高考精准测试试卷(二)理科数学参考答案

2009年高考精准测试试卷（二）参考答案及评分标准
理科数学
一、选择题
1.C 解析：已知A B ⊆，那么这时A B A B =或是的真子集，显然当A B =时，选项C 是错的，所以
选C 。

2.A 解析：由已知可得2
3tan 2cos 2sin ,54cos 2-
==∴-=αααα
，所以选A 。

3.D 解析：对于集合P 我们可以看出是偶数集，那么偶数的加、减、乘运算后还是偶数，只有除法运算不一定满足，例如122=÷是奇数。

4.B 解析：应该是必要不充分条件，因为指数函数的指数可以是任何实数，但对数函数的真数必须大于0，所以选B 。

5.B 解析：正确的是①④
6.B 解析：由平移公式可知⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=36
36''
''y y x x y y x x ππ代入
()()32sin 2--=θx x f 有
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=θπ32sin 2''x y 即⎪⎭
⎫
⎝⎛--=θπ32sin 2x y 因为4π=x 是对称轴，所以将4π=x 代入
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=θπ32sin 2x y 函数能取到最大值或最小值，
这时⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θπ6sin 2y ，满足题意只有选项B ，此时函数可以取到最大值。

7.C 解析：3198239898293822,3,2lim lim lim 2323-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-⎪⎭⎫
⎝⎛=+⋅⋅-=+-∴==∞→∞→∞→n
n
n n n n
n n n n n b a b a b a ，所以选C 。

8.A 解析：由题意可知621,,,a a a Λ
互不相等，也就是说任取3个数它们的大小关系是一定的，所以只
需先从10个数中任选出3个数，按它们的大小关系对321,,a a a 赋值，不用再排列，同理再从剩下的7个数中选出3个，按大小关系对654,,a a a 进行赋值即可。

9.D 解析：令()223,21=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴+
=t f t f t x 也即()223=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f ，对于函数
()x f y =，当23,2121=
->x x x x 时有()()()()3
4,2212121=--∴=-x x x f x f x f x f ，此时我们可以将
()x f y =看作一条斜率为
34，过定点⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21直线，所以解析式为()3134+=x x f 当62=x
有()833
1
24862=+=
f 10.A 解析：设BD AE ,分别是两个旗杆如图，由题意可知,βα
=即
3
2
,15,10,=∴===BP AP BD AE BP DB AP AE Θ,因为P B A ,,三点共面，我们把这三点放在平面直角坐标系中讨论，以
AB 的中点为坐标原点，AB 为x
轴建立空间直角坐标系，设
(),,y x P 则
()()0,10,0,10B A -，又()()9410020100203210103
22
2222
222=++-+++⇒=+-++∴
=y x x y x x y x y x BP AP Θ，整理得01005222
=+++x y x
为圆方程。

11.D 解析：()x f Θ
定义在(0, +∞)上的增函数满足()14=f ，且满足()12<+b a f ，42<+b a ，
又因为b a ,都是正数，所以⎪⎩
⎪⎨⎧>><+∴>>0
04
2,0,0b a b a b a ①， 22b a ++则可以理解为满足可行域内①的点到定点
()2,2--斜率的取值范围，结合图形易知：
32
221=<++<=AB AC k a b k 12.C 解析：据题意有212
1F F F P ⊥得21==c x ，
又由双曲线的焦半径的公式得：
1
211121,22,22F P F P x F P x F P n n n n n n =+=-=+++Θ
可以推出
2222211=-⇒+=-++n n n n x x x x ，即数列{}n x 是以21=x 为首项2为公差
的等差数列，故4016
2200722008
=⨯+=x 。

二、填空题：
13.1；
解析：
()()()1,2
1,21,211111=+==∴+=+⇒+=-+-⇒+=+b a b a bi a i bi a i i i i bi a i i
14.216；
解析：可先从除甲、乙两辆列车的4辆中选2辆作为第一小组，此时第一小组共有3
32
4A C 种发车情况，
然后剩下的3辆车再发有3
3A 种情况，故共有3
32
4A C 33A =216种发车顺序。

15.
(][
)2
,22,2⋃--
解析：此题应用数形结合的思想解决较方便,当直线与圆的交点恰好是圆与坐标轴的交点时，是临界情况，此外还要求直线一定要与圆有交点。

16.2；()()Z k n k a n
∈+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=2133132sin 3ππ
(答案不唯一如写成2133
2sin 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππn a n
也可)
解析：据题意由已知递推公式得：2,1,2
1
,24321
=-==
=a a a a 由上述推到不难发现数列{}n a 是以3为周期的数列，故3
2,32π
ωωπ=
=
又由于数列的最大项为2，最小项为-1故有21212=-=B ,即此时2
1
32sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπn A a n
又由待定系数法知：
21332sin 3,33212134sin 221
32sin 2
1
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ
πϕϕπϕπn a A A a A a n
因为
()2133132sin 3213232sin 321332sin 3+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππππn k k n n a n
这里Z k ∈ 三、解答题：
17. （本题10分） 解：（I ）
(
)22sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2cos 24x x π⎛
⎫=+-- ⎪⎝
⎭
2cos 22sin 26x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭ （2分）
所以22
T π
π== （4分）
由()3222262k x k k Z ππ
ππ
π+
≤-
≤+
∈得()536
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈
所以函数
()f x 的最小正周期是π，单调递减区间为()5,3
6k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
（6分） （II ）由（I ）有()f x =2sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
因为x ∈25,1236ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，所以112,639x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
411sin sin sin 339πππ⎛⎫
-=< ⎪⎝⎭Q
所以当12x π=-时，函数()f x 取得最小值3
x π
=当时，函数()f x 取得最大值2.（10分）
18. 解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
2()(10.4)0.216P A =-=， （2分） ()1()10.2160.784P A P A =-=-=． （5分）
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． （6分）
(200)(1)0.4P P ηξ====， (250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=， (300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． （9分）
η的分布列为
2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． （12分）
19．（本小题共12分） （I ）证明：A AB PA BC AB BC PA ABCD PA =⋂⊥⊥∴⊥,,,底面Θ
PAB BC 平面⊥∴
又PCB PAB PCB BC
平面平面平面⊥∴⊂, （4分）
（Ⅱ）,ABCD PA 底面⊥Θ
ABCD PC AC 在平面为∴内的射影，
AD AC AD PC ⊥⊥,Θ又
A
B
C
D
E
M
N
H P
在梯形4
,4
,,π
π
=
∠=∠∴=
∠=⊥BAC DCA BAC BC AB BC AB ABCD 得中，由
又
DAC AD AC ∆⊥故,为等腰直角三角形。

()
AB AB AC DC 222
2===∴ 连接2,,==AB
DC
MB DM M AC BD 则于点交 （6分）
在EM PD MB
DM
EB PE BPD //,2,∴==∆中
又EAC EM EAC PD 平面平面⊂⊄,
EAC PD 平面//∴ （8分） （Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取AN N PB 连接的中点,，
B C E
H
N P
则
PCB PAB PB AN 平面平面⊥⊥Θ,
且平面PBC AN PB PCB PAB 平面平面⊥∴=⋂, 在平面,,AH H CE NH N PBC 连接于直线作内，过⊥
由于.CE AH CEB AH NH ⊥内的射影，故
在平面是 AHN ∠∴就是二面角P CE A --的平面角。

（10分） 在a CB PBC Rt =∆中，设
则a PB BE a AB PA PB
3
231,222==
=+=， a BE CB CE a PB NE 3
11,626122=+===
由NEH
CB EB CE NH ∆⊥⊥:,,可知相似于CE
CB
NE NH CEB =
∴
∆, 代入解得：22a NH =
在11tan ,2
2
=∴=
∆AHN a AN AHN Rt 中， 即二面角P CE A --的的大小为11arctan 。

（12分）
20、（Ⅰ）解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．
当10
3
a
=-
时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．
令
()0f x '=，解得10x =，21
2
x =
，32x =． （2分） 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以
()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫
⎪⎝⎭
，
内是减函数．（4分） （Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．
为使
()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤．
解此不等式，得88
33
a -
≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是
8833⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，． （8分）
（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，
可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
因此函数
()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．
为使对任意的[]22a ∈
-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当
(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a
--⎧⎨
-+⎩≤，
≤ 在[]22a ∈
-，
上恒成立． 所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，
． （12分） 21. 解：（I ）因为
+a b =8
8=.
所以动点M 的轨迹是到定点1(2,0)F -
，2(2,0)F 的距离之和为8的椭圆.
则曲线C 的方程是
22
11612
x y +=. （3分） （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)N ，若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为0x =
，与椭圆的两个交点A 、
B 为椭圆的顶点.
由+=，则P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾. （5分）
若直线l 的斜率存在，设方程为
2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .
由,112
1622
2⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=y x kx y 得22(43)16320k x kx ++-=. ()
03412825622>++=∆k k 恒成立.
由根与系数关系得：1221643k x x k +
=-
+，12
232
43
x x k -=+. （7分） 因为OB OA OP +=，所以四边形OAPB 为平行四边形.
若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形，则⊥，即0=⋅.
所以12
120x x y y +=. （9分）
所以21212(1)2()40k x x k x x +
+++=.
即2223216(1)()2404343
k
k k k k +-
-?
=++.
化简得：
21250k +=. 与斜率存在矛盾. （11分）
则不存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形. （12分） 22、解：（I ）
()21f x x =是C 函数，证明如下：
对于任意实数()()()()()()121121112,0,1,11x x f x x f x f x ααααα∈
+----及有
()()()()()()()()2
22
12122212122
1211112110
x x x x x x x x x x αααααααααααα=+----=----+-=---≤
即
()()()()()112111211f x x f x f x αααα+-≤+-
()21f x x ∴=是C 函数 ()()21
0f x x x
=<不是C 函数，证明如下：
取121
3,1,2
x x α=-=-=
则()()()()()212212211f x x f x f x αααα+----
=
()()()22211111231022262
f f f --
---=-++> 即
()()()()()212212211f x x f x f x αααα+->+- 所以
()()21
0f x x x
=
<不是C 函数。

（4分） （Ⅱ）对任意的[]120,,0,0,1n
n m x m x m
α≤≤===∈取
()f x Q 是R 上的C 函数，
()()()()()()()01212,0,2,1122n m n n
a f n a a m a f n f x x f x f x m n m
αααα===∴==+-≤+-=
⨯= 那么()2122123f m S a a a m m m =+++≤⨯++++=+L L
可证
()2f x x =是C 函数，且使得()20,1,2,,n a n n m ==L 都成立，此时2f S m m =+
综上所述，f S 的最大值为2
m m +。

（7分）
（III ）假设()g
x 是定义域为R 的C 函数，
若存在[)()(),0,m n m n T g m g n <∈≠且使得
若()()g m g n <
记1
2,,1,n m
x m x m T T
α-==+=-
则()1201,1n x x ααα<<=+-且 那么()()()()()()()()()()1212111g n g x x g x g x g m g m T g m αααααα=+-≤+-=+-+=
这与()()g m g n <矛盾
若()()g m g n >
记1
2,,1n m
x n x n T T
α-==-=-
也可得到矛盾。

所以，()g x 在[)0,T 上是常数函数，又因为()g x 是周期为T 的函数，所以()g x 在R 上是常数函数，
这与()g
x 的最小正周期为T 矛盾。

所以， ()g x 不是R 上的C 函数。

(12分)。