【配套K12】高二数学上学期第三次月考试题 理

2014级高二上学期第3次月考数学（理）试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知直线1:260l ax y ++=和直线2
2:(1)10l x a y a +-+-=相互垂直，则a 的值为
( ) A.1- B.
23 C. 1 D.2
3
或1 2．已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点)2,0(的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是（ ） A.
2
17
B.3
C. 5
D. 29
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 、
3560
B 、200
C 、3
580 D 、240
4．已知双曲线62x －3
2
y =1的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线
上且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M 的距离为 ( ) A.
563 B.6
65 C.56 D.65
5．已知圆2
2
:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为 ( ) A ．43-
B ．2
3
- C ．43 D ．23
6．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若
若
p q ⌝∧为真，则实数m 的取值范围为 ( )
A ．(2,3)
B ．(,1](2,)-∞+∞
C ．(,2)[3,)-∞-+∞
D ．(,2)
(1,2]-∞-
7．过点(1P 作圆221O
x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）
15
4:2
2=-y x C A
B ．2 C
D ．4
8．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 且斜率为12的直线交椭圆于
,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )
A ．
2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．22
1189
x y += 9．已知直线l ：为常数）k kx (2y +=过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的上顶点B 和左焦点F ，
且被圆422
=+y x
截得的弦长为L
，若L ≥
则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A.. ⎥⎦⎤
⎝⎛550，
B. 0⎛ ⎝⎦
C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530，
D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛5540， 左、右焦点分别为12,,F F P 为C 的右支上一点，且 10．已知双曲线的2
12F F PF =，则
12PF PF ⋅等于（ ）
A.24
B.48
C.50
D.56
11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直 线AD 与底面BCD 所成角为
3
π
，则此时三棱锥外接球的体积为（ ） A ．8π B
．
3 C
．3 D
．3
12．已知F 是抛物线2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其 中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C
D
二、填空题（每题5分，共20分）
13．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，90BCA ∠=，点1D 、1F 分别是11A B ，
11AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值为
14．已知
p ：112
x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的
取值范围是 ．
15．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，满足线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为 ．
16．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C
上且AK ，则AFK ∆的面积为
三、解答题（17题10分，其他题每题12分，共60分） 17．已知关于x ，y 的方程C: 2
2240x
y x y m +--+=．
（1）当m 为何值时，方程C 表示圆．
（2）若圆C 与直线l: x+2y-4=0相交于M ，N 两点，且MN
，求m 的值．
18．如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面
ABC
,,⊥AB BC D 为
AC
的中
点,12A A AB ==,
3BC =.
（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求四棱锥11-B AAC D 的体积
.
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
19．抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；
（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 20．（本题满分15分） 如图，已知AB ⊥平面BEC,AB ∥CD,AB=BC=4，CD=2，,△BEC 为等边三角形.
（Ⅰ）求证:平面ABE ⊥平面ADE ；
（Ⅱ）求二面角A DE B --的平面角的余弦值．
21.已知点P 是椭圆2
212
x y +=上的任意一点，12,F F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，动点Q 满足12OQ PF PF =+．
（1）求动点Q 的轨迹E 的方程；
（2）若与坐标轴不垂直的直线l 交轨迹E 于A ，B 两点且OA ⊥OB ，求三角形OAB 面积S 的取值范围．
22．（本小题满分13分）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x
轴上，离心率e =虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A B ，均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标
参 考 答 案
1--5．BABCC 6--10．CADBC 11--12．DB 13
．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
15．35 16．8
17．（1）5<m （2）4=m
试题解析：（1）方程C 可化为 m y x -=-+-5)2()1(22 显然05>-m 时方程C 表示圆．即5<m
（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心C （1，2），半径 m r -=5
则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 5
12
142212
2
=
+-⨯+=
d
5
221,54
==
MN MN 则 ，有 2
22)21(MN d r +=，,)52()51(
522+=-∴m 得 4=m
18．（1）见解析；（2）3.
【解析】
（1）证明:连接1BC ,设1BC 与1BC 相交于点
O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形, ∴点O 为1BC 的中点. ∵
D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D ,∴1//AB 平面1BC D . (2)∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,
∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面
ABC 平面11AAC C
AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ，∵12AB BB ==，
3BC =， 在Rt △ABC 中
，AC =
==
，
AB BC BE AC ==，∴四棱锥11-B AAC D 的体积
()111
11
32V AC AD AA BE =⨯+
126=3=.∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.
19．（1
）±；（2）面积最小值是4．
E
O
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，
124y y =-．
①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得m =．
所以直线AB 的斜率是±．
（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆．
因为121
22||||2
AOB S OF y y ∆=⨯
⋅⋅-== 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
4
【解析】试题解析：（Ⅰ）取BE 的中点F 、AE 的中点G ，连结FG 、GD 、CF
∴1GF
2=AB ，GF//AB
1
DC 2
=AB ，CD//AB
∴CD GF =，CD//GF ∴CFGD 是平行四边形 ∴CF//GD AB ⊥平面C BE ，∴CF AB ⊥
CF ⊥BE ，AB BE =B ，∴CF ⊥平面ABE CF//DG ，
∴DG ⊥平面ABE
DG ⊂平面D A E ，∴平面ABE ⊥平面D A E （另证：可证得
GD ∠B 是二面角D B -AE -的平面角
在GD ∆B 中，计算可得：G B =DG =D B =满足222
D G DG B =B +
故GD 2
π
∠B =
，∴平面ABE ⊥平面D A E 6分） （Ⅱ）过G 作G FD H ⊥于H ，过H 作D HM ⊥E 于M ，由GF BE ⊥，FC BE ⊥，可得BE ⊥平面GFCD ，平面D BE ⊥平面GFCD ，从而G H ⊥平面D BE ，由此可得D E ⊥平
面G HM ，即G ∠MH 就是二面角D A -E -B 的平面角 ， 因为G H =，G 5
M =
，
5MH =
故cos G G MH ∠MH ==M ，即二面角D A -E -B 的平面角的余弦值为
（另解：过AE 中点G 作G D M ⊥E 于M ，连结BM ，可证得G ∠MB 就是二面角
D A -
E -B 的平面角 在G ∆MB 中，计算可得：G B =G 5
M =
，5BM =
故cos G G MH ∠MH =
=
M ，即二面角D A -E -B 的平面角的余弦值为4）
21.（1）14
82
2=+y x ；（2）三角形OAB 面积S 的取值范围为8(,3．
【解析】试题解析：（1）动点Q 满足=
+
．又
，
设Q （x ，y ），则
=﹣
=﹣（x ，y ）=
．∵点P 在椭圆上，
则，即．
（2）①当OA 斜率不存在或为零时，S=
=2
，
②当OA 斜率存在且不为零时，设OA ：y=kx （k≠0），代入x 2
+2y 2
=8，
得
，
，∴|OA|2
=x 2
+y 2
=
，∵OA ⊥OB ，以﹣代换k ，同
理可得，∴S 2=|OA|2|OB|2
=
=4242
16(21)
252
k k k k ++++
=8=8
，∵
≥
=4，当且仅
当k=±1时等号成立．而k=±1时，AB 与x 轴或y 轴垂直，不合题意．∴∈（4，
+∞），∴
，∴
．
因此三角形OAB 面积S 的取值范围为8
(,3
．
22．（Ⅰ）2
214x y -=（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
试题解析：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为22221(0,b 0)x y a a b -=>>，由已知得：c a =22b =，又222a b c +=，解得2,1a b ==，∴双曲线的标准方程为2
214
x y -=．
（Ⅱ）设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，联立22
14
y kx m
x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，得222(14k )84(m 1)0x mkx ---+=， 故22222
1222122
1406416(14k )(m 1)0
814k 4(m 1)14k k m k mk x x x x ⎧-≠⎪∆=+-+>⎪⎪⎨+=
-⎪
⎪-+⎪=⎩- ，
222
2
121212122
4(k )(k )k ()14m k y y x m x m x x mk x x m k
-=++=+++=- ， 以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点(2,0)D -，1AD BD k k ∴=-，即
1212122
y y
x x ⋅=-++，
1212122()40y y x x x x ∴++++= 222222
44(1)1640141414m k m mk
k k k --+∴
+++=---， 22316200m mk k ∴-+=．解得：12m k =，2103
k
m =
． 当12m k =时，l 的方程为(2)y k x =+，直线过定点(20)-，，与已知矛盾； 。

当2103k m =
时，l 的方程为103y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 直线过定点1003⎛⎫-
⎪⎝⎭，，经检验符合已知条件．所以，直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．。