北京平谷县峪口中学2021年高三数学理测试题含解析

北京平谷县峪口中学2021年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 给定四条曲线：①，②，③，④.其中与直线
仅有一个交点的曲线是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
参考答案：
答案：D
2. 已知，则
= （）A．B． C．D．
参考答案：
答案：A
3. 已知函数，若，，则的最小值为（）
A.2
B.4
C. 6
D.8
参考答案：
【知识点】三角函数性质C3
【答案解析】A解析：解：由题意代入
，①又因为
②综合①②可得最小值为所以A正确.【思路点拨】根据已知条件可求出角的取值范围，再利用特殊值求出最小值.
4. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
5. 在函数①y=cos|2x|，②y=tan（2x﹣），③y=cos（2x+），④y=|cos x|中，最小正周期为π的所有函数为（）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
参考答案：
B
【分析】由题意利用三角函数的周期性，逐一判断各个函数的周期性，从而得出结论．
【解答】解：∵函数①y=cos|2x|=cos2x，故它的最小正周期为=π，满足条件；
∵②y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故排除②；
③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，满足条件；
④y=|cos x|中，最小正周期为?2π=π，满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
6. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
7. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值
可能是
A.
B．
C．
D．
参考答案：
B
略
8. 右图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为和
，标准差依次为和，那么（）
（注：标准差，其中为的平均数）A．， B．，
C．， D．，
参考答案：
C
9. 若，∈R，则“≥2”是“+≥4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．πB．πC．8πD．16π
参考答案：
B
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．
解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，
圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，
圆柱和圆锥的高h=2，
故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，
故选：B
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有____________.
① 若，则② 若，则；
③ 若，则④ 若，则∥.
参考答案：
②③
12. dx= ．
参考答案：
1
【考点】定积分．
【分析】dx=，由此能求出结果．
【解答】解：dx===（lnx
）2=1．
故答案为：1．
13. 实数x，y满足约束条件，若函数的最大值为4，则实数a的值为
__________．
参考答案：
略
14. 直线y=3x+1是曲线y=x3﹣a的一条切线，则实数a的值为．
参考答案：
﹣3或1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．
【分析】先对y=x3﹣a进行求导，设出切点，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可
得答案．
【解答】解：设切点为P（x0，y0），
对y=x3﹣a求导数是y'=3x2，
由题意可得3x02=3．∴x0=±1．
（1）当x=1时，
∵P（x0，y0）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x3﹣a上，
∴4=13﹣a．∴a=﹣3．
（2）当x=﹣1时，
∵P（x0，y0）在y=3x+1上，
∴y=3×（﹣1）+1=﹣2，即P（﹣1，﹣2）．
又P（﹣1，﹣2）也在y=x3﹣a上，
∴﹣2=（﹣1）3﹣a．∴a=1．
综上可知，实数a的值为﹣3或1．
故答案为：﹣3或1．
【点评】本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点
的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．
15. 如图，圆的割线过圆心，弦交于点，且～，
则的长等于_______。

参考答案：
3
16. 将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后，所的图像对应的函数为偶函数，则φ= .
参考答案：
17. 在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若，则
= ．
参考答案：
3
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：计算题．
分析：先把已知条件利用切化弦，所求的式子是边的关系，故考虑利用正弦定理与余弦定理把式子中的三角函数值化为边的关系，整理可求
解答：解：由题设知：，即，
由正弦定理与余弦定理得，
即
故答案为：3
点评：本题主要考查了三角函数化简的原则：切化弦．考查了正弦与余弦定理等知识综合运用解三角形，属于基础知识的简单综合．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数
(I)a>0时，求函数f(x)的单凋区间
(II)设函数。

若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范闱
参考答案：
（Ⅰ）函数的定义域为，…………………………………………1分
．…………………………………………2分
，,，
（ⅰ）若，
由，即，得或；…………3分
由，即，得．…………4分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为．…………………………………5分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．…………………………………7分
（Ⅱ）因为存在一个使得，
则，等价于.…………………………………9分
令，等价于“当时，”.……10分
对求导，得. …………………………………11分
因为当时，，所以在上单调递增.…………12分
所以，因此. …………………………………13分
略
19. （本小题满分14分）已知函数f （x）＝x2＋x－ln（x＋a）＋3b在x＝0处取得极值
0．（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f （x）＝x＋m在区间[0，2]上恰有2个不同的实数解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n＞1，不等式
1+++……+＞都成立．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题设可知，∵当时，f （x）取得极值∴，解得经检验符合题意。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则方程即为
令,则方程在区间恰有两个不同的实数根。

∵∴当时，，于是在上单调递减,当时，，于是在上单调递增
依题意有，∴
（Ⅲ）由（Ⅰ）知的定义域为，且
当时，，于是在上单调递减,
当时，，于是在上单调递增
∴为在上的最小值,∴，而，故，其中当
时等号成立,对任意的正整数，取，得,而
，
∴,∴∴
略
20. 设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若向量，
，且．
（1）求tanA?tanB的值；
（2）求的最大值．
参考答案：
【考点】二倍角的正切；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式，求得tanA?tanB的值．
（2）利用诱导公式、余弦定理、基本不等式求得tan（A+B）的最小值，可得=tanC的最大值．
【解答】解：（1）由得，，
即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，．
（2）因为=，
又=，
所以，tan（A+B）有最小值，当且仅当时，取得最小值．
又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．
21. 选修4－5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
参考答案：
证明因为x，y，z无为正数．所以，……………………4分同理可得，………………………………………7分当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分
22. （本小题满分12分）
设函数（其中），且的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调增区间．
参考答案：（Ⅰ）=……………………4分
∴ ，即……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,将函数的图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，即…8分
由，得：
,，……………………10分
∴的单调递增区间是：,…………12分。