2020年北师大版八年级下册数学课后练习(5)(附详解)

2020年北师大版八年级下册数学课后练习（5）
一、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
1.如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：∠ECF=∠EDF．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB
的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，
求∠AFC的度数．
3.如右图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB
于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．
4.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个
码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
5.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂
直平分线交BC于点F.请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长．
a为高的等腰三角形，
6.如图，已知线段a，求作以a为底边，以1
2
这个等腰三角形有什么特征？
7.如图，已知△ABC，求作：
(1)AC边上的高；
(2)BC边上的高．
8.为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有
人建议该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心(图中以P，Q，R表示)的距离相等．
(1)根据上述建议，试在图(1)中画出体育中心G的位置；
(2)如果这三个城镇的位置如图(2)所示，∠RPQ是一个钝角，那么根据上述建议，
体育中心G应在什么位置？
(3)你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？
9.如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边正三角形的三个顶点处，
在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种选择方案：
(1)AB+BC；
(2)AD+BC(D为BC的中点)；
(3)OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)．
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
答案和解析
1.【答案】证明：∵AB是线段CD的垂直平分
线，
∴CE=DE，CF=DF，
∴∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC，
即∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，
∴∠ECF=∠EDF．
方法二：∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴CE=DE，CF=DF，
∵EF=EF，
∴△EFC≌△EFD(SSS)，
∴∠ECF=∠EDF．
【解析】由AB是线段CD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质CE=DE，CF=DF，又由等边对等角的知识可得：∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC，继而证得结论．或利用全等三角形的性质证明．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
2.【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=(180°−120°)÷2=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°．
【解析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3.【答案】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50−27=23．
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．
4.【答案】解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、
B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．
【解析】根据垂直平分线的性质，连接AB作出AB的垂直平分线与河岸边交点即是码头应建位置．
此题主要考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5.【答案】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA=EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+FC=BE+EF+FC=BC=2．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【解析】作射线AM，在射线AM上截取AB=a，作线段AB的垂直平分线EF，交AB于O，
在射线OE上截取OC=1
2
a，连接AC，BC，△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】解：(1)如图线段BH即为所求．
(2)如图线段AD即为所求．
【解析】(1)过点B作BH⊥AC交AC于H，线段BH即为所求
(2)过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D，线段AD即为所求．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．8.【答案】解：(1)如图，点G即为所求；
(2)如图，点G即为所求；
(3)上述建议非常合理，选址可以选在该
市的三个城镇中心的距离相等的位置．
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，画出线段PQ的垂直平分线，再画出PR的垂直平分线体育中心在两垂直平分线的交点处．
此题主要考查了作图，应用与设计作图主要是把简单作图放入实际问题中．解决此类问题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
9.【答案】解：如图(1)所示，铺设的通讯电缆长为a+a=2a；
如图(2)所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=DC=1
2BC=1
2
a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=√AB2−BD2=√3
2
a，
则铺设的通讯电缆长为a+√3
2a=2+√3
2
a；
如图(3)所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴DO=x，则BO=2x，BD=a
2
，
故x2+(a
2
)2=(2x)2，
解得：x=√3
6a，则BO=√3
3
a，
则铺设的通讯电缆长为AO+OB+OC=3×√3
3
a=√3a，
∵√3a<2+√3
2
a<2a，
则方案(3)铺设方案好．
【解析】如图(1)求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；如图(2)，在直角三角形ABD 中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；如图(3)，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可得到铺设方案好的方案为方案3．
此题考查了作图−应用与设计作图，等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出三个图形通讯电缆的长度是解本题的关键．。