九年级数学上册24.1.4+圆周角同步测试+新人教版

圆周角
1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于(D)
图21－1－41
A．50°B．80°C．90°D．100°
2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为(B)
图21－1－42
A．40°B．50°C．80°D．100°
3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE的度数为(C)
A．40°B．60°C．50°D．80°
【解析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.
图24－1－43
4．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为(D)
图21－4－44
A．135° B. 122.5° C. 115.5°D．112.5°
【解析】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，
∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.
∴∠C ＝12
(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )
图21－4－45 第5题答图
A ．55°
B ．60°
C ．65°
D ．70°
【解析】 连接BD ，如图，
∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，
∴∠ABD ＝∠CBD ，
而∠ABC ＝50°，
∴∠ABD ＝12
×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.
6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )
图24－1－46
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．80°
【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.
7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．
图24－1－47
8．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__．
24－1－48
9．如图24－1－49，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__cm.
图24－1－49
10．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．
【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.
图24－1－50
11．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为__30°__．
【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD 是∠BAC的平分线，所以∠DAC＝30°.
图24－1－51
12．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．
解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC
＝∠C.又∵∠BDC＝1
2∠BOC，∴∠C＝
1
2∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋
∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
图24－1－52
第12题答图
13．如图24－1－53，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝70°，则∠A ＝__20°__．
图24－1－53
【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.
14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__．
【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12
×54°＝27°.
图24－1－54
图24－1－55
15．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .
(1)求证：BE ＝DF ；
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．
【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对
的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；
(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧． 解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，
∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，
∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .
(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．
图24－1－56
16．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .
(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；
(2)求证：P 是线段AF 的中点．
证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .
∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，
∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，
∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .
又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．
17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .
(1)求∠E 的度数；
(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)．
①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；
②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．
图24－1－57
【解析】(1)连接OC，OD，
则∠COD＝60°，且∠DBE＝1
2∠DOC＝30°.
解：(1)如图(1)，连接OC，OD.∵A D⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴
△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝1
2∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE
＝60°.
(2)①如图(2)，连接OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，
∴∠DAC＝1
2∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－
∠EBD＝60°.
②如图(3)，连接OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.。