2022年江苏省南通市启东东海中学高二数学文下学期期末试题含解析

2022年江苏省南通市启东东海中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A. 84, 4.84
B. 84, 1.6
C. 85, 1.6
D. 85, 4
参考答案：
C
2. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知点在椭圆上，则的最大值是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
略4. 平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是( )
A．B．2 C．D．
参考答案：
B
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】直线与圆．
【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．
∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．
∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．
故选：B．
【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．
5. 已知函数f（x）＝lnx＋tanα（α∈（0，））的导函数为，若使得＝成立的＜1，则实数α的取值范围为（）
A．（，） B．（0，） C．（，） D．（0，）
参考答案：
A
6. 二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
参考答案：
C
7. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
8. 已知点P（1，1）及圆C：，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
9. 已知f＇（0）=2，则=（）
A．4 B．－
8 C．0 D．8
参考答案：
D
略
10. 已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|?|PF2|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
B
【考点】双曲线的定义；余弦定理．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|?|PF2|的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|?|PF2|的值．
【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，
由余弦定理得
cos∠F1PF2=∴|PF1|?|PF2|=4．
法2；由焦点三角形面积公式得：
∴|PF1|?|PF2|=4；
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 观察下列等式：
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于
=
参考答案：
略
12. 如右图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积是
参考答案：
略
13. 函数f（x）=x cos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为．
参考答案：
5
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】令f （x ）=0，可得x=0或cos2x=0，cos2x=0，可得2x=kπ+，k∈Z，由k 的取值，即可
得到所求零点的个数．
【解答】解：令f （x ）=0，可得 x=0或cos2x=0，
若cos2x=0，可得2x=kπ+，k∈Z，
即x=
+
，k∈Z，
即有k=0，x=；k=1，x=
；k=2，x=
；
k=3，x=
．
综上可得，f （x ）在区间[0，2π]上的零点的个数为5． 故答案为：5．
【点评】本题考查函数的零点的求法，注意运用三角函数的周期，考查运算能力，属于基础题． 14. 如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4,M 为BD 1的中点,N 在A 1C 1上,且|A 1N|=3|NC 1|,则MN 的长为
.
参考答案：
15. 如图,
这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为
参考答案：
因而每个图形的边数构成一个首项为6,公差为5的等差
数列，因而第(n)个图形的边数为
.
16. 集合
有8个子集，则实数a 的值为
参考答案：
略
17. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知=，则等于 ．
参考答案：
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质和求和公式可得
===，代值计算可得．
【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：
=
=
=
=
=
故答案为：
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励．
（Ⅰ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率；
（Ⅱ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率．
参考答案：
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】先由题意得到3次模球抽奖的基本事件，共有3×3×3=27种，
（Ⅰ）列举出其中前2次摸球大于10元的基本事件，根据概率公式计算即可，
（Ⅱ）列举出其3次摸球获得奖金恰为10元的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）3次模球抽奖的基本事件，共有3×3×3=27种，
其中前2次摸球大于10元的有（10，5，0），（10，10，0），（10，10，10），（5，10，0），（5，10，5），（5，10，10）共6种，
故前2次摸球所获奖金大于10元的概率P==；
（Ⅱ）3次摸球获得奖金恰为10元的有（10，0，0），（0，10，0），（0，0，10），（5，5，0），（5，0，5），（0，5，5）共6种，
故其3次摸球获得奖金恰为10元的概率P==；
【点评】本题主要考查古典概率的计算，关键是不重不漏的列举所有的基本事件，属于基础题．
19. （本小题满分12分）
某高中有高级教师96人，中级教师144人，初级教师48人，为了进一步推进高中课程改革，邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。

学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流，选出的6名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研，每位教师只与其中一位专家交流一次，每位专家至少与一名教师交流。

（1）求应从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人；
（2）若甲专家选取了两名教师，这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率；
（3）求高级教师不被同一专家抽取到的概率.
参考答案：
（1）从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为：96:144:48=2:3:1
得：从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为2,3,1…………2分.
（2）设抽取的6人中高级教师为，中级教师为，初级教师为；
则甲抽取2两名教师所有可能的结果为：，，
，，，，，，，，
，，，共种；
其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为：，
，，，共6种
所以甲抽取到一名高级教师和一名中级教师的概率为…………7分.
（3）（本小题根据必修3课本145页6题改编）
两名高级教师所有被抽取情况如下表，每一个阴影部分代表一种分配情况，共有16种，但是两名高级教师不被同一名专家抽到的情况为网格部分，共有12种情况，
所以两名高级教师不被同一专家抽取到的概率…………12分.
n n1n+1n+1（n∈N
*），等差数列{b
n}满足b3=3，b5=9．
（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1＜C n．
参考答案：
【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）①利用，及等比数列的通项公式即可得出a n；②利用等差数列的通项公式即可得出b n；
（2）由即可得到c n+1＜c n；利用二项式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可证明．
【解答】解：（1）①当n≥2时，由a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．
由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．
∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴．
②等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．
∴b n=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．
（2）由（1）可得=．
∴=c n．
∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，
∴．
21. 函数在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
(1)求实数a的值
(2)设,若关于x的方程的解集中含有3个元素,求实数b的取值范围.
参考答案：
解: (1) ∵又在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增. ∴在[0,1]上恒有≤0, 又∵=0, ∴只需≤0,即a≤4.
同理在[1,2]上恒有≥0, 即≥0且≥0, a≥4, ∴a=4. ……………….6分(2)有得有3个不相等的实根.
故有两个不相等的非零实根, ∴△=16－4(4－b)>0,且4－b≠0.
解得: 0<b<4,或b>4 ∴b∈(0,4)∪(4,+∞). ……………….12分
略
22. 已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=（e为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．
（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．
【解答】解：（I）当p=2时，函数f（x）=2x﹣﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0，
f′（x）=2+﹣，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）
即y=2x﹣2．
（II）f′（x）=p+﹣=，
令h（x）=px2﹣2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为x=∈（0，+∞），
∴h（x）min=p﹣，只需p﹣≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵g（x）=在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，
对称轴x=在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′（x）=﹣＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减?f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]?x﹣≥0，所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne=e﹣﹣2＜2，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
而f（x）max=f（e）=p（e﹣）﹣2lne，g（x）min=2，
即p（e﹣）﹣2lne＞2，解得p＞，
综上所述，实数p的取值范围是（，+∞）．。