内蒙古第一机械制造集团有限公司第一中学高一数学下学

内蒙古第一机械制造集团有限公司第一中学2015-2016学年高一数学下学
期期末考试试题 理
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=9，a 1=9．则这个数列的公差等于（ ） A ．1 B ．2 C ．-3 D ．-4
2
．正方体的棱长为 ） A ．36π B ．72π C ．288π D ．144π 3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A ．若m //α，n //α，则m //n B ．若m //n ，n α⊥，则m α⊥ C ．若m //α，m //β，则α//β D ．若m //α，α⊥β，则m ⊥β
4．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ） A ．2x+y －1=0 B ．2x+y －5=0 C ．x+2y －5=0 D ．x －2y+7=0
5．若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A .1- B.0 C.1 D.2
6．点(2,1)P -关于直线:10l x y -+=对称的点P '的坐标是（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(0,1)- D ．(1,0)-
7．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是（ ） A
B
．
． D
．
8．.已知二面角A-BC-D ，A-CD-B ，A-BD-C 的平面角都相等，则点A 在平面BCD 上的射影是 △BCD 的（ ）
A .内心 B.外心 C.垂心 D.重心
9．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是( )
A ．
58 B ．2 C ．511 D ．5
7 10．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．
8π3 B ．10π
3
C ．3π
D ．6π
11．已知实数x 、y 满足约束条件1,
1,2 2.
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
则目标函数25y z x +-=的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．3-
D ．-1
2
12．已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为a 的正三角形，则原△ABC
的面积为（ ） A ．
a 2
B ．
a 2
C ．
a 2
D ．
a 2
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若不等式08
3
22
≥-
+kx kx 的解集为空集，则实数k 的取值范围是________. 14．若直线
过点（2，1），则a+2b 的最小值为 ．
15．过点P （1，2）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 ．
16．已知正三棱锥P —ABC 的各棱长都为2，底面为ABC ，棱PC 的中点为M ，从A 点出发，在三棱锥P —ABC 的表面运动，经过棱PB 到达点M 的最短路径之长为 三、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）如图，⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥平面α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点，M ，N ，Q 分别是PA ，PC ，PB 的中点.
（1）求证：平面//MNQ 平面α；
（2）若PA=AB=2,AC=CB 求三棱锥A-CPB 的体积.
18．（本题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA
（1）确定角C 的大小； （2）若c=
，且△ABC 的面积为
，求a+b 的值．
19．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，平面FCDE ⊥平面ABCD ，FC ⊥CD, AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF=1，
（1）求证：BD ⊥平面AED ； （2）求B 到平面FDC 的距离．
20．（本题满分12分）在四棱锥ABC P -D 中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面DABC ，
PC E DC PD 是， =的中点，作F PB PB EF 于点交⊥
（1）求直线PA 与直线DE 所成的角 （2）证明：平面D EFD PB 平面⊥； （3）求二面角D PB C -- 的大小。

21．（本题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n =2a n ﹣3n ． （1）设b n =a n +3，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和．
22．（本题满分12分） 如图，ABC ∆的外接圆O ，
CD O ⊥所在的平面，//BE CD ，
4CD =，2BC =，且1BE =，tan AEB ∠=．
（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．
（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为2
7
？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案
1 C
2 D
3 B
4 A
5 A
6 C
7 B
8 A
9 B 10 C 11 D 12 D 13(]0,3- 14. 6 15.30x y +-=或2-0x y =
16【解析】正三棱锥P —ABC 的各棱长都为2，底面为ABC ，棱PC 的中点为M ，从A 点出发，在三棱锥
P —ABC 的表面运动，经过棱PB 到达点M 的最短路径就是得到展开图，
17.试题解析：证明：（1）//MN 平面α， 同理可证//NQ 平面α. ∵MN ⊂平面,MNQ NQ ⊂平面,MNQ 且MN
NQ N =，
∴平面//MNQ 平面α. （2）23
18试题分析： 解：（1）∵=2csinA
∴正弦定理得，
∵A 锐角， ∴sinA ＞0， ∴
，
又∵C 锐角， ∴
（2）三角形ABC 中，由余弦定理得c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC 即7=a 2
+b 2
﹣ab ， 又由△ABC 的面积得．
即ab=6，
∴（a+b ）2
=a 2
+b 2
+2ab=25
由于a+b 为正，所以a+b=5． 考点：解三角形． .
19．试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，060=∠DAB ,0120=∠∴DCB
0090301=∠∴=∠∴==ADB CDB CD CB ,即AD BD ⊥
AED BD A AE AD AE BD 平面⊥∴=⊥ ,
（2）令点B 到平面FDC 的距离为h 则h S FC S V V FDC CDB FDC B CDB F ⋅⋅=
⋅⋅∴=∆∆--3
1
31
, 2
1,43==
∆∆FDC CDB S S ，解得23=h
20．证明：（1）
（2）ABCD PD 平面⊥
DC PD ⊥∴
DC PD = 可知PDC ∆是等腰直角三形，而E 是斜边PC 的中点 PC DE ⊥∴。

同理可证BC PD ⊥ ABCD 底面 是正方形 PDC BC 平面，⊥⊥∴ BC DC
而PDC DE 平面⊂
EFD PB PB DE 平面，，⊥⊥⊥∴ DE BC
所以，平面D EFD PB 平面⊥；
（3）DF PB ⊥
D PB C EFD --∠∴是二面角的平面角
设正方形ABCD 的边长为a ，则a DC PD ==， 2，a BD =
2 3 2222，，a DC PD PC a BD PD PB =+==+=a PC DE 2
2
21 ==
在PDB R t ∆中， 36
32a a
a a PB BD PD DF =⋅=⋅=
在EFD R t ∆中，2
3
sin ==
∠DF DE EFD ︒=∠∴60EFD
D PB C --二面角的大小为60°
21解：（1）∵S n =2a n ﹣3n ，对于任意的正整数都成立， ∴S n+1=2a n+1﹣3n ﹣3，
两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ﹣3，即a n+1=2a n +3， ∴a n+1+3=2（a n +3），
所以数列{b n }是以2为公比的等比数列， 由已知条件得：S 1=2a 1﹣3，a 1=3． ∴首项b 1=a 1+3=6，公比q=2， ∴a n =6•2
n ﹣1
﹣3=3•2n
﹣3．
（2）∵na n =3×n•2n
﹣3n
∴S n =3（1•2+2•22
+3•23
+…+n•2n
）﹣3（1+2+3+…+n）， 2S n =3（1•22
+2•23
+3•24
+…+n•2n+1
）﹣6（1+2+3+…+n）， ∴﹣S n =3（2+22
+23
+ (2)
﹣n•2n+1
）+3（1+2+3+…+n） =
∴S n =
22试题解析：（1）∵CD ⊥平面ABC ，BE//CD ∴ BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AB
∵BE=1，tan AEB ∠= ∴ AE =
从而AB==
∵⊙O
AB是直径，
∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
BC ⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE
（2）假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF ∵平面ADC⊥平面BCDE，
∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角
设MN=x，计算易得，DN=3
2
x，MF=
3
4
2
x
-
故AM===
2
sin
7
MN
MAN
AM
∠===解得：
8
3
x=-（舍去）
4
3
x=，故
2
3
MN CB
=，从而满足条件的点M存在，且
2
3
DM DE
=。