第八章 约束扭转

8-6 扭转角微分方程式及其解和初参数方程式 以上已得出了开口薄壁杆件受约束扭转时应力 的计算公式 : B B E1I 8 15 8 16 I
M S 8 20 I
M E1I 8 18
Mtl Mt , GIt GI t 82
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式

§8-2

约束扭转正应力分析
符拉索夫对于开口薄壁杆件约束扭转时变 形作了如下两个假设。 （1）杆的中曲面上无剪应变 ，

（2）周边上的投影不变形。横截面的周边 无弯曲变形及沿周边切线方向无伸长缩短 s 0 ） 变形，亦即无切向线应变（ 在上述两个假设的基 础上，便可研究任意 横截面上任意一点的 纵向位移，找出代表 横截面翘曲情况的纵 向位移函数
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2

开口薄壁杆件受自由扭转时，横截面上的扭 转剪应力沿壁厚按直线规律变化。截面中线 无剪应力（从而在包含截面中线的纵向曲面 无剪切变形，），在截面边缘处剪应力最大， 其值为 M t t max （8-1） It 开口薄壁杆自由扭转时两端截面之间的相对 扭转角 及单位长度扭转角 ，分别为
L M t M
剪应力： 就是按 S 的规律变化的，所以约 束扭转剪应力又称为扇形剪应力。

A
E1

A
S
A
M rds d E1 S d
M E1I
M S I
8-5 约束扭转时的剪应力及其相应的内力
开口薄壁杆件受纯约束扭转时（图8-15a），由 于扭转作用，横截面上产生沿壁厚按直线规律变 化的所谓纯扭转剪应力 t（图8-15b），其相应 的内力矩称为纯扭矩 M t 。此外，由于约束扭
转时每一部分各自在纵向平面内弯曲，还 产生沿壁厚不变且沿周边切向的所谓约束 扭转剪应力 （图8-15c）,其相应的内力 矩称为约束扭转力矩 M 。 开口薄壁杆件受约束扭转时，总扭矩L是纯扭 矩 M t 与约束扭转力矩 M 的代数和。即
u z z f z z 式中， f z 为z弧长起算点的纵向位移分量沿杆 长的变化率。


有了 z 便可进而利用虎克定律求出横截面上M点处
的约束扭转正应力
z。
s
E s z E E E
s




M tl Mt , GI t GI t
（8-2）
非圆形截面杆受扭时，如果杆横截面的翘曲 受到阻碍，其上将产生不均匀的附加正应力， 这种扭转称为约束扭转。 工字形截面杆受约束扭转时，（图8-4a）， 其两个翼缘为相反的方向弯曲；对于这种现 象只要把它所受的外扭矩看作如图8-4b所示 的力偶矩。 铁路桥跨的直线上梁，当列车通过时由于作 用在轨顶的横向摇摆力T不通过横截面的弯曲 中心A而引起约束扭转
横截面的周边无弯曲变形及沿周边切线方向无伸长缩短变形亦即无切向线应变在上述两个假设的基础上便可研究任意横截面上任意一点的纵向位移找出代表横截面翘曲情况的纵向位移函数纵向位移函数设有一开口薄壁杆如图89a所示在其左端横截面平面内取任意点o为坐标原点并按右手规则取直角坐标系其中z轴平等于杆件轴线
第八章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7
s
称为扇性面积或扇性坐标，
u f z
(8 8)
这就是开口薄壁杆件受扭时的纵向位移函数。 由此可知，以扭转中心（主极点）为极 点得出的截面中线上各点的 反映了同 一横截面上各点与弧长起算之间相对纵 向位移。
2. 约束扭转正应力 由图8-9c可知，即得M点处的纵向线应变 :
于是任意横截面上任意点M的纵向位移分量 u 的表达式为
u ds f z
s
（8-7）
式中 s ds 从物理概念上来看代表M点与弧 长起算点n之间的相对纵向位移， f z 代 表弧长起算点的纵向位移分量。
扭转中心（主极点）
假定： ds
t max
M t It
8 1
下面研究扭转角的微分方程式 以（8-18）及（8-2）式代入（8-17）式得
E1I GIt L
对z求导
E1I

IV
IV
GIt m
dL m dz
GI t m E1I E1I
GI t K E1I

IV
m K E1I
2
8 22
此微分方程式的齐次解（m＝0时）为
C1shKz C2chKz C3 z C4
1 L0 C1 0 K GI t B0 , C2 GI t L0 B0 C3 , C4 0 GI t GI t
s 应等于零。因而M点处纵向截面上的切向正应力 s 不等于零，而单元体处于平面应力状态（图8-11）

由第一式 z 0 根据得 s w ，以此代入第 二式得
E z E1 f z E1 E1 f z 2 1

函数 f z 可根据部分杆的平衡条件 Z 0
f z
dA
A

S 式中， A 地选择弧长起算点可使
A A dA称为截面的扇形惯性矩，适当
S 0，从而

S
w E1
（8-9）


8-3 主极点和主零点位置的确定 以扭转中心（主极点）为极点时，能使 S 0 的弧长起算点称为主零点。此时截面周边上 各点的扇性坐标称为主扇性坐标。 主极点和主零点应满足的条件：

w
u z, s
u z z
w

1. 纵向位移函数
s 0
u z, s
u z z
w

1. 纵向位移函数 设有一开口薄壁杆如图8-9a所示，在其左 端横截面平面内取任意点O为坐标原点， 并按右手规则取直角坐标系，其中z轴平 等于杆件轴线。现在研究任意横截面z的 中线（周边）上，离任意选定的弧长起 算点n为s的点M的纵向位移。
开口截面的约束扭转
概述 约束扭转正应力分析 主极点和主零点位置确定 约束扭转正应力及对应的内力－双力矩 约束扭转剪应力及对应的内力 扭转角的微分方程，和初等参数方程 缀板式开口薄壁杆件的约束扭转问题
§8-1

概述
受弯构件只有当横向力通过横截面上的一 个特定点—弯曲中心时，杆件才只产生弯 曲。否则，杆件在弯曲的同时，还将产生 扭转。 杆受扭转时横截面绕以转动的点按物理概 念应为扭转中心，扭转中心不一定与形心 重合。 非圆形截面杆受扭时，横截面不再保持为 平面而发生翘曲；
B
A
2 dA E1 dA E1I A
8 15
2 I 式中： A dA 为横截面的扇性坐标性质，
称为主扇形惯性矩
约束扭转正应力的计算公式：
B I
8 16
8-5 约束扭转时的剪应力及其相应的内力
有两部分： 纯扭转剪应力(b) 约束扭转剪应力(c)
切向位移分量：
MK v ML AB r AM
（8-4）

1. 纵向位移函数
单元体的剪切角 等于单元体棱边MC及MD 在位移分量u及v的增量为正值时所偏转的 角度 1和 2 之和。
考虑： 0
v u z s
（8-5）
u 0 s
86
S x
S y
ydA 0 xdA 0
A
A
8－10
S

A
dA 0

极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x
SB x Ix
, y
SB y Iyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,C