第四节二人的无限零和对策

定理8.4.1设无限对策的支付函数 P(x, y) 是
在 x 0,1 ，y 0,1 上的连续函数，则
V1 =
11
max min P(x, y)dF(x)dG(y)
精品课程《运筹学》
F
G 00
与
第四节 二人的无限零和对策
11
V2
=
min G
max F
P(
x,
y)dF
(
x)dG(y)
存在并相等。式中 0 0 F(x) 与 G( y) 分别
x0 0,1 有 1 P(x0, y)dG*(y) ＜ V
则 Pr x000
Hale Waihona Puke （2）F*(x) 为局中人I的最优策略，如果对某个
V 精品课程《运y0筹学0》,1 有 1 P(x, y0 )dF*(x) ＞
0
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则 Pr y0 0
§4.2 凸对策 当单位正方形上连续对策的支付函数如果对于 其中一个变量来说是个凸函数，这种对策叫做 凸对策（或具凸支付函数的对策）．
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G*(y) I1 (y) 2
，F
*(x)
1 2
I0
(x)
1 2
I1(x)
定理8.4.2 设 P(x, y) 是在x 0,1 ，y 0,1上连续的支付
函数，F(x) 、G( y) 为局中人I、局中人Ⅱ的混合 策略，V 为对策的值。
（1）设G * ( y) 为局中人Ⅱ的最优策略，如果对某个
为局中人I、局中人Ⅱ的分布函数。
当支付函数为连续函数的无限对策称为 连续对策。
例8.4.1设连续对策的支付函数是
P(x, y) = (x y)2, x 0,1 ，y 0,1
在这个对策中，对策值为 1 ，局中人Ⅱ的
最优策略为纯策略
y
1 2
，4局中人I以相等的
精品课程《概运率筹学选》择x 0或 x 1 。即
定理8.4.3 设函数 P(x, y) 在单位正方形 x 0,1，
y 0,1 上对于 x 和 y 都连续．如果对于每一
个 x 0,1 ，P(x, y) 是 y
的严格凸函数，则由 1
下面积分所定义的函数 ( y) P(x, y)dF(x)
是 y 的连续函数，并且也是 y0 的严格凸函
数．式中 F(x) 是任意分布函数 。
P(x, y) 为凸函数指对每个x 0,1，对每一对
y1, y2 0,1和 0,1 ，P(x, y) 满足
P(x, y1 (1 ) y2 ) P(x, y1) (1 )P(x, y2 )
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当 0,1 时 式中恒成立严格不等号，则称其
为严格凸函数。凸对策主要结果为：
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§4.1 无限对策的纯策略与混合策略 §4.2 凸对策
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第四节 二人的无限零和对策
§4.1 无限对策的纯策略与混合策略
作为矩阵对策最简单的推广，就是把每个局 中人的策略集从一个有限集换成一个无限集.这 种对策称为无限对策。由于局中人得到的支付 之和恒为零，所以这种无限对策也称为零和二 人对策．
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第四节 二人的无限零和对策
定理8.4.4设单位正方形上连续对策的支付函
数是 P(x, y)。并设 P(x, y) 对于每一个 x 是 y
的严格凸函数。则局中人Ⅱ的最优策略是一个 纯策略，并且这个纯策略是局中人Ⅱ的唯一的 最优策略。
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