必经过另焦点我有一椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，从一个焦点1F 发出的一条光线经椭圆C 内壁上一点P
反射后经过另一个焦点2F ，若1260F PF ∠=︒，且13
2
PF a =
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
12 B C D 8．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格，若反面朝上，则往前跳一格．记跳到第n 格可能有n a 种情况，{}n a 的前n 项和为n S ，则8S =（ ）
A ．56
B ．68
C ．87
D ．95
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知双曲线22:1168
y x C -=，则（ ）
A ．C 的一个顶点坐标为()4,0
B ．
C 的实轴长为8
C ．C 的焦距为
D ．C 10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（
）
A ．A 与
B 相互独立
B ．A 与D 相互独立
C ．B 与C 为互斥事件
D ．C 与D 为互斥事件
11．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为，11A AB A AD ∠=∠，16AA =，4
AB AD ==
，且3
DAB π
∠=
，M ，N ，P 分别为111,,AB CC C D 的中点，则（
）
A ．MC 与AP
B ．MP ∥平面BDN
C ．1DN AC ⊥
D ．P 到平面MNC 12．若直线l 与抛物线2
:2C y px =有且仅有一个公共点()00,P x y ，且l 与C 的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线C 相切，公共点P 称为切点，且抛物线C 在点P 处的切线方程为00y y px px =+．已知抛物线
2:4C y x =上有两点()()1122,,,A x y B x y ．过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线12,l l ，直线12,l l 交于点
()33,Q x y ，过抛物线C 上异于A ，B 的一点()44,D x y 的切线3l 分别与12,l l 交于点M ，N ，则（ ）
A ．直线A
B 的方程为3322y y x x =+ B ．点A ，Q ，B 的横坐标成等差数列
C ．||||||||QA BN QB QM ⋅=⋅
D ．||||||||
MN BN QB DN ⋅=⋅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为1
3
，则最后甲获胜的概率是______________．
14．已知两圆221:((27C x y -+-=与222:30C x y m ++--=外离，则整数m 的一个取值可以是_____________．
15，“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{}n a 的第n 项，则100a =___________．
16．如图所示，在几何体ABCDEF 中，,,24,2
AD BC BAD AB AD BC AE CF π
∠=
===∥∥，
22,AE CF AE ==⊥平面ABCD ，则点E 到直线DF 的距离为_________、直线EF 与平面BDF 所成角的
正弦值为_______________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(7)
2
n n n S +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是
[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．
（1）求语文成绩在[120,130]内的学生人数．
（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．（3）若语文成绩在[80,90)内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在
[80,90)
内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．19．（12分）已知圆C 经过点(0,2),(6,4)A B ，且圆心在直线340x y --=上．（1）求圆C 的方程；
（2）若平面上有两个点(6,0),(6,0)P Q -，点M 是圆C 上的点且满足||2||MP MQ =，求M 的坐标．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=︒，
PA PD ==，PB =，E ，F 分别是,BC PC 的中点．
（1）证明：平面PAD ⊥平面DEF ．（2）求二面角A PB C --的大小．
21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆与x 轴正半轴的交点为A ，
与y 轴正半轴的交点为B ，M 在C 上，1MF 垂直于x 轴，O 为坐标原点，且AB MO ∥，12F A =+．（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于P Q 两点，当直线l 的斜率存在时，试判断x 轴上是否存在一点T ，使得
OTP OTQ ∠=∠．若存在，求出T 点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为，渐近线方程为y x =．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E ，F 两点，若以EF 为直径的圆经过点D ，且DG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值．
十堰市20222023学年度上学期期末调研考试题
高二数学参考答案
1．B 该数列的通项公式为1
(1)
(21)n n a n +=--，所以1001100(1)(21001)199a +=-⨯-=-．
2．A 若12l l ∥，则2
(3)25310(2)(5)0m m m m m m +-⨯=+-=-+=，所以2m =或5m =-．当2m =时，12,l l 重合；当5m =-时，符合题意．
3．B 因为E 是AC 的中点，3BF FP =
，所以
11111()42242
FE FP PE PB PA PC a b c =+=-++=-+
．
4．C 由题意可知直线l 的方程为
133
x y
+=-，即30x y -+=．因为圆C 的圆心为(2,3)，半径为4，所以
圆心到直线l 的距离d =
=，故直线l 被圆C 截得的弦长为=．5．D 由题意可知127111(1)238p ⎛⎫⎛⎫--
--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，解得1
4
p =．
6．A 因为圆C ，所以||PQ =．当PC l ⊥时，||PC 最小，因为圆C 的圆心为()1,2，
所以min ||4PC =
=，所以||PQ =．
7．D 因为122PF PF a +=，所以21
2
PF a =．在12PF F △中，由余弦定理得2
2
2
1212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，
所以2
2229131742442224a a c a a a =
+-⨯⨯⨯=，所以e =8．C 根据题意，跳到第2n +格有两种可能，一种是从第1n +个格跳过来，有1n a +种方式，另一种是从第n 个格跳过来，有n a 种方式．所以21n n n a a a ++=+．因为121,2a a ==，所以33a =，45a =，58a =，
613a =，721a =，834a =，所以887S =．
9．BD 因为2216,8a b ==，所以4,a b c ====．因为焦点在y 轴上，所以C 的顶点
坐标为(0,4)±，实轴长为8．
10．ABD 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)．共36个．
依题意，11(),()66P A P B =
=，事件C 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5个，5()36
P C =，事件D 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，61
()366
P D =
=．对于A ，事件AB 只有结果1
(3,5),()()()36
P AB P A P B =
=⋅，A 与B 相互独立，A 正确；对于B ，事件AD 只有结果1
(3,4),()()()36
P AD P A P D =
=⋅，A 与D 相互独立，B 正确；对于C ，事件BC 含有结果(3,5)，不是互斥事件，C 不正确；对于D ，事件CD 是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，D 正确．11．AD 因为4AB AD ==，且3
DAB π
∠=
，所以四边形ABCD
的面积为44sin
3
π
⨯⨯=．
因为平行六面体111ABCD A B C -
的体积为，所以平行六面体1111ABCD A B C D -
的高为
=．因为11A AB A AD ∠=∠，所以1A 在底面的投影在AC 上．设1A 在底面的投影为O
，则1
AO =，因为16AA =
，所以OA ===．
因为2AC OA ==，所以O 为AC 的中点．以O 为坐标原点，,,OA OB OA
的方向分别为x ，y ，z 轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A
，(C -，(0,2,0)B ，(0,2,0)D -
，
M
，1A
，(N -
，(P --
．(MN =--
，(AP =--
，1(AC =--
，(MP =--
，(DN =-
，(1,0)MC =-- ，(0,4,0)DB =
，(BN =--
．
因为cos ,MC AP == ，所以MC 与AP
，故A 正确．
设平面BDN 的法向量为()111,,m x y z =
，
则111120,40,
BN m y DB m y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅==⎪⎩
令1x =，
则m = ．
因为0MP m ⋅=-++
30=≠，所以MP 与平面BDN
不平行，故B 错误．
因为1((0(60DN AC ⋅=-⨯-++-=≠ ，所以DN 与1
AC 不垂直，故C 错误．设平面MNC 的法向量为()222,,n x y z =
，
则222220,
0,n MN y n MC y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩
令2x =
，得n =- ．
因为||||MP n n ⋅==
，所以P 到平面MNC
故D
正确．
12．ACD 由题意知，抛物线C 在点A ，B 处的切线方程分别为112222,22y y x x y y x x =+=+．因为直线12,l l 交于点()33,Q x y ，所以1313232322,22y y x x y y x x =+=+，
所以()()1122,,,A x y B x y 在直线3322y y x x =+上，即直线AB 的方程为3322y y x x =+，故A 正确．
联立方程组13132323,222,
2y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩得()22
12
1232y y y y y --=．
因为12y y ≠，所以1232y y y +=，所以22
121212
3312,2424
y y y y y y x x x x +==≠+=，故B 错误．
因为抛物线C 在点()44,D x y 处的切线方程为4422y y x x =+，联立方程组441122,22,
y y x x y y x x =+⎧⎨
=+⎩可得1441,42y y y y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2442,42y y y y N +⎛⎫
⎪⎝⎭
．
因为1212,4
2y y y y Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()12
4211,2,,244y y y y QA y QM y --=
= ，()()21
4222,2,,244y y y y
QB y BN y --== ，所以12214242
||||,||||y y y y QA QM QB BN y y y y --==--，
所以
||||||||
QA QM QB BN =，即||||||||QA BN QB QM ⋅=⋅，故C 正确．因为123,,l l l 具有等价性，所以同理可得
||||
||||
ND BN NM QB =，即||||||||MN BN QB DN ⋅=⋅，故D 正确．
13．
2027 因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为23
，所以最后甲获胜的概率2221212220
3333333327
P =
⨯+⨯⨯+⨯⨯=．14．4-（或3-或2-）（只需从4,3,2---中写一个答案即可）因为圆1C
的圆心为，圆2C 的圆
心为(
=1C
的半径为圆2C
，所以1530,m +<+>⎪⎩所以51m -<<-，故整数m 的取值可能是
4,3,2---．
15．5050 因为数列{}n a 的递推公式为111,1n n a a n a +-=+=，所以()()()10099999821100992a a a a a a -+-++-=+++ ，所以1001100992a a -=+++ ，故100100(1001)
100992150502
a ⨯+=++++=
= ．
16
以A 为原点，,,AB AD AE 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则(4,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(4,2,1)B D E F ．
(0,4,2),(4,2,1),(4,4,0),(0,2,1),(4,2,1)DE DF BD BF EF =-=-=-==-
．
因为cos ,DE DF =
=
sin ,DE DF = ，所以点E 到直线DF 的距离为
||sin,
DE DE DF==
．
记平面BDF的法向量为(,,)
n x y z
=
，
则
440,
20,
n BD x y
n BF y z
⎧⋅=-+=
⎪
⎨
⋅=+=
⎪⎩
令1
x=，得(1,1,2)
n=-
．
因为cos,
||||
n EF
n EF
n EF
⋅
===
EF与平面BDF
．17．解：（1）当1
n=时，
11
18
4
2
a S
⨯
===．
当2
n≥时，
1
(1)(6)
2
n
n n
S
-
-+
=，
所以
1
(7)
3
2
n n n
n n
a S S n
-
+
=-=-=+，
因为1
n=也满足，所以通项公式为3
n
a n
=+．
（2）因为
1
1111
(3)(4)34
n
n n
b
a a n n n n
+
===-
++++
，
所以
11111111
45563444416
n
n
T
n n n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++-=-=
⎪ ⎪ ⎪
++++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
18．解：（1）由频率分布直方图，知(20.020.030.04)101
a+++⨯=，解得0.005
a=，
语文成绩在[120,130]内的学生人数为0.005101005
⨯⨯=．
（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率
120112
0.02100.005100.21
10
-
⨯⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在[80,90)内的学生有0.005101005
⨯⨯
=
人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c ，
样本空间为{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，其中抽到1名男生和1名女生的情况有
,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc ，
所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105
=．19．解：（1）因为圆心在直线340x y --=上，所以可设圆心(34,)C a a +．
因为圆C 经过点(0,2),(6,4)A B ，所以||||CA CB =，
=
，解得0a =，所以圆心C 为(4,0)，
因为半径||r CA ===，所以圆C 的方程为22(4)20x y -+=．
（2）设(,)M x y ，则22(4)20x y -+=，
由||2||MP MQ =，可得2222
(6)4(6)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，
化简得22(10)64x y -+=．联立方程组2222(4)20,(10)64,x y x y ⎧-+=⎨-+=⎩
解得10,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即点M
的坐标为103
⎛ ⎝
或10,3⎛ ⎝．20．（1）证明：取AD 的中点G ，连接,,PG BG BD ．
因为PA PD =，所以PG AD ⊥．
在ABD △中，2,60AB AD DAB ==∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以BG AD ⊥．
因为BG PG G = ，所以AD ⊥平面PBG ．
因为E ，F 分别是,BC PC 的中点，所以,PB EF DE GB ∥∥，
所以平面PBG ∥平面DEF ，所以AD ⊥平面DEF ．
因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面DEF ．
（2）解：由（1）知AD ⊥平面PBG
．因为PA PD PB ===P ABCD -的
．
以G 为坐标原点，,GA GB 的方向分别为x ，y
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
(0,(1,00),(P A B C -，．
(1,(0,(2,0,0)AP BP BC =-=-=- ．
记平面PAB 的法向量为()111,,n x y z = ，
则111110,0,
n AP x n BP ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
令1y =
n = ．记平面PBC 的法向量为()222,,m x y z = ，
则22220,0,
m BC x m BP ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
令2y =
，得m = ．
因为cos ,||||n m n m n m ⋅=== A PB C --为纯角，所以二面角A PB C --为34
π．21．解：（1）由题意可知点M 的坐标为2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，因为AB MO ∥，所以CM
AB k k =，即2b b ac a -=-，得b c =．因为222a b c =+
，所以a =
．
因为12F A a c =+=+
，所以2a b ==，
故椭圆C 的标准方程为22
184
x y +=．（2）假设x 轴上存在点(,0)T t ，使得OTP OTQ ∠=∠，则0TP TQ k k +=．
设直线l 的方程为()()11222(0),,,,x my m P x y Q x y =+≠，
联立方程组222,1,8
4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()222440m y my ++-=，则12122244,22
m y y y y m m +=-=-++，()()()121212*********(2)02222TP TQ my y t y y y y y y k k x t x t my t my t my t my t +-++=+=+==--+-+-+-+-，即()12122(2)0my y t y y +-+=．
由2284(2)
0(0)22m
m t m m m ---=≠++，解得4t =，
故存在(4,0)T ，使得OTP OTQ ∠=∠．
22．（
1）解：由题意知c =因为双曲线C
的渐进线方程为y x =
，所以b a =．
因为222a c b =-
，所以2,a b ==
放双曲线C 的标准方程为214x ．
（2）证明：设()()1122,,,E x y F x y ．
①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，
联立方程组22,
1,43y kx m x y =+⎧
⎪⎨-=⎪⎩化简得()()2223484120
k x kmx m ---+=，
则()()222Δ(8)4412340km m k =++->，即22430m k -+>，
且1222
1228,
34412
.
34km
x x k
m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+= ，
所以()()()2222
212122241281(2)41(2)403434m km k x x km x x m k km m k k --++-+++=+⋅+-⋅++=--，化简得22
1628(2)(14)0m km k m k m k ++=++=，
所以2m k =-或14m k =-，且均满足22430m k -+>．
当2m k =-时，直线l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当14m k =-时，直线l 的方程为(14)y k x =-，过定点(14,0)M ．
②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线:2DE y x =-，联立方程组222,1,4
3y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2x =（舍去）或14x =，此时直线l 也过定点(14,0)M ．因为DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，||GH 为该圆半径．故存在定点(8,0)H ，使||GH 为定值6．。