高中数学 2.3.2 向量数量积的运算律课件 新人教B版必修4

|a－b|＝ 6，则 a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
[答案] A
[解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b＝10，|a－b|2＝a2－ 2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
4．(2014·江西文，12)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cosα＝13，若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝________. [答案] 3
6．已知m、n是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2m＋n和 b＝－3m＋2n的夹角．
[解析] |a|2＝4|m|2＋4m·n＋|n|2＝7， 即|a|＝ 7，同理，|b|＝ 7.a·b＝－72， cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝－12， ∵0≤<a，b>≤π，∴<a，b>＝23π.
课堂典例讲练
易错疑难辨析
设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与向量 e1＋te2 的夹角为钝角， 求实数 t 的取值范围．
向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝( )
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
[答案] C
[解析] ∵a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×1×12＝12， ∴|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×12＋9＝13， ∴|a＋3b|＝ 13.
3．(2014·全国新课标Ⅱ理，3)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，
[解析] ∵a＋3b 与 7a－5b 垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， ∵a－4b 与 7a－2b 垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0.
于是有77aa22＋ －1360aa··bb－ ＋185bb2＝2＝00
① ②
①－②得 2a·b＝b2，
③
将③代入①得 a2＝b2，∴|a|＝|b|.
已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，则(2a ＋3b)·(3a－2b)＝________.
[答案] －4
[ 解 析 ] (2a ＋ 3b)·(3a － 2b) ＝ 6a2 ＋ 5a·b － 6b2 ＝ 6×16 ＋ 5×4×5×12－6×25＝－4.
向量的夹角
已知 a、b 都是非零向量，且 a＋3b 与 7a－5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求<a，b>.
平面向量数量积的运算律
1．a·b＝_____b_·a____(交换律)； 2．(λa)·b＝____λ_(_a_·_b_)＝__a_(_λ_b_) _(结合律)； 3．(a＋b)·c＝___a_·_c_＋__b_·c___(分配律)．
1．(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考)设|a|＝6，|b|＝6，
向量的垂直
已知|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，c＝3a ＋5b，d＝ma－3b.当 m 为何值时，c 与 d 垂直？ [分析] 可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.
[解析] 若 c⊥d，则 c·d＝0，即(3a＋5b)·(ma－3b)＝0， 即 3ma2－9a·b＋5ma·b－15b2＝0. 由 a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3， 得 27m－27＋15m－60＝0，解得 m＝2194.
a 与 b 的夹角为 120°，则|aC．6 [答案] C
D．6 3
[解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋2×6×6×cos120°＋ 36
＝36＋2×6×6×(－12)＋36＝36，∴|a＋b|＝6.
2．(2014·山东德州高一期末测试)已知向量 a、b 均为单位
(2014·全国大纲理，4)若向量 a、b 满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，
(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2
B． 2
C．1 [答案] B
D．
2 2
[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a ＋b)·b＝0，即 2a·b＋b·b＝0，(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0,2a·b ＋|b|2＝0，又|a|＝1 所以|b|＝ 2.
[解析] |a|2＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9e21－12e1·e2＋4e22＝9 －12×1×1×13＋4＝9，∴|a|＝3.
5．已知|a|＝|b|＝ 7，|a＋b|＝ 7，则 a、b 的夹角为________．
[答案] 120°
[解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝7＋2× 7× 7×cos<a，b>＋7＝7， ∴cos<a，b>＝－12， ∴a、b 的夹角为 120°.
数量积的基本运算
已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|. [分析] 利用公式|a|2＝a·a. [解析] 由|a＋b|2＝(a＋b)2， 可得a2＋2a·b＋b2＝576， ∴169＋2a·b＋361＝576， ∴2a·b＝46. ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361＝484， ∴|a－b|＝22.
∴cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝12.
∵0°≤<a，b>≤180°，∴<a，b>＝60°.
已知 a、b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13，求 a＋b 与 a －b 的夹角 θ 的余弦值．
[解析] 由已知|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13， ∴(a＋b)2＝13.即 a2＋2a·b＋b2＝13， ∴2a·b＝6. ∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1.即|a－b|＝1， 故 cosθ＝a|a＋＋bb|·|aa－－bb|＝－ 1133.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 平面向量
第二章 2.3 平面向量的数量积
2.3.2 向量数量积的运算律
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课后强化作业
课前自主预习
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害， 校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见， 世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们 学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数 量积又满足哪些运算律呢？