高考数学(苏教版)二轮复习专题15--解析几何中的综合问题

x2 ∴点 P(x， y)到点 ( 3， 0)， (－ 3， 0)的距离之和为 4， 故点 P 的轨迹方程为 4 ＋ y2＝ 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，
依题意直线 AB 的方程为 y＝ x＋ m. 代入椭圆方程， 得 5x2＋ 8mx＋ 4m2－ 4＝ 0，
2
8 则 x1＋ x2＝－ 5m，
y1)， B 点坐标为 (x2， y2)，
联立方程得，
x2 y2 8 ＋ 4 ＝1， y＝ kx ＋m，
消去 y， 得
(1＋ 2k2)x2＋ 4kmx＋ 2m2－8＝ 0，
4km
2m2－ 8
则 x1＋ x2＝－ 1＋ 2k2 ， x1x2＝1＋ 2k2 .
y1 － 2 y2 － 2 由题知 k1＋ k2＝ x1 ＋ x2 ＝ 8，
过点 D
2 0，－ 3
作斜率为 k的直线 l交曲线 C1于 M 、 N点， 求证：无论 k如何变化， 以 MN 为直径的圆过点 Q.
uuur 解： (1)设 P(x， y)， 则有 AP ＝ (x＋ 2 2， y)，
uuur
uuur
AB ＝ ( 2， 0)， BP ＝ (x＋ 2 ， y) ．
uuur uuur
kx1 ＋ m－ 2 kx2 ＋ m－ 2 所以 x1 ＋ x2 ＝ 8，
4
x1＋ x2 即 2k＋ (m－ 2) x1x2 ＝ 8.
mk
1
所以 k－ m＋ 2＝ 4， 整理得 m＝2k－ 2.
1 故直线 AB 的方程为 y＝ kx＋ 2k－ 2，
1
即 y＝k
x＋ 2
－ 2.
1
所以直线
AB 过定点
8k yA－ yB＝－ k(xA－1) －k(xB－ 1)＝2＋ k2.
yA－ yB 所以直线 AB 的斜率 kAB＝ xA－xB＝ 2为定值．
[ 典例 3]
2 已知中心在原点， 焦点在 x轴上， 离心率为 的椭圆 C经过点 ( 6， 1)．
2
(1)求椭圆 C的标准方程； (2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线
解得 y 0＝ 2或 y0＝－ 2(舍去 )， 则点 P 的坐标为 (1， 2)．
(2)证明：由 (1) 知 PF 1∥x 轴， 所以直线 PA、 PB 的斜率互为相反数．设直线 PB 的斜率 为 k， 不妨令 k>0，
则直线 PB 的方程为 y－ 2＝ k(x－ 1)，
y－ 2＝k x－1 ， 由 x2 y2
根据弦长公式易得
AB ＝ 1＋ k2 · x1＋x2 2－4x1x2 ＝ 1＋ k2 ·
4 2 1＋ k2 1＋ 2k2 ，
4 2 1＋ k2
从而易知， CD＝
2＋ k2 ，
1 1 32
32
所以 AB＋ CD＝ 8 ， AB＋ CD＝ 8 AB·CD .
8k2
8k2－ 8
1＋ 2k2 2－ 4· 1＋ 2k2 ＝
[ 典例 2] x2 y2
已知椭圆 a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1， F2， 点 M (0,2)是椭圆的一个顶点，
△；
(2)过点 M 分别作直线 MA ， MB 交椭圆于 A ， B两点， 设两直线的斜率分别为 k1， k2，
主要是配方法和利用基本不等式．
[ 演练 1]
uuur uuur
uuur uuur
已知点 A(－ 2 2 ， 0)， B(－ 2 ， 0)， 动点 P满足 AP ·AB ＝ 2 | AB | ·| BP |，
若动点 P的轨迹记作曲线 C1.
(1)求曲线 C1的方程；
(2)已知曲线 C1交 y轴正半轴于点 Q，
1 综上可知， 直线 AB 过定点 － 2，－ 2 .
(1)本题主要考查椭圆的标准方程， 直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明．
(2)证明直线过定点时， 可先用参数表示出直线方程， 再根据方程的特点去证明．
(3)证明函数式为定值时， 一般是写出其表达式， 消去参数， 从而证明为定值．
[ 演练 2]
如图 ， 已知椭圆的两个焦点 F 1、 F2在 y轴上 ， 2
代入
x2 4
＋
y2 2
＝
1
得
(1＋
2k2)x2－ 4
3
2 kx－
32 9＝
0.
uuuur
uuur
设 M (x1， y1)， N(x2， y2)， 则 QM ＝ (x1， y1－ 2)， QN ＝ (x2， y2－ 2)．
3
4 2k
32
∴x1＋ x2＝ 3 1＋ 2k2 ， x1·x2＝－ 9 1＋ 2k2 .
( x＋1) 2＋ (y＋ 3)2＝ 36. 答案： (x＋ 1)2＋ (y＋ 3) 2＝36 4．若实数 x， y满足 x2＋ y2－ 2x＝ 0， 则 x2＋ y2的取值范围是 ________． 解析： 由 y2＝ 2x－ x2≥ 0 得 0≤ x≤ 2，
所以 x 2＋y2＝2x∈ [0,4] ．
________．
x2 y2 解析： 设 P( x， y) 为矩形的一个顶点， 则 a2＋b2＝ 1≥ 2
x2y2 2|xy| a2b2＝ ab ， 所以 S＝
x2 y2 1 4|xy|≤ 2ab， 当且仅当 a2＝ b2＝ 2时等号成立．
答案： 2ab
2．两点 A(3,0) ， B(0,4)， 动点 P(x， y)在线段 AB上运动， 则 xy的最大值为 ________．
答案： [0,4]
5．设 A(x1，
y1)，
B
9 4，
5
，
C( x2，
x2
y2
y2)是右焦点为 F的椭圆
＋ 25
9
＝ 1上三个不同的点， 若 AF， BF ， CF 成等差数列， 则 x1＋ x2＝ ________.
解析：根据圆锥曲线的共同性质可知
25 A， B， C 到右准线 x＝ 4 的距离成等差数列， 则
uuur uuur
∵AP ·AB ＝ 2 ·| AB | |·BP |，
∴ 2x＋ 4＝ 2· 2· x＋ 2 2＋ y2.
x2 y2 化简得 4 ＋ 2 ＝1.
x2 y2 故曲线 C1 的方程为 4 ＋ 2 ＝ 1.
x2 y2 (2)证明：由 4 ＋ 2 ＝ 1， 得 Q(0， 2)．
2 设直线 l 的方程为 y＝kx－ 3 ，
2 因为椭圆的短轴长为 2 2， 离心率为 2 ，
c2 所以 2b＝ 2 2， a＝ 2 ，
5
解得 a＝ 2， b＝ 2， c＝ 2，
y2 x2 所以椭圆的方程为 4 ＋ 2 ＝ 1.
uuur 所以 F 1(0， 2)， F 2(0， － 2)．设 P(x0， y0)(x0>0 ， y0>0) ， 则 PF1 ＝ (－ x0， 2－
uuuur
uuur uuuur
y0)， PF 2 ＝ (－ x0， － 2－ y0)， 所以 PF1 ·PF 2 ＝x20－ (2－ y20)＝ 1.
x20 y20 又点 P(x0， y0)在椭圆上， 则 2 ＋ 4 ＝ 1，
4－ y20
4－y20
所以 x20＝ 2 ， 从而 2 － (2－ y20) ＝ 1，
25
25
25
2 4 － 4 ＝ 4 － x1＋ 4 － x2， 即 x1＋ x2＝ 8.
答案： 8
[ 典例 1] 已知 i， j 是x， y轴正方向的单位向量， 设 a＝(x－ 3 ) i＋ yj， b＝ (x＋ 3 )i ＋ yj ， 且满足 |a|＋ |b |＝ 4. (1)求点 P(x， y)的轨迹 C的方程； (2)如果过点 Q(0， m)且方向向量为 c＝ (1,1) 的直线 l 与点 P的轨迹交于 A， B两点， 当△ AOB 的面积取到最大值时， 求m的值． [解 ] (1)∵a＝ (x－ 3 )i ＋ yj ， b＝ (x＋ 3)i ＋yj ， 且|a|＋ |b|＝ 4.
②当直线 AB 斜率不存在或为 0 时， AB、CD 中一个是长轴的长度， 另一个是通径的
高考数学（苏教版）二轮复习专题 15 解析几何中的综合问题
回顾 2008～ 2020 年的高考题， 解析几何是重要内容之一， 所占分值在 30 分以上， 大
题小题同时有， 除了本身知识的综合， 还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成
综合题， 多年高考压轴题是解析几何题 .
预测在 2013 年的高考题中：
1
且 k1＋ k2＝8， 证明：直线 AB过定点
－ ，－ 2 2
.
[解 ] (1)因为 b＝2， △ F1MF2 是等腰直角三角形， 所以 c＝ 2， 所以 a＝ 2 2 ，
x2 y2 故椭圆的方程为 8 ＋ 4 ＝1.
(2)证明：①若直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋m， A 点坐标为 (x1，
＋ ＝1， 24
得 (2＋ k2)x2＋ 2k( 2 －k)x＋ ( 2－ k)2－ 4＝ 0.
设 B(xB， yB)， 则 xB＝
2－ k 2－ 4 k2－ 2 2k－ 2
k2＋ 2 2k － 2
2＋ k2
＝ 2＋ k2 ， 同理可得 xA＝ 2＋ k2 .
4 2k 所以 x A－ xB＝ 2＋ k2，
a2－ b2 1 可得 a2 ＝ 2， 从而 a2＝ 2b2，
x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 2b2＋b2＝ 1， 将点 ( 6， 1)代入椭圆方程可得 b2＝ 4，
x2 y2 易知 a2＝ 8， 则椭圆 C 的标准方程为 8 ＋ 4 ＝ 1.
11 (2)原问题等价于 AB＋CD＝ λ(λ为常数 ) ．
l 1、 l 2分别与椭圆交于 A ， B和C ， D ，
6
那么是否存在常数 λ使得 AB＋ CD＝ λ·AB·CD ？若存在 ， 求出实数 λ的值；若不存在 ， 请说明理由．
x2 y2 [解 ] (1)设椭圆 C 的标准方程为 a2＋b2＝ 1(a>b>0) ，
c2 由离心率 e＝a＝ 2 ， c2＝a2－ b2，
－ ，－ 2 2
.
②若直线 AB 的斜率不存在， 设直线 AB 的方程为 x＝ x0， A(x 0， y0)， B(x0， － y0)，
y0－ 2 － y0 －2 则由题知 x0 ＋ x0 ＝ 8，
1
1
1
得 x0＝－ 2.此时直线 AB 的方程为 x＝－ 2， 显然直线 AB 过点 － 2，－ 2 .
不妨取椭圆 C 的右焦点 (2,0)，
①当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，
设直线 AB 的方程为 y＝ k(x－ 2)， 将其代入椭圆方程得 (1＋ 2k2)x2－ 8k2x＋ 8k2－ 8＝0，
设 A(x1， y1 )， B(x2 ， y2) ，
8k2
8k2－ 8
则 x1＋ x2＝1＋ 2k2 ， x1x2＝ 1＋ 2k2.
xy
xy
解析： 由题意得 3＋ 4＝ 1(x>0， y>0)所以 1＝3＋ 4≥ 2
xy
xy
12即 xy≤ 3， 当且仅当 3＝4＝
1 2时等号成立．
答案： 3 3．和圆 (x－ 3)2＋ (y－ 1)2＝36关于直线 x＋ y＝ 0对称的圆的方程是 ________．
1
解析： 圆心 (3,1)关于直线 x＋ y＝ 0 的对称点的坐标为 (－ 1， －3) ， 半径不变， 方程为
1 填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，
三种圆锥曲
线都有可能涉及 .
2 在解答题中可能会出现圆、 直线、 椭圆的综合问题， 难度较高， 还有可能涉及简单
的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，
重点关注定值问题 .
x2 y2
1．椭圆
＋ ＝ 1的内接矩形的面积最大值为 a2 b2
x1·x2＝
4 5(
m2
－
1)
．
1
2
因此， S△AOB＝ 2AB·d＝5
25 5－ m2 m2≤ 5× 2＝ 1.
10 当 5－m2＝ m2 时， 即 m＝± 2 时， Smax＝ 1.
(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题．
(2)求解解析几何中的最值问题， 一般要先建立目标函数， 再求最值， 求最值的方法
uuuur uuur
42
42
∴QM ·QN ＝ x1x2＋ kx1 － 3 kx2 － 3
32
＝
x1x2(1＋
k2)
4 －
3
2 k(x1＋
x2)
32 ＋9
＝－
9
1＋ k2 1＋ 2k2
uuuur uuur ∴QM ⊥ QN .
42 － 3 k·3
4 2k 1＋ 2k2
32 ＋ 9 ＝ 0.
即点 Q 在以 MN 为直径的圆上．
离心率为 2 ， 点 P是椭圆上一点， 且在第一象限内，
短轴长为 2 2 ，
uuur uuuur PF1 ·PF 2 ＝ 1 ，
过点 P作关于直线 PF 1对称的两条直线 PA、 PB， 分别交椭圆于 A、B两点． (1)求点 P的坐标； (2)求证：直线 AB的斜率为定值． y2 x2 解： (1)设椭圆方程为 a2＋ b2＝ 1(a>b>0) ．