北京师范大学附中高考数学二轮复习 统计与概率专题能力提升训练

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提
升训练：统计与概率
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的概率是( )
A ．
827
B ．
427
C ．
38
D ．
316
【答案】A
2．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200)(,300)(==ξξD E 则p 等于( )
A ．
3
2 B ．
3
1 C ． 1 D ． 0
【答案】B
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A ．
1999
B ．
11000
C ．
999
1000
D ．
2
1 【答案】D
4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)= p ，则P(-1<ξ<0)= ( )
A ．p +2
1
B ．1-p
C ．1-2p
D ．p -2
1
【答案】D
5．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有小球（除颜色外其他均无区别）， 其中不公平的游戏为( )
A ．游戏1和游戏3
B ．游戏1
C ．游戏2
D ．游戏3 【答案】D
6．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A 被抽取到的概率为( )
A ．15
B ．310
C ．23
D ．不确定 【答案】C
7．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近
视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A ．期望与方差 B ．排列与组合 C ．独立性检验 D ．概率 【答案】C
8．某地2010年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )
A ．计算机行业好于化工行业
B ．建筑行业好于物流行业
C ．机械行业最紧张
D ．营销行业比贸易行业紧张 【答案】B
9．已知数据11221010(,)(,)(,)x y x y x y L 、满足线性回归方程$
y bx a =+，则“00(,)x y 满足线性回归方程$
y bx a =+”是“121012
10
00,1010
x x x y y y x y +++++==L L ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 10．在对一组数据采用几种不同的回归模型进行回归分析时，得到下面的相应模型的相关指数2R 的值，其中拟和效果较好的是( )
A ． 0.60
B ． 0.63
C ． 0.65
D ． 0.68
【答案】D
11．在一次试验中，测得(,)x y 的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )
A ．$y x 1=+
B ．$y x 2=+
C ．$y 2x 1=+
D ．$y
x 1=- 【答案】A
12．分类变量X 和Y 的列联表如右：则下列说法中正确的是( )
A ．ad －bc 越小，说明X 与Y 关系越弱
B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 关系越强
C ．(ad －bc)2
越大，说明X 与Y 关系越强
D ．(ad －bc)2
越接近于0，说明X 与Y 关系越强 【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，2
,)(4)0.84,(0)P P σξξ≤===则 .
【答案】0.16
14．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 . 【答案】3/4
15．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____________cm. 【答案】185
16．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用 y （万元）， 有如下的统计资料：
若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆy
bx a =+，其中已知23.1=b ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为____________.
【答案】24.68
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人. (Ⅰ）求n 的值；
(Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；
(Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数,x y ，并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.
【答案】（Ⅰ）由题意得
620
120120120n
=
++，解得160n =. (Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下： (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、
(d,f)共15种
设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件M ，其中事件M 的基本事件有9种. 则
93()155
P M =
=. (Ⅲ）由已知，可得01
01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，点(,)x y 在如图所示的正方形OABC 内，
由条件210
0101x y x y --≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，得到区域为图中的阴影部分.
由210x y --=，令0y =得1
2
x =，令1y =得1x =. ∴113(1)1224
S =
⨯+⨯=阴 设“该运动员获得奖品”为事件N
则该运动员获得奖品的概率3
3
4()14
P N ==
18．甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为2
1
，乙投篮命中的概率为
3
2． (1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率； (2) 求甲比乙投中的球恰好多两个的概率。

【答案】（1）设“甲至多命中2个球”为事件A ，“乙至少命中两个球”为事件B ，由题意得，
1611)21()21()21()21()21()(222431144=
⋅+⋅+=C C A P
9
8)32(31)32()31()32()(43
342224=+⨯+⨯=C C B P
∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为1811
981611)()(=
⨯=⋅B P A P
(2）设甲比乙投中的球恰好多两个为事件C
则 P （C ）=422234132
44444412112111()()()()()()()()23323323C C C C ++=
31648
19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。

现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1）用茎叶图表示这两组数据； (2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
(3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ. 【答案】（Ⅰ）作出茎叶图如下：
(Ⅱ）派甲参赛比较合适。

理由如下： ()1
x 70280490289124835858
=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1
x 70180490350035025858
=
⨯+⨯+⨯++++++++=乙，
()()()()()22222
21s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣
甲
()
()()2
22
88859385958535.5⎤-+-+-=⎦
，
()()()()()22222
21s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣
乙
()()()
222
90859285958541⎤-+-+-=⎦
， ∵x =甲x 乙，22s s <乙甲， ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分。

如：派乙参赛比较合适。

理由如下：
从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率13
P 8
=，
乙获得85分以上（含85分）的概率241
P 82
=
=。

∵21P P >，∴派乙参赛比较合适。

(Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，()63P A 84
==。

随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且33,4⎛⎫
ξ ⎪⎝⎭
:。

∴()k
3k
k 331P k C 44-⎛⎫⎛⎫ξ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，k 0,1,2,3=。

所以变量ξ的分布列为：
1927279E 0123646464644ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=。

（或39
E nP 344
ξ==⨯=） 20．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3
5
．
(1）请将上面的列联表补充完整；
(2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由. 下面的临界值表供参考：
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
【答案】 (1) 列联表补充如下：
(2）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯ ∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
21． 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
(Ⅰ）试确定,x y 的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
(Ⅱ）完成相应的频率分布直方图.
(Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由. 【答案】 (Ⅰ)3.0,4==y x ，
众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米. (Ⅱ）其频率分布直方图如图所示：
(Ⅲ)样本的平均数为
5.401.05.821.05.672.05.522.05.373.05.221.05.7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
因为355.40>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民
区的环境需要改进.
22．以下数据是浙江省某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间的对应关系，
(1）画出数据对应的散点图，你从散点图中发现该种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有什么统计规律吗？ (2）求y 关于x 的回归直线方程；
(3）请你预测，当广告费支出为7（百万元）时，这种产品的销售额约为多少（百万元）？ (参考数据：2304405606508701380⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=） 【答案】（1）散点图如下：该产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间的统计规律： 销售额与广告支出呈线性正相关等
(2）根据给出的参考公式，可得到 6.5,17.5b a ≈≈，于是得到y 关于x 的回归直线方程y=6.5x+17.5.
(3)当x=7时，由回归直线方程可求出销售额约为63百万元.。