【鲁教版】八年级数学下期中试卷(及答案)(1)

一、选择题
1．若2a 3<<，则22(2a)(a 3)---等于( ) A ．52a - B ．12a - C ．2a 1- D ．2a 5- 2．下列计算正确的是( )
A ．
()23232-⨯=± B ．2363= C ．523-=
D ．622+= 3．在12
､12､2x +､240x ､22x y +中，最简二次根式有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．下列二次根式：4、12、50、
12中与2是同类二次根式的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）
A ．OA
B OBA ∠=∠；
B ．OAB OB
C ∠=∠； C ．OAB OC
D ∠=∠；
D ．OAB OAD ∠=∠． 6．下列命题中，正确的命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分且相等
B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是
正方形 7．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③ 8．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
9．如图，在数轴上，点A ，B 对应的实数分别为1，3，BC AB ⊥，1BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴正半轴于点P ，则P 点对应的实数为（ ）
A ．51+
B ．5
C ．53+
D ．45- 10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．31+或31-
D ．51+或51- 11．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.6
D ．25
12．如图，M N 、是线段AB 上的两点，4,2AM MN NB ===．以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连结AC BC 、，则ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题
13．把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若38CDF ∠=︒，则EFD ∠ 的度数是_________．
14．在直角坐标系中，点A (2，－2)与点B （－2，1)之间的距离AB =__________． 15．已知20202020m a a =---，则m a =_____________．
16．数轴上，点A 表示21+，点B 表示32-，则AB 间的距离___________ 17．计算：2(32)(32)+-=______．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．
19．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．
20．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ， Rt ABC △的面积3S ．若14S =， 28S =，则 3S 的值为 ________ ．
三、解答题
21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．
（1）如图
①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．
②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．
（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．
22．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．
（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？
（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？
23．先化简再求值：
2211,211a a a a a ----+-其中3a = 24．计算：
（1）121850322
（2）256)(56)51)-．
25．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．
（1）求ABC ∠的度数；
（2）求四边形草地ABCD 的面积．
26．如图，在中，，是上的中线，的垂直平分线交于点O ，连接并延长交于点E ，，垂足为H ．
（1）求证：
． （2）若，，求的长； （3）如图，在中，，，D 是上的一点，且，若，请你直接写出的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先根据23<<a 给二次根式开方，得到()a 23a ---，再计算结果就容易了．
【详解】
解：∵23<<a ，
∴=|2||3|a a ---
()a 23a =---
a 23a =--+
2a 5=-．
故选：D
【点睛】
本题考查了化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
2．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的性质进行化简和计算，然后进行判断即可．
【详解】
解：A =，所以此选项错误；
B ，3===
C -
D ，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
3．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．
【详解】
解：∵2
==|x =，
∴在1
2､12､2
x+､2
40x､22
x y
+中，最简二次根式有2
x+，22
x y
+，
共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．4．B
解析：B
【分析】
先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】
解：4=2与2被开方数不同，故不是同类二次根式；
12=23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；
50=52与2被开方数相同，故是同类二次根式；
12
=
22
与2被开方数相同，故是同类二次根式．
与2是同类二次根式的有2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
5．D
解析：D
【分析】
根据菱形的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAB=∠ACD，
∵∠OAB=∠OAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
6．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，
∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE；
③由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=1
2 AC；
④可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB 的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积+△BNE的面积；
【详解】
解：①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，
∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．
∴∠DBM=∠CDE，故①正确；
②由①得∠DBM=∠CDE，如果BN=DN，则∠DBM=∠BDN，
∴∠BDN=∠CDE，
∴DE为∠BDC的平分线，
∴△BDE ≌△FDE ，
∴EB ⊥DB ，已知条件∠ABC=90°，
∴②错误的；
③在△BDM 和△DEF 中，
DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDM ≌△DEF （AAS ），
∴BM=DF ，
∵∠ABC=90°，M 是AC 的中点，
∴BM=
12AC ， ∴DF=12
AC ， 即AC=2DF ；故③正确．
④由③知△BDM ≌△DEF （AAS ）
∴S △BDM =S △DEF ，
∴S △BDM -S △DMN =S △DEF -S △DMN ，即S △DBN =S 四边形MNEF ．
∴S △DBN +S △BNE =S 四边形MNEF +S △BNE ，
∴S △BDE =S 四边形BMFE ，故④错误；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S △BDE =S 四边形BMFE 是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，
∵BC ∥AD ，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A ，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．A
解析：A
【分析】
根据题意求出AB ，根据勾股定理求出AC ，根据实数与数轴的关系解答即可．
【详解】
∵点A ，B 对应的实数分别为1，3，
∴AB ＝2，
∵BC ⊥AB ，
∴∠ABC ＝90°，
∴AC ＝22AB BC +＝22225=+，
则AP ＝5，
∴P 点对应的实数为5＋1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．
10．C
解析：C
【分析】
分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-=，
∴BQ=CQ-BC=31-；
如图2，当Q 在BC 延长线上时，
在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =
-=-= ∴31；
∴BQ3131．
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
设点P（x，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．
【详解】
解：设点P（x，0），
根据题意得，x2+22=(5﹣x)2+52，
解得：x=4.6，
∴OP=4.6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．12．B
解析：B
【分析】
先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】
解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10
∴AC2=64, BC2=36, AB2=100,
∴AC2+BC2=AB2
∴ABC一定是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．
二、填空题
13．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根
据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD 是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴
解析：64°
【分析】
先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=1
2
∠BFD，即可得出结论．
【详解】
解：∵ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠CDF=38°，
∴∠CFD=52°，
∴∠BFD=180°-52°=128°，
∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，
∴∠EFD=∠BFE=1
2∠BFD=1
2
×128°=64°．
故答案为：64°．
【点睛】
本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．
14．【分析】直接运用两点间的距离公式求解即可【详解】解：∵(2－2)（－21)∴AB=故答案为5【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式牢记两点间的距离公式是解答本题的关键
解析：【分析】
直接运用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
解：∵A(2，－2)、B（－2，1)
∴5
==．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离公式，牢记两点间的距离公式是解答本题的关键．
15．1【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求出am根据指数为0得到答案【详解】解：根据题意得2020﹣a≥0a﹣2020≥0解得a＝2020则m＝
0∴am＝20200＝1故答案为：1【点睛】本题考
解析：1
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、m，根据指数为0，得到答案．
【详解】
解：根据题意得， 2020﹣a≥0，a﹣2020≥0，
解得，a ＝2020，
则m ＝0，
∴a m ＝20200＝1，
故答案为： 1．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件和0指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．2－2【分析】根据数轴上点的意义可知数轴上表示的点与表示的点的距离是|-|=2－2【详解】解：∵-=<0∴两点之间的距离为：|-|==2－2故答案为：2－2【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离及绝
解析：－2
【分析】
1的点与表示3的点的距离是|3-
1)－2．
【详解】
解：∵3-1)=，
∴两点之间的距离为：|
3-1)|=－2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离及绝对值，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 17．【分析】先将化成再运用平方差公式计算从而可得解【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算熟练运用乘法公式是解答此题的关键
【分析】
先将2化成，再运用平方差公式计算，从而可得解．
【详解】
解：2
=
=22
⎡⎤-⎣⎦
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练运用乘法公式是解答此题的关键．
18．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB ＝90°∠B ＝30°AC ＝2D 是斜边AB 中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形
解析：2.
【分析】
先由30所对的直角边是斜边的一半求解,AB 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】 解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，
24AB AC ∴==，
D 是斜边AB 中点，
1 2.2
CD AB ∴== 故答案为：2.
【点睛】
本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
19．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE 根据线段的和差关系可得CD 的长设CE=x 则DE=8-x 利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案【详解】∵∠ACB ＝90°BC ＝
解析：3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB ，DE=AE ，根据线段的和差关系可得CD 的长，设CE=x ，则DE=8-x ，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】
∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，
∴
，
∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，
∴BD=AB=10，DE=AE ，∠DCE=90°，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
设CE=x ，则DE=AE=AC-CE=8-x ，
∴在Rt △DCE 中，DE 2=CE 2+CD 2，即（8-x ）2=x 2+42，
解得：x=3，
∴CE=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．
20．12【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为abc 则观察图形可得：即∵∴=∴=4+8=12故答案为：12
【点睛】本题考查了勾股定理圆的面积熟记圆的面积公式
解析：12
【分析】
根据勾股定理和圆的面积公式即可求得3S 的值．
【详解】
解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，则222+=a b c ，
观察图形可得：
222312111111()()()222222
a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅， 即222312111888a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅，
∵222+=a b c ， ∴221188a b ππ⋅+⋅=218
c π⋅， ∴312S S S =+=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=
+︒或1452
βα=-+︒，见解析 【分析】
（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；
②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；
（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】
（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，
∴90A ABC ∠+∠=︒，
∵点D 是AB 的中点，
∴AD DC BD ==，
∴DCB ABC ∠=∠．
∵90CDE ∠=︒，
∴90E DCB ∠+∠=︒，
∴A E ∠=∠；
②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，
∵BD 平分CDE ∠，
∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．
∵DB DC =，
∴DCB DBC x ∠=∠=︒，
∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，
∴906822A ∠=︒-︒=︒；
（2）①如图，当CD CE =时，
∴CDE CED β∠=∠=．
∵A α∠=，AD DC =，
∴ACD α∠=，
∴90DCB α∠=︒-，
∴290180βα+︒-=︒，得1452
βα=+︒；
②如图，当CD CE =时
∴CDE E β∠=∠=，
∴290βα=︒-，得1
452
βα=-+︒．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．
22．（1）t =2；（2）t =3或65
t =．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．
（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．
∵∠A =60°，
∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．
（2）∵△PAQ 是直角三角形，
∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），
当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·
2t ，解得65t =（秒）， ∴当t =3或65t =
时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】
本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．
23．()()211a a -+，1．
【分析】
分母先分解因式化简，两个异分母分式通分后相减，再把a 值代入求解即可.
【详解】
2211211
a a a a a ----+- =
211(1)(1)(1)a a a a a ----+- =1111
a a --+ =()()(1)(1)11a a a a +---+
=()()211a a -+，
当a =
原式2
31=-=1
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行
约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24．（1）；（2）﹣
【分析】
（1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【详解】
解：（1）
＝
＝
（2）21)-
＝5﹣6﹣（5﹣）
＝﹣1﹣（6﹣
＝﹣1﹣
＝﹣
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
25．（1）150°；（2）（m 2）
【分析】
（1）连接BD ，可得∆ABD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可求解；
（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）连接BD ，
∵10AB AD ==m ，∠A=60°
∴∆ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，
∵26CD =m ，24BC =m ，
∴BD 2+BC 2=CD 2，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，则BP=DP=
12BD=5m ，= ∴四边形草地ABCD 的面积
=S ∆ABD +S ∆CBD =12BD∙AP+12BC∙BD=12×10×+12×10×24=（m 2）．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题意利用中线的性质和垂直平分线的性质，即可解答
（2）根据题意和由（1）得到AH=EH，再利用勾股定理得到AH=，最后利用全等三角形的性质，即可解答
（3）作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H，可得，设DH=x，则AD=2x，利用勾股定理即可解答
【详解】
（1）证明：
∵AB=AC，AD是BC上的中线
∴AD⊥BC
又∵AH⊥BE
∴∠ADB=∠H=90°
∵MN是AB的垂直平分线
∴AO=BO
∴∠OAB=∠ABO
又∵AB=BA
∴在与中
∴
（2）解:∵AB=AC， AD是BC上的中线，∠BAC=30°
∴∠BAD=15°
由（1）知，∠ABO=15°
∴∠AEH=∠ABO+∠BAC=45°
∵AH⊥BE
∴∠EAH=45°
∴AH=EH
由AE=4可得
AH=
∵
∴BD=AH
∴BC=2BD=2AH=
（3）如图，作AE⊥BC于E，AH⊥BD于H
仿（1）可得
且∠ADH=60°
∴AH=BE=
设DH=x，则AD=2x
在RtΔA HD中
得（负值舍去）
∴AD=
【点睛】
此题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线。