小问题大用处：高中数学小问题集中营：专题三 二次函数在闭区间上的最值 含解析

一、问题的提出
二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数,虽然是初中所学内容,却一直是高考与各类数学竞赛中的热点与难点,很多创新试题都是以二次函数为载体命制的.尤其是二次函数在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点,本专题对此作一些探讨.
二、问题的探源
1。

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题,解题的关键都是抓住“三点一轴”,“三点"即区间两端点与区间中点,“一轴"即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴",只不过讨论要复杂一些而已．
2.对于“动轴定区间”问题,一般分两大类：①若轴在
区间左边或右边,则直接依单调性可解;②若轴在区间中，则最值在顶点及区间端点取得（有时需要比较区间端点的函数值，从而进行二次分类)．．
3.函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得； 设()()
2
f x ax
bx c 0a 0=++=>，则二次函数在闭区间[]m,n 上的最
大、最小值有如下的分布情况:
b m n 2a
<<-
b
m n 2a
<-
<即[]n m a
b
,2∈-
b
m n 2a
-
<< 值对于开口向下的情况，讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论： （1）若[]n m a
b
,2∈-
，则()()()max b f x max f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,()()()min b f x min f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫
=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
;
（2）若[]b
m,n 2a -∉,则()
()(){}max
f x max f m ,f n =,
()()(){}min f x min f m ,f n =
当对称轴位于区间之间时,考虑最值时需考虑对称轴在
区间的左边或右边,往往通过比较对称轴b 2a -与区间中点m n 2
+的大小来判断。

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时,自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。

三、问题的佐证 （一)对称轴定,区间动 【例1】求函数2
y x 4x 3
=-+在区间[]t,t 1+上的最值.
【解析】对称轴0
x
2=
（1）当2t <即t 2>时,()2min
y f t t 4t 3==-+,
()2max y f t 1t 2t
=+=-；
(2）当t 2t 1≤≤+即1t 2≤≤时，()min
y
f 21
==-，
当31t 2
≤<时,()2max
y
f t 1t 2t
=+=-，当3t 22
≤≤时,()2max
y
f t t 4t 3
==-+；
（3)当2t 1>+即t 1<时，()2min
y
f t 1t 2t
=+=-，()2max
y
f t t 4x 3
==-+
(二）区间定，对称轴动
【例2】已知f (x ）＝ax 2－2x (0≤x ≤1），求f （x ）的最小值g （a )．
【解析】（1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在0，1]上单调递减, ∴g （a )＝f （x ）min ＝f (1)＝－2.
（2）当a 〉0时,f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上,且其。