11-12学年高二数学：2.4正态分布同步练习(人教A版选修2-3)【含解析】

选修 2-3 2.4 正态散布
一、选择题
1．以下函数中，能够作为正态散布密度函数的是 ( > A ． f(x>
错误!
＝错误 ! e－
错误 !
B．f(x>＝错误 ! e
错误!
C．f(x>＝错误 ! e－
错误!
D． f(x>＝错误 ! e－
[答案]A
2
2．已知ξ～ N(0,6 >，且 P( －2≤ ξ≤0> ＝，则 P(ξ>2>等于 (>
A ． 0.1 B．
C．0.6 D ．
[答案]A
[解读 ]由正态散布曲线的性质知P(0≤ ξ≤ 2> ＝，∴ P(－2≤ ξ≤ 2>＝，∴ P(ξ>2>
＝错误 ! (1－0.8> ＝，应选 A. b5E2RGbCAP
3．若随机变量ξ～N(2,100>，若ξ落在区间(－∞，k>和(k，＋∞ >内的概率是相等的，则 k 等于 (>p1EanqFDPw
A．2 B． 10
C.错误 ! D．能够是随意实数
[答案]A
[解读 ]因为ξ的取值落在(－∞，k>和( k，＋∞ >内的概率是相等的，所以正态曲线在
直线 x＝ k 的左边和右边与x 轴围成的面积应当相等，于是正态曲线对于直线x＝ k 对称，即μ＝ k，而μ＝ 2.∴ k＝2.DXDiTa9E3d
4．已知一次考试共有60 名同学参加，考生的成绩X～ N(110,52>，据此预计，大概应
有 57 人的分数在以下哪个区间内(>RTCrpUDGiT
A ． (90,110]
B ． (95,125]
C．(100,120] D ． (105,115]
[答案] C
[解读 ]因为X～N(110,52>，∴ μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间 (105,115] ， (100,120] ， (95,125] 上的概率分别应是
5PCzVD7HxA
0.6826,0.9544,0.9974.
因为一共有60 人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×≈ 41 人， 60×≈ 57 人，
5． (2017·山东理， 5> 已知随机变量ξ听从正态散布
2
＝，则N(0 ，σ>， P(ξ>2>
P(－ 2≤ ξ≤2>＝ (>
jLBHrnAILg
A ． 0.477 B．
C． D ．
[答案] C
[解读 ]∵ P(ξ>2>＝，∴ P(ξ<－2>＝，
故 P(－2≤ ξ≤ 2>＝ 1－ P( ξ>2> － P(ξ<－ 2>＝ 0.954.
6．以φ(x>表示标准正态整体在区间(－∞， x>内取值的概率，若随机变量ξ听从正态2
散布 (μ，σ>，则概率P(|ξ－μ|<σ>等于 (>xHAQX74J0X A．φ(μ＋σ>－φ(μ－
σ> B．φ(1> －φ(－ 1>
C．φ错误 !
D． 2φ(μ＋σ>
[答案]B
[解读 ]设η＝错误!，则P(|ξ－μ|<σ>＝P(|η|<1>
＝φ(1> －φ(－ 1> ．
2
[评论 ]一般正态散布N(μ，σ>向标准正态散布N(0,1> 转变．
7．给出以下函数：①f(x>＝错误 ! e－错误!
；② f(x>＝错误 ! e－
错误!
；③ f(x>＝错误 ! e
－错误!
；④ f( x>＝错误 ! e－(x－μ>2，此中μ∈ (－∞，＋∞ >，σ＞0，则能够作为正态散布密度
函数的个数有 (>LDAYtRyKfE
A ． 1
B ．2
C．3 D ．4
[答案 ]C
[解读 ]对于①， f(x> ＝错误 ! e－错误!
.因为μ∈ (－∞，＋∞ >，所以－μ∈ (－∞，＋
∞>，故它能够作为正态散布密度函数；对于②，若σ＝ 1，则应为 f(x>＝错误 ! e 错误!
.若σ
＝错误 ! ，则应为f(x>＝错误 ! e－错误!
，均与所给函数不符合，故它不可以作为正态散布密
度函数；对于③，它就是当σ＝错误 ! ，μ＝ 0 时的正态散布密度函数；对于④，它是当σ＝错误 ! 时的正态散布密度函数．所以一共有 3 个函数能够作为正态散布密度函数．Zzz6ZB2Ltk
，σ错误 ! >(σ，σ错误 ! >(σ
的密度8． (2008 安·徽 >设两个正态散布 N(μ11>0>和 N(μ22>0>
函数图象如下图，则有 (>dvzfvkwMI1
，σ
A ．μ1<μ21<σ2
，σ
B ．μ1<μ2 1 >σ2
，σC．μ1>μ2 1 <σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2
[答案 ]A
[解读 ]依据正态散布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示整体散布的分别与集
中．由
图可得，应选 A.
二、填空题
9．正态变量的概率密度函数f(x>＝错误 ! e－错误!
， x∈R的图象对于直线 ________对
称， f(x>的最大值为 ________．rqyn14ZNXI
[答案 ] x＝ 3 错误 !
10．已知正态整体的数据落在区间( － 3，－ 1> 里的概率和落在区间(3,5>里的概率相
等，那么这个正态整体的数学希望为________．EmxvxOtOco
[答案] 1 [ 解读 ]正态整体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正
态曲线下方的面积相等．此外，因为区间( － 3，－ 1>和区间 (3,5>的长度相等，说明正态曲
线在这两个区间上是对称的．SixE2yXPq5∵区间 (－ 3，－ 1> 和区间 (3,5> 对于直线 x＝1 对称，所以正态散布的数学希望就是 1.
11．在某项丈量中，丈量结果
2
ξ听从正态散布 N(1，σ>(σ>0>，若ξ在 (0,1> 内取值的概
率为，则ξ在 (0,2>内取值的概率为 ____________．6ewMyirQFL
[答案[解读 ]∵ μ＝ 1，∴正态曲线对于直线x＝ 1 对称．
∴在 (0,1>与 (1,2>内取值的概率相等．
12． (2017 福·安 >某厂生产的部件尺寸听从正态散布N(25,0.03 2>，为使该厂生产的产品有 95%以上的合格率，则该厂生产的部件尺寸同意值范围为________．kavU42VRUs
[答案 ](24.94,25.06> [ 解读 ] 正态整体2>在区间 (25－ 2×， 25＋ 2× 0.03>取值的概率在95%以
上，故该厂生产的部件尺寸同意值范围为(24.94,25.06> ．y6v3ALoS89
三、解答题13．若一个正态散布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于错误! .求
该正态散布的概率密度函数的解读式．M2ub6vSTnP [ 解读 ] 因为该正态散布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线对于y
轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是错误 ! ，所以错误 ! ＝错误 ! ，所以σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解读式是φ，σ－错误!， x∈ ( －∞，＋
(x> ＝错误 !e
∞ >．0YujCfmUCw 14． (2017 ·郸高二检测邯>设随机变量ξ～N(2,9>，若 P(ξ>c＋ 1>＝ P(ξ<c－ 1>，求 c 的
值． eUts8ZQVRd
[ 剖析 ] 由题目可获得以下主要信息：
①ξ～ N(2,9>，② P(ξ>c＋ 1>＝ P(ξ<c－ 1>．
解答此题可利用正态曲线的对称性来求解．
[解读 ]由ξ～ N(2,9> 可知，密度函数对于直线x＝ 2 对称 (如下图 >，
又 P(ξ>c＋ 1>＝P(ξ<c－ 1>，
故有 2－ (c－ 1>＝( c＋1> － 2，
∴ c＝ 2.
[评论 ]解答此类问题要注意以下知识的应用：
(1>充足利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1；
(2> 正态曲线对于直线x＝μ对称，进而在对于x＝μ对称的区间上概率相等．
(3> P(x<a>＝1－ P(x≥ a>
P(x<μ－ a>＝P(x≥ μ＋ a>
若 b<μ，则 P(x<b>＝错误 ! . 15．某个工厂的工人月收入听从正态散布N(500,20 2>，该工厂共有1200 名工人，试估
计月收入在 440 元以下和 560 元以上的工人大概有多少？sQsAEJkW5T
[解读 ] 设该工厂工人的月收入为
2
ξ，则ξ～ N(500,20 >，所以μ＝ 500，σ＝ 20，
所以月收入在区间 (500 － 3× 20,500 ＋ 3× 20> 内取值的概率是0.9974 ，该区间即
(440,560>．
GMsIasNXkA 所以月收入在 440 元以下和 560元以上的工人大概有 1200×(1－ 0.9974>＝
1200 ×≈3(人 >．
TIrRGchYzg
16．已知某种部件的尺寸ξ(单位： mm>听从正态散布，其正态曲线在(0,80> 上是增函
数，在 (80，＋∞ >上是减函数，且 f(80> ＝错误 ! .
7EqZcWLZNX
(1>求概率密度函数；
(2> 预计尺寸在 72mm～ 88mm 间的部件大概占总数的百分之几？
[ 解读 ] (1> 因为正态曲线在(0,80> 上是增函数，在 (80，＋∞ >上是减函数，所以正态曲线对于直线x＝ 80 对称，且在 x＝ 80 处获得最大值，所以得μ＝ 80.lzq7IGf02E
错误!＝错误!，所以σ＝ 8.
－错误 !
故概率密度函数解读式是φμ，σ(x>＝错误! e.zvpgeqJ1hk
(2> 尺寸在72mm ～ 88mm 之间的部件的百分率，即在(80 － 8,80＋ 8> 之间的概率为68.28%.NrpoJac3v1
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途。