数学实验第一次测验题及参考答案(09级)

数学实验第一次测验题及参考答案（09）
一、写出下列MATLAB命令的运算结果.
1. a=[1 2 3 4].\ [2 1 3 2], b=[1 2 3 4].* [2 1 3 2]
a =
2.0000 0.5000 1.0000 0.5000
b =
2 2 9 8
2. A=[1 2; 3 4]; a=A(2, :) , b=A(: , 2), c=A(:)'
a =
3 4
b =
2
4
c =
1 3
2 4
3. a=linspace(0, 10, 5), b=0:2.5:10
a =
0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000
b =
0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000
4. A=[1,2,3; 4,5,6]; b=A(2, 3), c=A([1 2], [1,3]) , d=size(A)
b =
6
c =
1 3
4 6
d =
2 3
5. x=7.1; [fix(x), floor(x) ceil(x) round(x)]
ans = 7 7 8 7
x=-7.1; [fix(x), floor(x) ceil(x) round(x)]
ans = -7 -8 -7 -7
6. syms x y, z='x^2+x*y-y'; zx=diff(z, x), zy=diff(z, y)
zx =2*x+y
zy =x-1
7. syms t, x=[exp(t), cos(t), sin(t)]; dx=diff(x, t)
dx =[ exp(t), -sin(t), cos(t)]
8. syms x y, f=x*y; y=x^2; f1=subs(f, 'y', y)
f =x^3
9. a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; x=dot(a, b), y=cross(a, b)
x = 32
y = -3 6 -3
10. v=[1, 2, 3, 4]; A=diag(v); det(A)
ans =24
二、写出下列MATLAB 命令的实验目的. 1. f=inline('sum(1./(1:n).^2)', 'n'); f(10) 求
∑=n
k k
1
2
1
当10=n 时的值.
2. syms x, limit(sin(x)/x, x, 0) 求极限x
x
x sin lim
0→.
3. y=[];
for x=-1:0.01:2
if x<0 y=[y, -x]; elseif x<1 y=[y, 1]; else y=[y, 2-x]; end end
x=-1:0.01:2; plot(x, y, 'r')
画出函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤<≤--=21,210,101,x x x x x y 的图形.
4. syms x, x=-3:0.1:3; f=inline('x.^2 -4*x-10'); c1=fzero(f, [-3,0]) 求函数1042
--x x 在区间]0,3[-的零点.
5. f='x/(1+x.^2)'; [xmin, ymin]=fminbnd(f, -10,10) 求函数2
1x x
f +=
在区间]10,10[-的最小值.
6. syms x, int('x^2*sin(x)', x, 0,1) 计算定积分
⎰
1
2sin xdx x 的值.
7. x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2-y.^2; surf(x,y,z) 绘制曲面2
2
y x z -=的图形
8. clf; v = -2:0.2:2;
[x,y] = meshgrid(v);
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2);
%画z 的梯度向量(px,py)=(diff(z,x),diff(z,y)), .2, .2分别表示px, py 间的间隔。

contour(v,v,z), hold on; quiver(v,v,px,py), hold off 作函数)ex p(2
2
y x x z --=的等高线与斜率场.
9. s= solve( 'x^2 + x*y + y = 3', 'x^2 - 4*y =- 3'), [s.x, s.y]
求方程组 ⎩⎨⎧-=-=++3
43
22y x y xy x 的解.
10. dblquad(inline('sin(exp(x.*y))'), 0, 1, 0, 1) 求二重积分
⎰⎰101
)sin(dx dy e
xy
的近似值.
三、为下列实验目的写MATLAB 指令.
1. 作摆线)sin (2t t x -=, )cos 1(2t y -=(π40≤≤t )的图形. ezplot('2*(t-sin(t))', '2*(1-cos(t))', [0,4*pi])
2. 在一张图上画出椭圆32
2+=+xy y x 和双曲线3322+=+xy y x 的图形.
ezplot('x^2+y^2-x*y-3'); hold on; ezplot('x^2+y^2-3*x*y-3'); hold off axis([-3,3,-3,3]) 3. 画出函数0=y ，50≤≤x 的图形.
x=0: 0.1: 5; y=zeros(1, length(x)); plot(x, y, 'r')
4. 求极限 1
51
2lim 33++∞→n n n .
syms n
limit((2*n^3+1)/(5*n^3+1), n, inf)
5. 求由方程012222
2=++++-y x y xy x 确定的隐函数的导数. 并求)1(f '.
syms x y
z=2*x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1;
daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y) x=1;
daoshuzhi=eval(daoshu)
6. 求由参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧+=
+=3231616t t y t t x 确定的函数的导数.
syms t
x=6*t/(1+t^3); y=6*t^2/(1+t^3);
daoshu=diff(y,t)/diff(x,t); daoshu=simple(daoshu)
7. 求⎰)
(cos 0
2)(x dx x w dx d .
syms x ; diff(int('w(x)',0,cos(x)^2), x) 8. 求
⎰-
π
π2222sin xdx e
x
.
syms x
int('exp(2*x)*sin(2*x)^2',x,-pi,2*pi)
9. 作空间曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧===t z t y t x sin cos 当]8,0[π∈t 时的图形.
ezplot3('cos(t)', 'sin(t)', 't', [0, 8*pi])
10. 设y
xy z )1(+=,求
x z ∂∂，y
z ∂∂. syms x y
z='(1+x*y)^y'; diff(z,x)，diff(z,y) 11. 求级数
∑∞
=-1
2
)
12(1
k k 的和.
syms k;
s2=symsum(1/((2*k-1)^2), k, 1, inf)
12. 求函数)1ln()1(x x ++的6阶麦克劳林多项式.
syms x
ser3=taylor((1+x)*log(1+x), 7)
四、为下列实验目的编写MATLAB 程序. 1. 作函数2
1x x
y +=
的图形，并求其极小值与极大值.
f='x/(1+x^2)'; ezplot(f,[-10,10]); [xmin,ymin]=fminbnd(f,-10,10) f1='-x/(1+x^2)'; [xmax,ymax]=fminbnd(f1,-10,10)
2. 求曲面142
2++=
y x z 在点)21
64
,21,41(处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一图形里.
syms x y z
F='4/(x^2+y^2+1)-z';
f=diff(F,x); g=diff(F,y); h=diff(F,z); x=1/4; y=1/2; z=64/21;
a=eval(f); b=eval(g); c=eval(h); x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1; [x,y]=meshgrid(x,y);
z1=a*(x-1/4)+b*(y-1/2)+64/21; z2=4*(x.^2+y.^2+1).^(-1); mesh(x,y,z1); hold on mesh(x,y,z2); hold off
3. 计算曲面积分
dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑
++333（∑为球面2222
a z y x
=++的外侧）。

提示：用高斯公式化曲面积分dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰
∑
++3
33（∑为球面2222a z y x =++的外侧）为三重积分
⎰⎰⎰
Ω
++dv z y x )(32
22（Ω为2222a z y x ≤++）后，再采用球坐标计算其值.
clear;
syms x y z r s t a f=3*(x^2+y^2+z^2); x= r*sin(s)*cos(t); y= r*sin(s)*sin(t); z= r*cos(s); f=eval(f);
int(int(int(f*r^2*sin(s), t, 0,2*pi), s,0,pi), r, 0,a)
4. 作单叶双曲面19
412
22=-+z y x 的图形. 提示：曲面的参数方程是v u x sin sec =,v u y cos sec 2=,u z tan 3=，其中2
2
π
π
<
<-
u ，
π20≤≤v .
t=-pi/4:0.1:pi/4; r=0:0.1:2*pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=sin(r).*sec(t); y=2*cos(r).*sec(t); z=3*tan(t); surf(x,y,z)
5. 作锥面2
22z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.
t=0: 0.1: 2*pi; r=-3: 0.1: 3; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r.*cos(t); y=r.*sin(t); z=r; mesh(x,y,z); hold on
u=-pi/2:0.1:pi/2; v=-3:0.1:3; [u,v]=meshgrid(u,v); x1=2*cos(u).^2; y1=sin(2*u); z1=v; mesh(x1,y1,z1); hold off 6. 求
⎰
⋅L
d r F ，其中j i F )2(35
6++=xy x xy ,j i r t t t sin cos 2)(+=, π20≤≤t .
syms x y t;
x=2*cos(t); y=sin(t);
vecf=[x*y^6, 3*x*(x*y^5+2)]; vecr=[x,y]; dr=diff(vecr);
f1=dot(vecf, dr); int(f1,t,0,2*pi) 7. 求
⎰
L
ds z y x f ),,(，其中y x z y x f 10301),,(2++=,路径L 为: t x =,
2t y =,23t z =，20≤≤t .
解：首先把曲线积分化为定积分. 因为dt z y x ds t t t 222++=，
clear; syms t;
x= t; y=t^2; z= 3*t^2; f=sqrt(1+30*x^2+10*y);
f1=f*sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2); s=int(f1,t,0,2)
8. 求初值问题0)1()1(='-++y xy y xy ,1|2.1==x y 在区间[1.2, 4]上的近似解, 并作图. fun=inline('(1+x*y)*y/(x*y-1) ', 'x', 'y'); [x,y]=ode45(fun, [1.2, 4], 1); [x,y]
ode45(fun, [1.2, 4], 1) % 或plot(x,y)
五．其它练习
1. 作函数24707222
3
4
++-+=x x x x y 及其二阶导函数在区间]7,8[-上的图形，并求函数的凹凸区间和拐点.
syms x
ddf=diff(x^4+2*x^3-72*x^2+70*x+24,x,2) ddf =
12*x^2+12*x-144
>>ezplot('x^4+2*x^3-72*x^2+70*x+24',[-8,7]) >>ezplot('12*x^2+12*x-144',[-8,7])
>> x=-8:0.1:8;
y1=x.^4+2*x.^3-72*x.^2+70.*x+24;
y2=12*x.^2+12.*x-144;
y3=zeros(1,length(x));
plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'g')
ddf=inline('12*x^2+12*x-144');
c1=fzero(ddf,[-8,0])
c2=fzero(ddf,[0,7])
c1 =
-4
c2 =
3
>> ddf=inline('12*x^2+12*x-144')
>> zhi1=ddf(-5),zhi2=ddf(0),zhi3=ddf(4)
zhi1 =
96
zhi2 =
-144
zhi3 =
96
>> f=inline('x^4+2*x^3-72*x^2+70*x+24','x');
zhi4=f(-4),zhi5=f(3)
zhi4 =
-1280
zhi5 =
-279
函数的下凸（向上凹）区间为[-8,-4],[3,+∞]，下凹（向上凸）区间为[-4,3];
拐点(-4,-1280), (3,-279). 2. 设⎪⎭
⎫
⎝⎛=-πx e
x f x cos )(16
2，45sin )(23
+=x x g . 作它们在区间],0[π上的图形. 并求方程
)()(x g x f =在该区间内的近似根.
x=0:0.1:pi;
y1=exp(-x.^2/16).*cos(x./pi); y2=sin(x.^(3/2))+5/4; plot(x,y1,'r',x,y2,'b')
clear; syms x
f=inline('exp(-x^2/16)*cos(x/pi)-(sin(x^(3/2))+5/4)'); x0=fzero(f, 2.5) x0 =
2.5411
x0=fzero(f, 3) x0 =
2.9746 为所求近似根.
3. 计算
⎰⎰+-D
y x dxdy e )
(2
2
, 其中D 为122≤+y x . 提示：用极坐标变换 2
2y x r +=，⎰
⎰
⎰⎰-+-=π
θ20
1
)
(2
22rdrd e dxdy e
r D
y x
theta=0:0.1:2*pi;
x=cos(theta); y=sin(theta); plot(x,y,'r-')
clear;
syms r theta; f=exp(-(r^2))*r ;
int(int(f,r,0,1),theta,0,2*pi)
4. 求函数22y x z +=在条件012
2=-+++y x y x 下的极值. syms x y r g=x^2+y^2;
h=x^2+y^2+x+y-1; la=g+r*h; lx=diff(la,x) ly=diff(la,y) lr=diff(la,r) 输出
lx = 2*x+r*(2*x+1) ly = 2*y+r*(2*y+1) lr = x^2+y^2+x+y-1 输入
solve('2*x+r*(2*x+1)=0', '2*y+r*(2*y+1)=0', 'x^2+y^2+x+y-1=0','x,y,r') 得到输出 ans =
r: [2x1 sym] x: [2x1 sym]
y: [2x1 sym] 再分别输入 r x y 得到
r =[ -1+1/3*3^(1/2)] [ -1-1/3*3^(1/2)] x =[ 1/2*3^(1/2)-1/2] [ -1/2-1/2*3^(1/2)] y =[ 1/2*3^(1/2)-1/2] [ -1/2-1/2*3^(1/2)]
即有解：1(33r =
--,1(12x =-,1
(12y =--; 1
(33r =-+,1(12x =-+,1
(12
y =-+.
因此有两个极值可疑点. 再输入
x = 1/2*3^(1/2)-1/2; y = 1/2*3^(1/2)-1/2; f1=eval(g)
x = -1/2-1/2*3^(1/2); y = -1/2-1/2*3^(1/2); f2=eval(g) 得到输出 0.2679 3.7321
即得到两个可能是条件极值的函数值{2+3,2-3}. 但是否真的取到条件极值呢？可利用等高线作图来判断：
输入
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);
z=x.^2+y.^2; contour(x,y,z,30) hold on
ezplot('x^2+y^2+x+y-1')
5. 求∑∞
=+-0
21)3(4n n
n n x 的收敛域与和函数.
clear;
syms n x;
a1=4^(2*n)*(x-3)^n/(n+1); a2=subs(a1, n, n+1); p=limit(a2/a1, n, inf) 输出为p =16*x-48
注意这里对a2和a1都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时，幂级数收敛，大于1时发散. 为了求出收敛区间的端点，输入 x=solve('abs(16*x-48)=1') 输出为x = [ 49/16] [ 47/16]
由此可知16
49
1647<
<x 时收敛，1647<x 或1649>x 时发散. 为了判断端点的敛散性，输入 simplify(subs(a1, 'x', 49/16))
得到x 为右端点时幂级数的一般项为ans =1/(n+1), 因此当16
49
＝x 时发散. 再输入
simplify(subs(a1, 'x', 47/16))
输出结果为ans =1/(n+1)*(-1)^n, 因此当47
16
x ＝时, 级数收敛. 也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入 clear; syms n x
s4=symsum(4^(2*n)*(x-3)^n/(n+1), n, 0, inf ) 输出为 s4 =-1/(16*x-48)*log(49-16*x)。