导数在研究有关三角函数的实际问题问题中的应用

24 sin cos2
24 sin (1 cos2 )
24 sin (2 2sin 2 )
12
sin
(1
sin 2
. )
故l
12 f (t ) t t 3 .
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(2) 因为 tan
BE , 故当点 E与点 A 重合时 , tan
BF
BE =1.
BF
当点 E 向右运动时 ,BE 长度变小 , 为保持点 B1 在边 AD上, 则点 F 要向上运动 ,
解 析 ：（ I ） ① 由 条 件 可 知 PQ 垂 直 平 分 AB， BAO ( rad ) ， 则
AQ
10
OA
COS BAO COS
故 OB 10 ，又 OP 10 10tan ，所以 COS
10 y OA OB OP
COS
10 COS
10 10 tan
② OP x(km) ，则 OQ 10 x ，所以 OA OB
52
5
125
从而 l 的最小值为 125 . 4
例 2. (2008 江苏高考 17) ．某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A，
B，及 CD的中点 P 处，已知 AB 20 km, CD 10km, 为了处理三家工厂的污水，
现要在矩形 ABCD的区域上（含边界） ，且 A，B 与等距离的一点 O处建造一个污
令 y 0 得 sin
1 ，又 0 2
，所以
。
4
6
当0
时， y 0 ， y 是 的减函数；
6
6
时， y 0 ， y 是 的增函数。 4
所以当
时 ymin 10 3 10 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 6
10 3 km处。 3
点评 ：本题第二小问中若选用函数模型②则
y' 1
2x 20
水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO， OP，设排污管道的总长为 ykm。 （ I ）按下列要求写出函数关系式：
① 设 BAO (rad ) ，将 y 表示成 的函数关系
式；
② 设 OP x(km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式。
（ II ）请你选用（ I ）中的一个函数关系式，确定污 水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
20 10sin cos
10(0
)。 4
(10 x)2 102 x2 20x 200 ，
所以所求的函数关系式为 y x 2 x2 20x 200(0 x 10) 。 （ II ）选择函数模型①。
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y
10cos 2
(20 10sin )( sin ) 10(2sin
cos2
cos2
Байду номын сангаас
1) 。
，令
x2 20 x 200
y' =0 则
3x2 60x 200 0 ，即 x 10 10 3 ，故当 op 10 10 3 时三条排水管道总长
3
3
度最短。本题能体现数学应用，关注社会生活。以污水处理为背景，体现试卷设 计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
类题 .1. 如图， AB 是沿太湖南北方向道路 , P 为太 A
3 [
,, 1又]
是 锐角, 所以
4
3
4
32 sin [ , ] .
52
综上 , 函数 f (t ) 的定义域为 t
3 [,
2 ].
52
(3)
记
g(t )
t
t3 ,t
3 [,
2 ]
, 因为
g ( t)
52
1 2 t3 , 所0 以 函 数
g(t ) t t 3在[ 3 , 2 ] 上单调递减 , 则当 t 3 时 , g(t) 取得最大值为 48 .
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导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用
江苏 谈玉楼
对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面， 要求学生能够运用 所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题，以 及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。 而三角函数的应用题考查也 是高考命题的热点之一。 由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法， 在导数 和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。 以下通过几个例子来谈一谈。
例 1. 如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面， 已知水槽的最大流量 与横断面的面积成正比，比例系数为 k ( k 0 ).
（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于 函数 f ( ) ；
（Ⅱ）求当 多大时，水槽的最大流量最大 .
a
解析：（1）由题意
1 f ( ) k (a a 2a cos ) a sin
从而 BA的长度变大 , 则 tan 就变小 , 当点 F 与点 C重合时 , tan 取得最小值 .
又 当 点 F 与 点 C 重 合 时 , 有 25tan 25tan cos2 24 , 即
12tan 2 25tan 12 0 , 解之得
tan
3 或 tan
4 ( 舍 ). 所 以 t a n
点评 ：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时
候要注意这一方法的应用。 随着高考命题改革的不断深入， 高考命题强调知识之
间的交叉、渗透和综合。 从学科的整体高度考虑问题， 在知识网络的交汇点处设
计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解
题能力。
类题 .1. 如图 , 矩形纸片 ABCD 的边 AB 24, AD 25, 点 E 、 F 分别在边
C
解： (1) 设 BFE , 则 t sin .
F
由于 B1FE
BFE
, FB1E
FBE , 2
B1
则 AB1E
2
2 , 即 AEB1 2 .
22
而 BE l sin , AE B1E cos 2 l sin cos2 , AE BE AB 6 ,
AE
B
所以 l sin
l sin cos2
24 , 解得 l sin
2
ka 2(1 cos )sin ,
其中 0
90 。
（2） f '( ) ka 2(cos cos 2 ) ka2 (2cos 2 cos 1）
a
θ a
令 f ' ( ) 0得 cos
1或 cos 1
又因为 0
90
2
60 ， 而
f ( 在) （ ，0）6上递0 增，在（60，90）上递减， 当 =60 时水槽的流量最大。
AB 与 BC 上 . 现将纸片的右下角沿 EF 翻折 , 使得顶点 B 翻折后的新位置 B1恰好
落在边 AD 上. 设 BE t , EF l , l 关于 t 的函数为 l f (t) , 试求 : EF
(1) 函数 f (t ) 的解析式； (2) 函数 f (t ) 的定义域； (3) l 的最小值 . D