2022-2023学年广西柳州四十六中革新校区八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年广西柳州四十六中革新校区八年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 9
B. 7
C. 20
D. 1
3
2. 下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4
B. 4，5，6
C. 6，8，10
D. 2，4，6
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，
则MN的长为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 6
4.
如图，在四边形ABCD中，BC//AD，添加下列条件，不
能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD
B. AB//CD
C. ∠A=∠C
D. BC=AD
5.
如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中
一定成立的是( )
A. AC⊥BD
B. OA=OC
C. AC=BD
D. AO=OD
6.
如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯
子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将( )
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 先变大后变小
7. 下列式子中，正确的是( )
A. 3+2=5
B. 22−32=−1
C. 2×3=6
D. 2÷2=2
8.
如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米
的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.
已知在菱形ABCD中，AB=10，BD=16，则菱形ABCD
的面积为( )
A. 160
B. 80
C. 40
D. 96
10. 如图，在菱形ABCD中，AD=2，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：23−3=______ ．
12.
如图，在▱ABCD中，若∠B=56°，则∠D=______ 度.
13. 若式子x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14. 如果一个菱形的一条边长为2cm，那么这个菱形的周长为cm．
15.
如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方
形A，C的面积分别为12，16，则正方形B的面积是．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=5，AC=8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：18×3÷2．
18. (本小题8.0分)
计算：(3+2)−2．
19. (本小题8.0分)
如图，已知：在▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F.试说明AF⋅AD= AG⋅BF．
20. (本小题8.0分)
如图，2020年5月14日1号台风“黄蜂”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处
折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．求这棵树折断之前的高度．
21. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E、F分别是AO，AD的中点，连接EF，AB=4cm，BC=6cm，求EF的长．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB．
(1)试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；
(2)当∠ABC=______ °时，四边形ADCE为正方形．
23. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=90°，AD=CD=13cm，BC=12cm，M、N是线段AB、CD上两动点，M点从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB方向运动，N点从点D出发，以每秒1cm的速度沿DC方向运动，M、N同时出发，同时停止，当M运动到点B时，M、N同
时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求AB的长；
(2)当t为何值时，四边形AMCN为平行四边形？
(3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形MBCN是矩形，若存在，请求出的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、9=3，不是最简二次根式，故A错误；
B、7是最简二次根式，故B正确；
C、20=25，不是最简二次根式，故C错误；
D、1
3=3
3
，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：A、22+32=13≠42=16，故该项不能构成直角三角形，不符合题意；
B、42+52=41≠62=36，故该项不能构成直角三角形，不符合题意；
C、62+82=100=102，故该项能构成直角三角形，符合题意；
D、22+(6)2=10≠42=16，故该项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
运用勾股定理的逆定理计算选择即可．
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，在在平行四边形ABCD中，BC=AD=6．
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△EBC的中位线，
∴MN=1
2
BC=3．
故选：B．
首先由平行四边形的对边相等的性质求得BC=AD=6；然后利用三角形中位线定理求得MN=1
2
BC =3．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
4.【答案】A
【解析】解：当BC //AD ，AB =CD 时，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；当AB //CD ，BC //AD 时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项不合题意；
当BC //AD ，∠A =∠C 时，可得AB //DC ，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不合题意；
当BC //AD ，BC =AD 时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项不合题意；
故选：A ．
依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件．
此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
5.【答案】B
【解析】解：A 、菱形的对角线才相互垂直．故不对．
B 、根据平行四边形的对角线互相平分可知此题选B ．
C 、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等，故也不对．
D 、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等且平分．故也不对．
故选：B ．
根据平行四边形的对角线互相平分即可判断．
此题主要考查平行四边形的性质．即平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB =90°，M 为AB 的中点，AB =3，
∴OM 是Rt △AOB 的中线，
∴OM =12AB =32
m ，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
AB，即可得出结果．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OM=1
2
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7.【答案】D
【解析】解：A、3+2，不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、22−32=−1，是同类二次根式相加，应等于−2，错误；
C、2×3=23≠6，错误；
D、2÷2=2，正确，故选D．
本题考查了二次根式的加减乘除运算，被开方数相同的二次根式才能合并，分母有理化一定要找对有理化因式．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10(cm)，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13−10=3cm，
故选：C．
首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=16，
BD=8，
∴AC⊥BD，OB=1
2
∵在Rt△AOB中，AB=10，
∴AO=AB2−OB2=6，
∴AC =2AO =12，
∴S 菱形A B C D =12AC ⋅BD =96．
故选：D ．
根据菱形的性质利用勾股定理求得OA 的长，从而得到AC 的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．连接BD ，DE ，则DE 的长即为PE +PB 的最小值，再根据菱形ABCD 中，∠ABC =120°得出∠BCD 的度数，进而判断出△BCD 是等边三角形，故△CDE 是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE 的长．
【解答】
解：连接BD ，DE ，DE 交AC 于点P′，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴B 、D 关于直线AC 对称，
∴DE 的长即为PE +PB 的最小值，
∵∠ABC =120°，
∴∠BCD =60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∵E 是BC 的中点，
∴DE ⊥BC ，CE =12BC =12
×2=1，
∴DE=CD2−CE2=22−12=3，
∴PE+PB的最小值为3．
故选A．
11.【答案】3
【解析】解：原式=(2−1)3=3．
故答案为：3．
根据合并同类二次根式法则计算即可．
本题考查的是二次根式的减法，掌握合并同类二次根式法则是解决此题的关键．
12.【答案】56
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵∠B=56°，
∴∠D=56°，
故答案为：56．
根据平行边形性质中对角相等可知，∠B=∠D=56°．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
13.【答案】x≥−1
【解析】根据算术平方根的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥−1，
故答案为：x≥−1．
主要考查了算术平方根的意义和性质．
14.【答案】8
【解析】解：∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为2cm，
∴菱形的周长=4×2=8(cm )．
故答案为：8．
根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为2cm ，即可求出菱形的周长．
本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．
15.【答案】4
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知
S B =S C +S A
=16−12
=4，
故答案为：4．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
16.【答案】40 8989
【解析】解：∵∠BAC =90°，且BA =5，AC =8，
∴BC = BA 2+AC 2= 52+82= 89，
∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∴∠DMA =∠DNA =∠BAC =90°，
∴四边形DMAN 是矩形，
∴MN =AD ，
∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积=12AB ×AC =12BC ×AD ，∴AD =AB ×AC BC =5×8 89=40 8989
，∴MN 的最小值为40
8989，故答案为：40
8989．由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DMAN 是矩形，可得MN =AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：原式=18×3÷2
=54÷2
=27
=33．
【解析】根据二次根式的乘除运算法则求解即可．
此题考查了二次根式的化简和乘除运算，解题的关键是熟记二次根式的化简和乘除运算法则．
18.【答案】解：(3+2)−2
=3+2−2
=3．
【解析】先去括号，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和去括号法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA，
∴△ABF∽△GDA，
∴AF AG =BF
DA
，
∴AF⋅AD=AG⋅BF．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB//DC，AD//BC，即可证得△ABF∽△GCF，△G CF∽△GDA，则可得△ABF∽△GDA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AF⋅AD=AG ⋅BF．
此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20.【答案】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为： 32+42=5(米)，
∴折断前高度为5+3=8(米)．
答：这棵树折断之前的高度是8米．
【解析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
21.【答案】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC =90°，BD =AC ，BO =OD ，
∵AB =4cm ，BC =6cm ，
∴BD =AC = AB 2+BC 2= 42+62=2 13(cm )，
∴OD =12BD = 13(cm )，
∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，
∴EF 是△AOD 的中位线，
∴EF =1
2OD = 132
(cm )． 【解析】根据矩形性质得出∠ABC =90°，BD =AC ，BO =OD ，再根据勾股定理求出AC ，进而求出BD 、OD ，然后根据三角形中位线定理求出EF 的长即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明EF 为△AOD 的中位线是解题的关键．
22.【答案】45
【解析】解：(1)四边形ADCE 为菱形，理由如下：
∵AE //CD ，CE //AB ，
∴四边形ADCE 为平行四边形，
∵∠ACB =90°，D 为AB 的中点，
∴DA =DC ，
∴平行四边形ADCE 为菱形；
(2)若四边形ADCE 为正方形，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴Rt△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45．
(1)根据平行可以证明四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形的性质可求得AE=EC，进而得出四边形ADCE为菱形；
(2)根据题意可知当四边形ADCE为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得∠ABC．
本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点C作AD的平行线CP交AB于点P，
∵AB//CD，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴AP=DC=13cm，AD=PC=13cm，
在直角三角形PBC中，PB=PC2−BC2=132−122=5(cm)，
∴AB=AP+PB=13+5=18(cm)．
(2)如图2，
∵AM//NC，
∴当AM=NC时，四边形AMCN是平行四边形，
即：13−t=2t，
∴t=13
(秒)，
3
秒时，四边形AMCN是平行四边形．
当t=13
3
(3)如图3，在M、N运动的过程中，存在四边形MBCN是矩形，理由如下：
当BM=CN时，四边形MBCN是矩形，
∴18−2t=13−t，t=5(秒)，
当t=5秒时，BM=AB−AM=18−5×2=8(cm)，
∴CN=DC−DN=13−5×1=8(cm)，
∵AB//CD，
∴四边形MBCN是平行四边形，
∵∠A B C=90°
∴四边形MBCN是矩形．
【解析】(1)过点C作AD的平行线CP交AB于点P，根据平行四边形的性质得到AP=DC=13cm，A D=PC=13cm，根据勾股定理得到PB=PC2−BC2=132−122=5(cm)，于是得到AB=AP+ PB=13+5=18(cm)；
(2)根据平行四边形的性质列方程即可得到结论；
(3)根据矩形的性质列方程得到18−2t=13−t，t=5(秒)，根据矩形和平行四边形的判定即可得到结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题．。