2019年山东省中考数学压轴题汇编

2019年⼭东省中考数学压轴题汇编
2019年⼭东省中考数学压轴题汇编
1．（2019?威海）如图，在平⾯直⾓坐标系中，点A ，B 在反⽐例函数(0)k
y k x
=≠的图象
上运动，且始终保持线段42AB =的长度不变．M 为线段AB 的中点，连接OM ．则线段OM 长度的最⼩值是（⽤含k 的代数式表⽰）
．
2．（2019?⽇照）如图，已知动点A 在函数4
(0)y x x
=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y
⊥轴于点C ，延长CA 交以A 为圆⼼AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆⼼AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当4NF EM =时，图中阴
影部分的⾯积等于．
3．（2019?济宁）如图1，在矩形ABCD中，8
AD=，E是CD边上⼀点，连接AE，
AB=，10
将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMN DAM
∠=∠，设AM x
=．
=，DN y
①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最⼩值；
②是否存在这样的点M，使DMN
是等腰三⾓形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2019?泰安）如图，四边形ABCD是正⽅形，EFC
是等腰直⾓三⾓形，点E在AB上，且90
⊥，垂⾜为点G．
∠=?，FG AD
CEF
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
5．（2019?泰安）若⼆次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -．（1）求⼆次函数表达式；
（2）若点P 为抛物线上第⼀象限内的点，且4PBA S ?=，求点P 的坐标；
（3）在抛物线上(AB 下⽅）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．
6．（2019?泰安）在矩形ABCD中，AE BD
⊥于点E，点P是边AD上⼀点．
（1）若BP平分ABD
⊥于点F，如图①，证明四边形AGFP是∠，交AE于点G，PF BD
菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的条件下，若1
AB=，2
BC=，求AP的长．
7．（2019?威海）（1）⽅法选择
如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+．
⼩颖认为可⽤截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ? ⼩军认为可⽤补短法证明：延长CD ⾄点N ，使得DN AD =? 请你选择⼀种⽅法证明．（2）类⽐探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，
BC 是O e 的直径，AB AC =．试⽤等式表⽰线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】
如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=?，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是．（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD
，CD 之间的等量关系式是．
8．（2019?威海）如图，在正⽅形ABCD中，10
=，E为对⾓线BD上⼀动点，连接AE，
AB cm
⊥，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD⽅向以每秒2cm CE，过E点作EF AE
ycm，E点的运动时间的速度运动，当点E与点D重合时，运动停⽌．设BEF
的⾯积为2
为x秒．
（1）求证：CE EF
=；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出⾃变量x的取值范围；
（3）求BEF
⾯积的最⼤值．
9．（2019?⽇照）如图1，在平⾯直⾓坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，与x 轴的另⼀交点为B ．
（1）求抛物线解析式及B 点坐标；
（2）若点M 为x 轴下⽅抛物线上⼀动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某⼀位置时，四边形AMBC ⾯积最⼤，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的⾯积；
（3）如图2，若P 点是半径为2的B e 上⼀动点，连接PC 、PA ，当点P 运动到某⼀位置时，1
2
PC PA +的值最⼩，请求出这个最⼩值，并说明理由．
10．（2019?⽇照）探究活动⼀：如图1，某数学兴趣⼩组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点(1,3)A 、(2,5)B 、(4,9)C ，有53221AB k -=
=-，93
241
AC k -==-，发现AB AC k k =，兴趣⼩组提出猜想：若直线(0)y kx b k =+≠上任意两点坐
标1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠，则21
21
PQ y y k x x -=-是定值．通过多次验证和查阅资料得知，
猜想成⽴，PQ k 是定值，并且是直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率．请你应⽤以上规律直接写出过(2,2)S --、(4,2)T 两点的直线ST 的斜率ST k = ．探究活动⼆
数学兴趣⼩组继续深⼊研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平⾏的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，(2,2)D ，(1,4)E ，(4,3)F ．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积．综合应⽤
如图3，M e 为以点M 为圆⼼，MN 的长为半径的圆，(1,2)M ，(4,5)N ，请结合探究活动⼆的结论，求出过点N 的M e 的切线的解析式．
11．（2019?临沂）在平⾯直⾓坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A 、B ．（1）求a 、b 满⾜的关系式及c 的值．
（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增⼤⽽增⼤，求a 的取值范围．（3）如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ?的⾯积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2019?德州）如图，抛物线25
42
y mx mx =--与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，
与y 轴交于点C ，且21112
x x -=．（1）求抛物线的解析式；
（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +剟，29
2
x …时，均有12y y …，
求a 的取值范围；
（3）抛物线上⼀点(1,5)D -，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当
BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．
13．（2019?德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且60
∠=?，
BAD
请直接写出::
HD GC EB的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转⼀定⾓度，如图2，求::
HD GC EB；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且::1:2
==，此时::
HD GC EB的
AD AB AH AE
结果与（2）⼩题的结果相⽐有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若⽆变化，请说明理由．
14．（2019?聊城）如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -，点(4,0)B ，与y 轴交于点(0,8)C ，连接BC ，⼜已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正⽅向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得PEA ?和AOC ?相似的点P 的坐标；（3）作PF BC ⊥，垂⾜为F ，当直线l 运动时，求Rt PFD ?⾯积的最⼤值．
15．（2019?滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂⾜为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF?AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的⾯积．
16．（2019?滨州）如图①，抛物线211
482
y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，
将直线AB 绕点A 逆时针旋转90?，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；
（2）如图②，若点P 是直线AD 上⽅抛物线上的⼀个动点
①当点P 到直线AD 的距离最⼤时，求点P 的坐标和最⼤距离；
②当点P 到直线AD 的距离为
52
4
时，求sin PAD ∠的值．
17．（2019?菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0,2)
C-，点A的坐标是(2,0)，P为抛物线上的⼀个动点，过点P作PD x
⊥轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线1
x=-．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第⼆象限内，且
1
4
PE OD
=，求PBE
的⾯积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上⼀点，在x轴的上⽅，是否存在点M，使BDM
是以BD为腰的等腰三⾓形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2019?⼭西）综合与探究
如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上⼀个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）BCD ?的⾯积等于AOC ?的⾯积的
3
4
时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上⼀动点，点N 是抛物线上⼀动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2019?⼭西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德?欧拉（LeonhardEuler）是瑞⼠数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下⾯就是欧拉发现的⼀个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外⼼和内⼼，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外⼼O（三⾓形三边垂直平分线的交点）与内⼼I（三⾓形三条⾓平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下⾯是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周⾓相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA?ID＝IM?IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴∠DBE＝∠IF A．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周⾓相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴＝．
∴IA?BD＝DE?IF②
任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（⽤含R，d的代数式表⽰）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式⼦①和式⼦②，并利⽤任务（1），（2）的结论，按照上⾯的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应⽤：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外⼼与内⼼之间的距离为cm．
20．（2019?⼭西）综合与实践
动⼿操作：
第⼀步：如图1，正⽅形纸⽚ABCD沿对⾓线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B，点D都落在对⾓线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同⼀条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．
第⼆步：再沿AC所在的直线折叠，ACE
与ACF
重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中，BEC
∠的度数是，AE
BE
的值是．
（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表⽰的点为顶点，动⼿画出⼀个菱形（正⽅形除外），并写出这个菱形：．。