大学物理 机械波

源
O
X
2m
解:波源处振动函数为: y Acos(t 0)
这里A=0.01, = 2 =200 T
由旋转矢量图可判断出:
y
0
2
于是波源处的振动方程为: y 0.01cos(200t )
以A为坐标原点，建立坐标系，任取一点P，P比波源O2点落后，
故应该“-”
y 0.01cos[200π(t x 2) π ]
第6章 机械波
出天 电线 磁发 波射
声波
水波
地震波造成的损害
第六章 机械波
§6.1 机械波的基本概念 §6.2 平面简谐波 §6.3 波的能量 §6.4 惠更斯原理 §6.5 波的干涉 §6.6 驻波
波动： 振动在空间的传播过程叫做波动
波的分类： 1. 机械波 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传
T0
2
3、能流密度（波的强度）：
垂直通过单位面积的能流。
S P ωu σ
4、平均能流密度：
uρA2ω2
sin2
ω
t
x u
S ωu 1 uρA2ω2
2
S ωu
电磁学中称为“坡印亭矢量”， 光学中称为“波的强度”，用 I 表示
I A2
三、平面波和球面波的能流
1、平面波
波
波线
面u
x
S1
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
u
2 0.01cos[200π(t
x
2
)
π
]
400 2
§6.3 波的能量 能流密度
BC
一、波的能量 能量密度
平面简谐纵波在直棒中传播：
dm S
y Acos (t x ) O x dx
x
1. 动能：
u
dm Sdx dV
dEk
1 dmv2 2
1 2
dVv2
而质元的振动速度： v dy A sin t x
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；
如柔绳上传播的波.
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
回顾
y
比较
O
O点的振动方程：
y0 (t
y
) Acos(ωt
Acos[ω(t x) u
0)
0
]
y( x, t )
A cos(t
2 x
0 )
2π P点比O点相位落后了 x
u
x P x
三、波函数的物理意义
y Acos[ω(t
x u
)
0
]
1、固定x，令x=x0
y Acos[ω(t
x0 u
u
x
解： 设波函数为
y( x, t )
Acos( t
2
x 0)
已知A=0.1,=2=，T=2s
则波长=uT=36m
故波函数为y( x, t )
A cos(π
t
π 18
x
0)
由旋转矢量法可判断出
0
6
0
y
故波函数为
y(x,t) 0.1cos[ ( t x ) ]
18 6
例2平面简谐波以400ms-1的速度沿一直线传播, 已知波源的振动周期为0.01s,振幅为A=0.01m. 以波源振动经过平衡位置向正向运动时作为 记时起点,求:以距波源2m处为坐标原点写出波函数.
dt
得到质元的振动动能：
u
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x dV u
2. 势能：
BC
dF
应力与应变成正比：
Y
dy
S
S
虎克定律： dF kdy
dx
O
x
dx
x
k SY dx
O
x
y y dy
弹性势能：
dEp
1 k dy2
2
1 2
SY dx
(dy)2
1
SYdx
dy
2
2 dx
又 y Acos (t x )
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
对于固体 横波： u
G
ρ
G为切变弹性模量。
xF
Fx
G h Sh
S
纵波： u Y
切变
ρ
Y为杨氏弹性模量。
对于绳索中的波速
F u F
μ
F为张力，为线密度。
F
l0 l0 + l 长变
可见，波速由弹性媒质性质决定
2、波长 ：波线上相位差为2的相邻两点间的距离
3、周期 T：波前进一个波长所需的时间 4、频率：单位时间内波前进距离中完整波的数目
(5) 振动状态相同的点叫做“同相点”，相邻两同相 点之间的距离为一个波长
二、描述机械波的物理量
1、波速(相速)：振动状态（或相位）在空间的传播速度。
p
对于液体和气体
B
u
ρ
p
V0+ V
p
B为容变弹性模量，为质量密度。
理想气体： u γ p ρ
液体和气体内只 能传播纵波，不能传 播横波。
p
容变
Δp B ΔV V
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；
播出去，就形成机械波. 2. 电磁波
变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电
磁波. 3. 物质波
物质波（也称概率波）是微观粒子的一种属性，
具有完全不同的性质，遵从量子力学理论.
§6.1 机械波的基本概念 一、机械波的形成
机械振动在媒质中的传播
1.产生条件：(1)波源 (2)媒质
2.波的分类：横波 纵波
)
0
]
Acos[ωt
ωx0 u
0 ]
y O
t
描述的是：x0点处质点的振动情况 y t=t0
u
2、固定t，令t=t0
x
y
Acos[ω(t0
) u
0
]
O
x
描述的是：t0时刻所有质点的运动情况
3、反映波是振动状态的传播
y x 和 t 都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布.
t2
x
t1
ut
y Acos(t x ) Acos(t t x ut )
1
T 2π
uT
注意
dy (1) 波速u与质点的振动速度 dt
(2) 会画质点的振动方向和振动曲线
y
u F
E
A
D
x
B
C
y A点振动曲线
y F点振动曲线
t
t
三、波的几何描述
波线：表示波的传播途径和方向的有向线段。 波面：振动状态相同的点所构成的面。 波阵面（波前）：在最前面的那个波面。
波线 波前 波面
波动
能量守恒
能量不守恒
动能、势能转换
沿波传播方向向前传播
Ek、Ep反相
Ek、Ep同相
E 1 kA2 2
势能决定于形变 Δ y
d
E
ρA2ω2
sin2
ω t
x u
dV
势能决定于相对形变 y
x
4、能量密度：单位体积介质中的波动能量
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
5、平均能量密度：
y( x, t )
A cos(t
2
x
0
)
1
T 2π
<3> 由振动曲线得到波形图
y
X=0
t
上游 y
u t=0
x 下游
五、波动方程的微分形式
y
A cos[ω(t
x) u
0
]
将波函数分别对t和x求导
y Acos[ωt 0 ]
2y t 2
2 Acost
x u
0
2y x2
2A
u2
cos t
t
x u
0
平面简谐波的波动方程（波函数）
y
A cos[ (t
x u
)
0
]
总结：建立波函数的过程：
(1)写出波在已知点的振动表达式；
(2)判断波的传播方向，一般给出，建立坐标系；
(3)在坐标轴上任选一点，看此点与已知点相位相比是 超前还是落后；
(4)在已知的振动方程中，若任选的点超前就是“+”， 落后就是“-”；
x)
0
]
二、波函数的其他形式
y Acos[ω(t
由物理量的关系
x u
)
0
]
2
uT
1 T
2π
u
T
2
多种表示方法：
T
y( x, t )
A cos(t
2
x
0
)
波
y(x,t) Acos(ωt kx 0 )
数
y( x, t )
A cos[2 ( t
T
x
)
0
]
x前面的“-”号表示波的传播方向与x轴正方向相同
如空气中传播的声波.
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
疏
密
疏
密
疏
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
y 3.波的特点：
u
x
t 0 1 4 7 10 13
tT
4 1 4 7 10 13
u
u
结论： t 时刻，x 处质点的振动状态经t 时间传到了x + ut 处。
四、波函数、波形图与振动曲线的关系
<1> 由波动方程能画出相应的波形图和质点
的振动曲线
y
Acos[ω(t
x) u
0 ]
<2> 由波形图能得到相应的波动方程，画出质点的
振动曲线
y
A
t
u
O
x
y
Acos[ω(t
x) u
0
]
uT
t
T 2
1
4
7
10
13
t
3T 4
1
t T
47
10
13
(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并 未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。
(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠 质元间的弹性力)。
(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游 ”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义 。(4) 振动状态由相位决定，因此振动状态的传播也可 以说成是“相位”的传播。
一个周期内所有能量之和与时间T的比值
w 1 T
T wdt 1
0
T
T 0
A2ω2
sin2
ω
t
x u
dt
1 2
A2ω2
二、能流密度 波的强度
1、能流：单位时间内通过某一截面的波动能量.
P ωuΔtσ ωuσ
Δt
uσρA2ω2
sin
2
ω
t
x u
u
u△t
2、平均能流
P 1 T Pdt ωuσ 1 ρ A2ω2uσ
S2
假设介质不吸收能量 P ωuσ 1 ρ A2ω2uσ 2
根据能量守恒
P1 P2
1 2
ρ A12ω2uS1
1 2
ρ A22ω2uS2
S1 S2 A1 A2
结论：在均匀的不吸收能量的介质中传播的平面波， 其振幅保持不变。
2、球面波
S2 S1
假设介质均匀，不吸收能量 P ωuσ 1 ρ A2ω2uσ 2 根据能量守恒
平面波
波前 波面 波线
球面波
§6.2 平面简谐波
就是波源做简谐振动引起的平面波，称为平面简谐波
一、平面简谐波波函数
y
O点的振动方程：
u
y0 (t) Acos(ωt 0 ) P点的振动状态在时
间上落后于O点Δ：t x u
O
x
t tx
u
x P
t x u
t
yP,t
yO, u
0
波动方程： 2 y 1 2 y x2 u 2 t 2
其通解为： y Φ(t x ) Φ(t x )
u
u
具有这种形式的波称为行波
例1 简谐波沿x轴正向传播，频率为 =0.5Hz,波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻 的波形如图,求波函数.
y t=0.5s
-0.05 -0.1
3、质元的机械能：
d
E
d
Ek