第11章-博弈论教材全篇

田忌
齐王 b1 b2 b3 b4 b5 b6
a1
3 1 1 1 1 1
a2
1 3 1 1 1 1
a3
1 1 3 1 1 1
a4 1 1 1 3 1 1
a5
1 1 1 1 3 1
a6
1 1 1 1 1 3
2－2 具有鞍点的博弈
通过下面的例3说明，什么是局中人的最优纯策略， 如何求出这个纯策略以及博弈解和博弈值的概念。
博弈的三个要素的矩阵表示（局中人A的收益）
局中人B
局中人A
策
a1
a2
略
am
b1
c11 c21
cm1
策
b2
c12 c22
cm 2
略
bn
c1n c2 n
cmn
局中人A的收益函数可用如下的矩阵表示：
c11
A
c21
cm1
c12 c22
cm 2
c1n c2n
cmn
二人零和博弈也称为矩阵博弈。
博弈论的研究建立在下述假设前提下：即参与博弈 的各局中人都是理性的。
“博弈中一个理性的决策必定建立在预测其他局中人 的反应之上。一个局中人将自己置身于其他局中人的 位置，并为他着想从而预测其他局中人将选择的行为， 在这个基础上该局中人决定自己最理想的行动。”
博弈的三个要素，即局中人，策略集和收益函数 构成了博弈信息，根据不同信息可对博弈做如下 分类：
同样乙方应从收益表中每列找出最大正数（恰为乙 方输掉的数值），为了减少损失，应从这些数字中 求出最小数，它所对应的列策略为乙方的最优纯策 略。
计算过程如下：
对局中人甲，先从每一行中求出最小值
min6,1, 8 8，min3, 2,6 2， min3,0, 4 3，再求出其中的最大值 max8, 2, 3 2。数字2对应的行策略
E1 6x1 4x2 6x1 4(1 x1)，E2 3x1 8x2
3x1 8(1 x1)，甲希望不论乙采取什么策略，
1.按局中人对信息掌握情况分为：完全信息博弈和不 完全信息博弈；
2.按局中人采取行动的次序分为：如果同时采取行动 或在互相保密情况下采取行动，称为静态博弈；如果 采取行动有先后，后采取行动的人可以观察到前面人 采取的行动，称为动态博弈。
我们只研究完全信息静态博弈。 完全信息是指所有局中人对其他局中人各自策略集以及 不同局势下的收益函数都有完全的了解。
早期工作 1912年E.Zermelo “关于集合论在象棋对策中 的应用” 1921年E.Borel 引入最优策略 1928年J.V.Neumann证明了一些猜想
产生标志 1944年J.V.Neumann和O.Morgenstern 《对策论与经济行为》
发展成熟 Nash均衡、经济博弈论、信息不对称对策和 广义对策
夫
决
运
胜
筹 帷
博弈论
于 千
幄
里
之
之
中
Game Theory
外
主要内容
引言 完全信息静态博弈（有鞍点的博弈、混合策略、
纳什均衡） 完全信息静态博弈（非零和的情况、纳什均衡）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§1 引 言
在社会活动、经济管理、军事活动中，经常会遇到 具有竞争性或利益相对抗的现象，例如下棋、打桥 牌、体育竞赛、市场竞争、军事斗争等。竞争的各 方总是想用最好的策略击败对方，取得尽可能好的 结果，这就是博弈现象。
公司都知道，如果在一个区内建两个超市，则两个 市场平分该区业务；如果某区建一个超市，则独揽 该区业务，若某区无超市其业务平均分散在三个超 市中，每个公司都想把超市建在营业额最多的地方。 (1)将该问题表达成一个矩阵博弈，并写出甲公司 的收益矩阵； (2)甲、乙两公司的最优策略是什么？在两公司都 取得最优策略时，它们各占有多大的市场份额？
约翰·纳什（JOHN F.NASH）美国人 (1928- )
约翰·海萨尼（JOHN C. HARSANYI）美国人
(1928-)
莱因哈德·泽尔腾 1930年生于德国
1994年，三人获得诺贝尔经济学奖，在非合作博 弈的均衡分析理论方面做出了开创性贡献，对博 弈论和经济学产生了重大影响。
1996年诺奖授予两位博弈论与信息经济学研 究专家莫里斯、维克瑞
例3：
乙 甲
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3
6 1 8 32 6 19 1 12 3 0 4
博弈过程的描述：从收益表中可知，甲方的最大
收益是19，他当然希望得到这个值，于是甲使用
策略 a3对付乙。但是乙方已估计到甲方的心理而
使用策略 b3对付甲，使他不但得不到19，反而要
输掉12。此时甲也估计到乙方的心理，使用策
a2为局中人甲的最优纯策略。
对局中人乙，先求每列的最大值，max6,3,19,3 19， max1,2,1,0 2，max8,6, 12,4 6，再求其中的最 小值min19,2,6 2，数字2对应的列策略b2为乙方的
最优纯策略。
则局势(a2,b2 )为该博弈的解，其博弈的值为VG 2。
1
3
0 2
3 1
2 1
2 1
1 0
0 3
3 2
1 0
0
3
0 3 0
最优纯策略为(a2,b2),博弈值VG 0。
2 1 0 3 1 1 0 3 2 0 max 3 2 1 1 3
2033 min
3.有鞍点的博弈是少数情况，大量的博弈问题不存 在鞍点，齐王的收益矩阵就不存在鞍点。
课堂讨论题目
博弈问题的实例1：甲、乙二人游戏，每人出一个或 两个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。 如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二 人所出指数之和，否则重新开始。写出该对策中各 局中人的策略集合及甲的收益矩阵，并回答局中人 是否存在某种出法比其他出法更为有利。
博弈问题的实例2：某城市由汇合的三条河分割为 三个区，城市居民中40%住在A区，30%住在B区， 30%住在C区。现有甲、乙两公司要在市内修建超 级市场，甲公司建两个，乙公司建一个。每个
我们称c22 2为收益矩阵的鞍点。博弈G S1, S2; A
称为有鞍点的博弈。
一般地,给定矩阵博弈G S1, S2; A，其中
c11 c12
A
c21
c22
cm1 cm2
c1n
c2n
，对局中人甲有
max i
min j
cij，
cmn
对局中人乙有
min j
max i
cij。
定理：矩阵博弈G S1, S2; A，其中A
2001年诺奖授予阿克洛夫、斯彭斯、斯蒂格 利茨，表彰他们在柠檬市场、信号传递和信号 甄别等非对称信息理论研究中的开创性贡献
2005年诺奖授予有以色列和美国双重国籍的 罗伯特·奥曼和美国人托马斯·谢林，以表彰他 们在博弈论领域作出的贡献
什么是博弈论？
所谓博弈是指局中人按一定规则，在充分考虑其他 局中人可能采取的策略的基础上，从自己的策略集 中选取相应策略，并从中得到回报的过程。 博弈是一种特殊的决策。在决策论中，决策者的对 手是大自然；在博弈论中，代替大自然的是有理性 的人，因而任何一方做出决定时，都必须考虑其他 对手可能作出的反应。
0 2 3
A
0
3 4 ，c11 0，c21 0都是鞍点.即局中人
2 0 3
甲采取a1, a2两个策略，局中人乙采取b1策略可达到
博弈的均衡，双方不输不赢。
2.策略的优超性。 策略优超性的定义：
在矩阵博弈的收益矩阵A cij 中，如果有
ckj clj，j 1, 2, , n，且至少有一个取 号， 则称局中人甲的策略ak 优超于策略al，可将第l行划掉； 如果有cik cil ,i 1, 2, , m，且至少有一个取 号， 称局中人乙的策略bk 优超于策略bl，可将第l列划掉。
2－3 无鞍点矩阵博弈的混合策略
1. 2×2无鞍点矩阵博弈的特殊解法
例4 乙
甲
b1 b2
行最小值
a1
6
3
3
a2
4
8
4(max)
列最大值 6
8
(min)
该矩阵博弈显然不存在鞍点。对他们的博弈过程 作出如下的描述： 如果甲方采取策略a2，他至少可赢得4，乙方为了 减少损失将采取策略b1，由于不存在鞍点，甲认为 采取策略a1比a2更好，如果乙能估计到甲的做法， 则采取策略b2更好一些，这时乙的损失是3而不是 6。至此，甲又要采取策略a2，于是产生了循环。这 说明对于甲、乙来说，都不存在最优纯策略，也就
说明：这种做法可能会丢掉一些最优解，但不会影 响博弈的结论，如果上面的不等式有严格不等式， 就不会出现丢解的现象了。
利用优超性化简收益矩阵
1
A
0
2
2 1 1
0 1 1
A
0 2
1 1
1
1
A
1 1
1
1
利用策略的优超性化简下面的矩阵博弈，并求出局 中人的最优纯策略和博弈值。
2 1 0 3
博弈可表为 G S1, S2; A
例1 写出“石头、剪子、布”游戏的收益矩阵。石 头赢剪刀1分，布赢石头1分，剪刀赢布1分。
解：甲的策略集为{石头，布，剪刀} 乙的策略集为{石头，布，剪刀}
乙 石头 布
甲
石头
0
-1
布
1
0
剪刀
-1
1
剪刀
1 -1 0
例2 写出齐王和田忌赛马中齐王的收益矩阵。 （赢一场得一千金）
cij
在
mn
纯策略意义下有解的充分必要条件是
max i
min j
cij
min j
max i
cij
ci j，其中ci j 称为收益
矩阵的鞍点，也是博弈的值，记为VG ci j所对应的
局势(ai ,bj )称为博弈G的解，ai ,bj分别称为局中
人甲、乙的最优纯策略。
几点说明：
1.在有鞍点的矩阵博弈中，鞍点可以不唯一。例如：
例如，在齐王和田忌赛马的博弈中，双方都有六个 策略： (上,中,下)，(上,下,中)，(中,上,下)，(中,下,上)， (下,中,上)，(下,上,中)，这六个策略形成一个策略 集合。 相应每个局中人的策略选择形成的策略组称为一个 局势。
3.收益函数(Payoff function)：指一局博弈后各局 中人的输赢得失，用正的数字表示局中人的赢得， 负的数字表示局中人的损失。显然，收益函数的取 值与局中人选定的策略有关，于是一局博弈的“得 失”是“局势”的函数。
略 a2 ，使乙得不到12反而输掉6。当甲方使用策 略 a2 时，乙方使用任何策略都要输，当然他希望
输得少一些，因此乙方只能使用策略 b2 ，这时甲
赢得2，乙输掉2，达到了平衡，博弈结束。
我们注意到，博弈论是研究有理智的局中人在每 一个局势下采取的行动。他们在选择策略时，要 考虑到对方总是采取对自己最不利的策略来对抗。 基于这一原则，最优策略不是冒险性的结果，而 是审慎的留有余地的周密安排。 如果双方都不存在冒险心理，为了达到最佳结局， 甲必须计算他的每个策略与乙的各策略博弈后的 结果，从而求出使用每个策略带来的最坏收益， 再从这些最坏收益中选出一个最大收益值，这个 值对应的行策略就是甲方的最优纯策略。
§2 完全信息静态博弈(一)
2－1 二人零和博弈
设博弈中只有局中人A，B；
局中人A的策略集为 S1 a1, a2 ,, am;
局中人B的策略集为 S2 b1, b2 ,, bn.
cij表示局中人A采取策略ai，局中人B采取策略bj 时A的收益(这时局中人B的收益为 cij )，cij为ai和 bj的二元函数，即cij F (ai ,bj )，(ai ,bj )称为局势。
是说甲、乙在博弈过程中，不能只使用一个策略，
而应当以适当的比例交替使用各个策略，这就是混
合策略的概念。
设甲以概率x1, x2分别选取策略a1, a2。乙以概率 y1, y2分别选取策略b1,b2。显然有x1 x2 1， y1 y2 1。现在计算甲、乙的期望收益。
当乙方采取策略b1 , b2时，甲方的期望收益为
解：
S1 a1, a2, a3, a4, a5, a6，S2 b1,b2,b3,b4,b5,b6
a1 (上,中,下)，a2 (上,下,中)，a3 (中,上,下), a4 (中,下,上)，a5 (下,中,上)，a6 (下,上,中)。 S2中的各策略与S1对应的策略相同。
齐王的收益矩阵：
构成博弈的三个要素：
1.局中人(Players)：是指参与竞争的各方，它可以 是一个人，也可以是一个集团，但局中人必须是有决 策权的主体，而不是参谋或从属人员。在博弈中局中 人可以有两方，称为二人博弈；也可以有多方，称为 多人博弈，在多人博弈中又可分为结盟和不结盟的情 况。 2.策略(Strategies)：指局中人所拥有的对付其他局 中人的手段、方案的集合。在静态博弈中，策略必须 是一个独立的完整的行动，而不能是若干相关行动中 的某一步。