不愤不启 不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评

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中学教研 （ 数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点， 再观察切线 QA 与 QB ， 它们是对称的， 可否从设切线方程入手？ 解 由 Q （ x0 ，－ 1 ） ， 可 设 切 线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ） ， 代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ， 利用 得 从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ． 点评 引导本题时， 体现的思想方法是： 先借 助于图像进行粗略判断， 再进一步借助于特殊点进 行验证， 最后用数学思想方法进行严密证明， 从而 ． ， 得到结论 这种思想方法 特别是对开放题会有明 显的效果． 本题的条件多样， 如何更有效整合利用 就显得更加重要． 这些信息， 3 ． 4 问题导练， 及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ） ． 过点 个动点， A， B 分别作抛物线的切线， 设其 → → 证明：FQ·AB 为定值． 交点为 Q， （ 学生板演． ） 图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ， －2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1， 从而 2
x0 ， 2
于是 因此
k QF ·k AB =
x0 2 · = － 1， 2 － x0 → → FQ·AB = 0 ．
点评 解法 1 利用了点 Q 的坐标， 解法 2 利用 2 位学生都充分利用本堂课 了弦 AB 的直线方程， 得到的结论， 很顺利地完成了解题． 让学生动起来， 从中享受结论带来的方便． 3． 5 问题导评， 整合提高 师：通过大家的共同努力， 这堂课得到了几个 漂亮的结论： （ 1 ） 在点 Q（ x0 ， y0 ） 处的切线方程为 x0 y = x － y0 ， 2 y0 ） 作 2 条切线， B所 过抛物线外点 Q（ x0 ， 切点 A，
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第 10 期
傅红玲， 等：不愤不启
不悱不发
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即 从而 即
( x2 － x2 ) x － （ y － y ） = 0，
1 2 0 1 2
y1 － y2 x0 = ， x1 － x2 2 x0 k= ． 2 x0 x1 师生合作： y － y1 = （ x － x1 ） ， 把 y1 = x0 － 2 2 x1 x0 x0 + y0 = （ x － x1 ） ， 2 2
（ 2 ） 弦 AB 过抛物线的焦点 2 条切线的交点 在抛物线的准线上2 条切线互相垂直． 师：这些结论是在给定一个具体的抛物线时得 到的， 请同学们课后进一步去探究：对于一般情况， 这些结论是否依然成立？ 与抛物线有关的切线还 希望同学们能运用已有的信 有很多漂亮的结论， 息， 整合新的资料， 大胆地猜想并利用严密的数学 推论得到新的结论． 4 课后点评 本堂课是圆锥曲线综合课， 首先题目选得合 ， “与抛物线切线有关的问题 ” 适 的口子虽然小， 但 是非常值得研究； 其次是上得好课， 采用问题导学 的探究式教学， 真正地把课堂还给学生， 且问题设 计得非常好， 逐步提升思维深度， 一环扣一环， 层层 深入， 结构清晰， 节奏明快， 并在问题 4 中达到一个 4 种解法反应出学生的高水平， 高潮， 能从不同角 度思考问题， 也能很好地利用得到的结论， 从讲解 到提问到板演， 整个课堂掌控良好． 课堂氛围较好， 教师有亲和力， 很有耐心． 一是给出充分的时间让 学生探究； 二是学生回答不出时耐心地引导和等 待， 充分肯定学生；三是走到学生中去， 密切关注学 生的答题情况， 真正体现了以学生为主体的思想 ． 5 课后反思 本堂课集合数学组的整体力量， 基本达成初定 目标， 但依然留有很多遗憾： （ 1 ） 知识层面： 在探究问题 3 时， 笔者备课时 用交点的思想求点 Q 的坐标， 利 还准备了交轨法， 用韦达定理完成， 在本节课中未能用上． 若能引导学生想到下列解法：把点 Q 点看成 2 条切线的起始点， 或把点 Q 看成 2 条切线的交点， 即终止点， 则可以从不同角度思考问题， 充分挖掘 信息， 开阔学生思考问题的角度， 进一步提升整合 信息和挖掘信息的能力． （ 2 ） 教学引导层面： 在问题 4 探究第 4 种方法 的过程中， 整个过程基本上是笔者在主导， 其实可 更大尺度地放手让学生探究． 以更相信学生， 参 考 文 献
“与抛物线切线有关的问题 ” ． 先来复习： 如 同探究 何求抛物线的切线方程？ 2 例 1 已知抛物线 C ： x = 4 y， 求在点 Q （ x0 ， y0 ） 处的切线方程． 生：利用导数先求切线的斜率， 再用点斜式写 出切线方程． （ 出示幻灯片． ） 师：还有其他方法求斜率吗？ 生：待定系数法设出方程， 再用 Δ = 0 求切线 的斜率． x0 （ 出示幻 灯 片： 切 线 方 程： y = x － y0 ， 其中 2 （ x0 ， y0 ） 为切点． ） 点评 从试讲到上课情况看， 特别是文科生大 多选择利用导数求斜率． 3 ． 2 问题导疑， 激发兴趣 2 2 已知抛物线 C ：x = 4 y， 过抛物线外一点 例 Q（ x0 ， y0 ） 作 2 条切线 QA， QB ， B． 设切点为 A， y1 ） ， B （ x2 ， y2 ） ， 师：设切点为 A （ x1 ， 能否用类 QB 的切线方程？ 写出切线 QA， 比的思想， x1 x2 QB ：y = x － y2 ． 生：QA：y = x － y1 ， 2 2 B， 师：非常好！ 如图 1 ， 现在联结切点 A， 能用 点 Q 表示弦 AB 吗？ 请大家尝试着完成． 问题 1 求 过 切 点 的 弦 AB 所在的直线方程． 思考 2 分钟后， 发现学生不 能很清晰地整理解题思路， 继续 点拨． 图1 师：联系点 Q 与弦 AB 的桥 梁是切线方程， 点 Q 与切线方程有什么关系？ 能 否利用切线方程求出弦所在的方程 ？ 请继续尝试． 生：点 Q 代入切线方程得 x1 y0 = x0 － y1 ； 2 x2 y0 = x0 － y2 ， 2
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中学教研 （ 数学）
2013 年
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发
— — —“与抛物线切线有关的问题” 课例及点评
●傅红玲 吴国建
（ 东阳中学 浙江东阳 322100 ）
“金华市数学高考复习研讨会 ” 在 中， 笔者上 的教研 了一节题为“与抛物线切线有关的问题 ” 为此历经一个从选题到反思的心路历程， 现将 课， ， ． 课例呈现给同行 谨请批评指正 1 选 “课题” “变变变” 的 过程 中 教研课课题： 任选“圆锥曲线的综合问题 ” 要选择一 的一个点． 圆锥曲线综合问题涉及面广， 个能体现解析几何重点和高考热点 ， 并且通过一节 课能让这个点有完整体现的课题确实不易 ． 几经周 折， 最后选定近几年高考题中出现较多的“以抛物 线切线为 载 体 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 问 为基点的课题：与抛物线切线有关的问题， 针对 题” “直线与抛物线的位置关系” 作进一步深入探究． 2 选 “题目” “变变变” 的 过程 第一 本课的题目选自近几年高考题和模拟题 ， 轮选题时， 笔者准备了 7 个原始的高考题， 经试讲 求解析式花费时间太多， 导致整堂课容 发现：读题、 ， ． 2 量小 思想不能体现 因此第 轮选题时精简题目， 砍掉了与课题无关的小题， 课题突出了， 但整体感 觉就一节课围绕知识点做了几个例题 ， 只是熟悉了 知识点， 而没有体现数学思想． 最后确定题目形式： 以一个高考题为母题， 其余以变题的形式呈现， 用 统一的抛物线形式， 真正地把“读题、 求解析式 ” 的 “探究、 ， 时间让路给 思考 ” 让学生的思维训练时间 得到进一步保证． 通过问题变式形式， 环环相扣， 层 层深入， 贯彻“把课堂交还给学生， 让学生的思维 ” ． 火花闪耀 的教学理念 3 课堂过程简录— — —变式教学 整个课堂设计： 采用探究式教学法， 借助多媒 — —导练— 体辅助， 通过“问题导入—导疑—导研— 5 个环节， 导评” 完成以下教学目标：（ 1 ） 掌握以抛 物线的切线为载体的直线和圆锥曲线综合问题 ； （ 2 ） 培养利用、 挖掘、 整合信息的能力；（ 3 ） 通过问 题变式得到一些漂亮的结论， 激发学生探索的欲 望， 提升学习和研究的兴趣． 3 ． 1 问题导入， 激活思维 和同学们共 师：今天非常高兴能有这个机会，
y0 代入得 y－ 整理得 y =
x0 x － y0 （ 其中 Q （ x0 ， y0 ） 为 2 条切线的 2 交点， 是抛物线外的一点） ． 点评 此处， 点 A 既在弦 AB 上， 又在切线上， ． 同时还在抛物线上 当资源较多的时候， 一定要学 会信息的筛选和整合． y1 ） ， B （ x2 ， 笔者把图中切线方程中的点 A （ x1 ， y2 ） 改变颜色， 突出这 2 个点坐标的作用． 师：观察 2 个切线方程， 结构上有何共同之处？ x y1 ） ， B （ x2 ， y2 ） 在直线 y0 = x0 － y 生：点 A（ x1 ， 2 x0 上， 因此弦 AB 所在的直线方程为：y = x － y0 ． 2 x0 师（ 总结） ：切线方程为 y = x － y0 ， 其中 （ x0 ， 2 y0 ） 为切点， B 的弦所在的直线方程为 过 切 点 A， x0 y = x － y0 ， y0 ） 为 2 条切线的交点， 2个 其中 （ x0 ， 2 方程形似神不似． 点评 这一步环节学生求解困难比较大 ， 需要 点拨启发， 甚至是启而不发， 教师要耐心给学生充 ， ． 分的思考时间 要启发到位 最后要点出 2 个方程 的不同之处， 强调形似神不似． 3 ． 3 问题导研， 层层推进 师： 若 点 Q 为 准 线 上 任 意 一 点， 弦 AB 会 有 什 么 特 殊 性 质 呢？ 会恒过焦点 F 吗？ 大胆猜想， 尝试着证明． 问题 2 已 知 点 Q 在 准 线 l： 图2 y = － 1 上， 证明：弦 AB 过焦点 F． x0 生：弦 AB 的方程为 y = x + 1 ， 恒过定点F （ 0 ， 2 1） ． 2 条切线的交点 Q 会在 师：若弦 AB 过焦点 F ，
什么位置呢？ 请同学们大胆的猜想， 并完成下列问题． 问题 3 已知弦 AB 过焦点 F ， 求 2 条切线的 Q ． 交点 的轨迹方程 y0 ） 为轨迹上任意一点， 师生合作：设点 Q（ x0 ， x0 1） 则弦 AB 的方程为 y = x － y0 ． 又因为点 F （ 0 ， 2 x0 在直线上， 代入得 1 = ·0 － y0 ， 即 y0 = － 1 ， 从而 2 点 Q 的轨迹方程为 y = － 1 ， 所以 2 条切线的交点 Q 在抛物线的准线上． 点评 弦 AB 过抛物线的焦点2 条切线的交 点在抛物线的准线上． 师：对于这种特殊位置对应的抛物线的 2 条切 先从 线有什么特殊的性质呢？ 请同学们大胆猜想， 图像上观察， 猜想 2 条切线可能的位置关系． 生：垂直． 师：进一步通过特殊点来验证． 生：垂直． 师：针对一个开放的数学问题， 先通过猜想， 再 验证， 最后一定要用严密的数学推理来证明． 将本 结论推广到一般情况． 问题 4 若弦 AB 过焦点 F ， 判断 2 条切线是 ？ ． 否垂直 并给出证明 （ 本题条件较多， 可以从多个角度、 多种方法 教师要给学生充分的思考空间． ） 来思考， 师：哪位同学来整理下解题思路？ y1 ） ， B （ x2 ， y2 ） ， 师生合作：设切点为 A（ x1 ， 则 x1 x2 x1 x2 k QA ·k QB = · = ． 2 2 4 x2 = 4 y ， 由 得 y = kx + 1 x2 － 4 kx － 4 = 0 ， x1 x2 = － 4 ， 从而 x1 x2 k QA ·k QB = = － 1， 于是 4 因此 QA⊥QB （ 完整板书） ． 师：还有其他方法吗？ → → 生：借助向量工具完成， 即 QA · QB = 0 （ 用幻 灯片直接投影） ． 生：弦 AB 是过焦点的弦， 因此借助于抛物线 的定义， 用平面几何和解析几何结合完成 （ 用幻灯 片直接投影） ． 师生合作： 前面几种方法都从弦 AB 出发， 把 点 Q 看成 2 条切线的交点， 即终结点． 换种角度来