金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点08 对数与对数函数

专题08 对数与对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. （3）知道对数函数是一类重要的函数模型.
（4）了解指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数0,1()a a >≠且.
一、对数与对数运算 1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .
（3）对数式与指数式的互化：log x
a a N x N =⇔=.
2．对数的性质
根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即0N >； （2）1的对数等于0，即log 10a =； （3）底数的对数等于1，即log 1a a =； （4）对数恒等式log (0)a N
a
N N =>.
3．对数的运算性质
如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么： （1）log ()log log a a a M N =M +N ⋅； （2）log log log a
a a M
=M N N
-； （3）log log ()n
a a M =n M n ∈R . 4．对数的换底公式 对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c
b
c N
N b b c c N b
=
>≠>≠>且且.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： （1）log log 01,0()且m n a a n
b b a a b m
=>≠>； （2）(1
log 01;01log )且且a b b a a b b a
=
>≠>≠； （3）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0). 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念
一般地，我们把函数=log (0,1)a y x a a >≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞. 2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象与性质如下表所示：
在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近
x
轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数x
y a =(0a >且1a ≠）与对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）互为反函数，其图象关于直线y x
=对称.
考向一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路：
（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；
（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算. 注意：
（1）在利用对数的运算性质log ()log log a a a M N =M +N ⋅与log log ()n
a a M =n M n ∈R 进行化简与求值
时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性． （2）注意利用等式lg 2lg51+=.
典例1 化简：
（1）()7
1log 0
2
log lg25lg479.8+++-；
（2 【答案】（1）5；（2）3.
【解析】（1）()7
1log 0
2
log lg25lg47
9.8+++-
3
222
31log 3lg5lg212
=++++ 33
2lg52lg222
=
+++ ()32lg5lg2=++
32lg10=+
321=+⨯ 5=．
()()22
2lg52lg 2lg52lg5lg 2lg 2=+++⨯+ ()()2
2lg5lg 2lg5lg 2=+++ ()2
2lg10lg10=+
21=+
3=．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
典例2 已知函数()f x =若()31og 2
f a =则a = A ．1
3 B ．
14
C ．
1
2
D ．2
【答案】D
【解析】根据题意有()3log 2
f a ===，解得2a =. 故选D ．
【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.
1．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为 A ．1 B ．
3
4 C ．2
D ．32
2．方程()()
33log 325log 410x x ⋅+-+=的解为x =_________．
考向二 对数函数的图象
1．对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标.
2．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y =1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数1a >和01a <<的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
典例3 若函数log )0,1(且a y x a a =>≠的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
【答案】B
【解析】由题图可知log )0,1(且a y x a a =>≠的图象过点(3,1)，则log 31a =，即3a =. A 项，1()3
x y =在R 上为减函数，错误； B 项，3
y x =，符合；
C 项，3
3
()y x x -==-在R 上为减函数，错误； D 项，3(log )y x -=在(－∞，0)上为减函数，错误． 故选B.
典例4 已知函数()2log ,0
3,0
x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，且函数()()h x f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取
值范围是
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
【答案】B
【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出()y f x =与y x a =-+的图象，其中a 表示直线
y x a =-+在y 轴上的截距，
由图可知，当1a >时，直线y x a =-+与()y f x =只有一个交点． 故选B ．
3．在同一平面直角坐标系中，函数()()0a
f x x
x =≥，()log a g x x =-的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
考向三 对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． （2）解对数不等式：
①形如log log a a x b >的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论；
②形如log a x b >的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．
典例5 已知8log 5a =，4log 3b =，2
3
c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>
【答案】B
【解析】∵382221
log 5log 5log 5log 3
a ===
=，
242221
log 3log 3log 3log 2
b ====
2
322
log 23
c ==，
又∵3
23
3
23
2245⎛⎫
==<
==<
= ⎪⎝⎭
且对数函数2log y x =在()0,+∞上单调递增，
∴c a b <<.
故选B ．
【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 典例6 求不等式1log (4)log a a
x x ->-的解集.
【解析】∵1log log a a
x x -=，
∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，
当a >1时，0404x x x x >⎧⎪
->⎨⎪->⎩，解得0＜x ＜2．
当01a <<时，0404x x x x >⎧⎪
->⎨⎪-<⎩
，解得2＜x ＜4．
∴不等式1log (4)log a a
x x ->-的解集为(0,2)
(2,4)．
4．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b <<
D ．b c a <<
考向四 对数函数的复合函数问题
与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.
求形如()log a y f x =的复合函数的单调区间，其一般步骤为： ①求定义域，即满足()0f x >的x 的取值集合；
②将复合函数分解成基本初等函数log a y u =及()u f x =； ③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则()log a y f x =为增函数，若一增一减，则()log a y f x =为减函数，即“同增异减”.
典例7 已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是 A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数 D ．奇函数，且在(0,10)是减函数
【答案】C 【解析】由100
100x x +>⎧⎨
->⎩
，得(10,10)x ∈-，
故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，
又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()(
)2
lg(10)lg(10)lg 100f x x x x
=++-=-，
因为函数2
100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,+∞上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减. 故选C ．
典例8 已知函数()lg(3)lg(3)f x x x =++-． （1
）判断的奇偶性并加以证明； （2）判断的单调性（不需要证明）； （3）解关于m 的不等式()(1)0f m f m -+<．
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3
【解析】（1）由30
30
x x >⎧⎨
>⎩＋－，得33x -<<，
∴函数的定义域为(3,3)-．
∵函数的定义域关于原点对称，且()lg(3)lg(3)()f x x x f x -=-++=， ∴函数为偶函数．
（2）()2
lg(9)f x x =-, lg y u =为增函数，2
9u x =-在(3,0)-上是增函数，在(0,3)上是减函数，
∴在(3,0)-上是增函数，在(0,3)上是减函数.
()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x
（3）()(1)0f m f m -+<即()(1)f m f m <+，
则313331m m m m -<<⎧⎪-<<⎨+<+⎪⎩⇒3432
1
2
m m m -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<-⎪⎩，得132
m
-<<-.
∴关于m 的不等式()(1)0f m f m -+<的解集为1
(3,)2
--.
5．若函数f(x)=log a (5−ax)（a >0，a ≠1）在(1,3)上是减函数，则a 的取值范围是 A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．已知函数()()
222log a f x a a x =--是对数函数.
（1）若函数()()()log 1log 3a a g x x x =++-，讨论()g x 的单调性；
（2）在（1）的条件下，若1,23
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()30g x m -+≤的解集非空，求实数m 的取值范围.
1．2lg2log 10⋅的值为 A ．1- B ．0 C ．1
D ．2
2．函数()2
ln(21)4f x x x
=
++-的定义域为
A ．(－
1
2
，2 )
B ．1,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．1,22⎛⎤
- ⎥⎝⎦
3．设函数()()2log 1,0
4,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩
，则()()23log 3f f -+=
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
4．已知正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==，则 A ．a bc = B ．2b ac = C ．c ab =
D ．2c ab =
5．已知:p “100a >”，q ：“1
log 102
a <”，则p 是q 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为 A ．(0,6) B ．(0,3] C ．[3,+∞)
D ．[3,6)
7．若函数()log (2)x
a f x a x =++在[]0,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为
A ．16
B ．
13
C ．
12
D ．3
8．若函数f(x)=(m +2)x a 是幂函数，且其图象过点(2,4)，则函数g(x)=log a (x +m)的单调增区间为 A ．(−2,+∞) B ．(1,+∞) C ．(−1,+∞)
D ．(2,+∞)
9．若函数f(x)=log 2(ax 2+2x +a)的值域为R ，则实数a 的取值范围为 A ．[1,+∞) B ．(0,1) C ．[−1,1]
D ．[0,1]
10．已知函数()()
2ln e e x x f x x -=++，则使得f (2x )>f (x +3)成立的x 的取值范围是
A ．()1,3-
B ．()
(),33,-∞-+∞
C ．()3,3-
D ．()(),13,-∞-+∞
11．已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
12．奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()1
32
x f x =+
，则()3log 54f = A ．−2 B ．76
- C ．
7
6
D ．2
13．若函数f (x )=a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y =log a (|x |−1)的图象可以是
A ．
B ．
C ．
D ．
14．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f ＜，则a 的取值范围是 A ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()4,+∞
15．已知函数f (x )=|lg (x −1)|，若1<a <b 且f (a )=f (b )，则实数2a +b 的取值范围是
A ．[3+2√2，+∞)
B ．(3+2√2，+∞)
C ．[6，+∞)
D ．(6，+∞)
16．设函数()()f x x ∈R 满足()()f x f x -=，(2)()f x f x -=，且当[0,1]x ∈时，3()f x x =，又函数
4()log g x x =，则函数()()()h x g x f x =-零点的个数为
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
17．方程log 2(x +2)=1+log 4(6−x)的解为x =________. 18．函数()1
ln
1
x f x x +=-的值域为________. 19．已知二次函数f (x )=x 2−4x +1的顶点为(a,b )，则函数g (x )=log a (x 2−2x +b )的单调递减区间为
_______.
20．已知函数()3log f x x =，设正实数,a b 满足a b <，且()()f a f b =，若()f x 在区间2
,a b ⎡⎤⎣⎦上的最
大值为2，则b a =________．
21．已知函数f(x)=log a (−x 2+ax −9)(a >0,a ≠1).
（1）当a =10时，求f(x)的值域和单调减区间； （2）若f(x)存在单调递增区间，求a 的取值范围．
22．已知函数f(x)=log 2(2x +k)(k ∈R)的图象过点P(0,1)．
（1）求k 的值并求函数f(x)的值域；
（2）若关于x 的方程f(x)=x +m,x ∈[0,1]有实根，求实数m 的取值范围.
23．设函数()()()()log 3log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()02f =.
（1）求实数a 的值及函数()f x 的定义域；
（2）求函数()f x 在区间⎡⎣上的最小值.
24．已知函数()()()2log 2x f x k
k =+∈R 的图象过点()0,1P .
（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；
（2）若关于x 的方程()f x x m =+有实根，求实数m 的取值范围；
（3）若函数()()
[]12
2
2
,0,4x f x h x a x +=-⋅∈，则是否存在实数a ，使得函数()h x 的最大值为0?若存
在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
1．高考全国Ⅰ卷文数）已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A ．
B ．
C ．
D ．
2．高考天津文数）已知0.2
23log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
3．高考北京文数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
212
152–lg E m m E =
，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10−
10.1
a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<
4．高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =
，1(2
log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是
5．高考全国Ⅲ卷文数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
A ．f （log 314）＞f （3
2
2-）＞f （2
32-）
B ．f （log 31
4
）＞f （2
32-）＞f （3
22-）
C ．f （32
2
-
）＞f （232
-
）＞f （log 3
14） D ．f （23
2
-
）＞f （32
2
-
）＞f （log 3
14
） 6．高考天津卷文科）已知13
3
13
711log ,,log 245a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>
D ．c a b >>
7．高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是 A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+
D ．()ln 2y x =+
8．高考新课标全国Ⅱ卷文科）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
9．高考新课标全国Ⅲ卷文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是
A ．y =x
B ．y =lg x
C ．y =2x D
．y =
10．高考天津卷文科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5
a f
b f =-=0.8
(2)c f =，
则，，的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a <<
D ．c a b <<
11．高考北京卷文科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质
的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M
N
最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073
D ．1093
12．高考新课标全国Ⅲ卷文科）若0a b >>,01c <<,则
A ．log a c <log b c
B ．log c a <log c b
C ．a c <b c
D ．c a >c b
13．高考新课标全国Ⅰ卷文科）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则
A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称
14．高考江苏卷）函数(
)f x =________．
15．高考新课标I 卷文科）已知函数()()
22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 16．高考新课标Ⅲ卷文科）已知函数(
))ln
1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
1．【答案】D
a b c
【解析】根据题意，点1414log 7log 56（，）在函数()3f x kx +＝的图象上，
则1414log 56log 73k ⨯+＝，变形可得：2k ＝﹣，则()=2+3f x x -， 若()0f x ＝，则32x =，即()f x 的零点为32
. 故选D ． 2．【答案】2
【解析】()()()()
3333log 325log 410log 325log 4132541x x x x x x ⋅+-+=⇔⋅+=+⇔⋅+=+⇔
()
2
432402324024x x x
x x -⋅-=⇔-⋅-=⇔=或21x =-（舍去）
，即24x =，解得 2.x =即答案为2. 3．【答案】D
【解析】当01a <<时，函数()()0a
f x x x =≥为增函数，且图象增长得越来越平缓，
函数()log a g x x =-为增函数， 当1a >时，函数()()0a
f x x
x =≥为增函数，且图象增长得越来越快，
函数()log a g x x =-为减函数， 综上，只有D 符合. 故选D ． 4．【答案】B
【解析】∵22log 6log 42a =>=，
77log 211log 32c ==+<，
a c ∴>，
∵55log 151log 32b ==+<，
33log 7log 5>，
∴b c >， 综合可得a b c >>. 故选B ． 5．【答案】A
【解析】
0a >，5u ax ∴=-在()1,3上单调递减，
由复合函数的单调性可知：1a >，
由定义域可知：当()1,3x ∈时，50ax ->5a x ⇒<5
3
a ⇒≤， 综上所述：51,3a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.
故选A.
6．【答案】（1）见解析；（2）[
)4,+∞.
【解析】（1）由题意可知：2221
01
a a a a ⎧--=⎨>≠⎩且，解得3,1a a ==-（舍去），
∴函数()f x 的解析式为()3log f x x =. ∵()()()log 1log 3a a g x x x =++-， ∴10
30
x x +>⎧⎨
->⎩，
∴13x x >-⎧⎨<⎩
，
∴13x -<<，即()g x 的定义域为{}|13x x -<<.
由于()()()()
2333log 1log 3log 23g x x x x x =++-=-++，
令()2
23u x x x =-++()13x -<<，则由对称轴1x =可知，()u x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单
调递减；
又因为3log y u =在()0,+∞上单调递增，
故()g x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3. （2）不等式()30g x m -+≤的解集非空， 所以()min 13,,23
m g x x ⎡⎤-≥∈⎢⎥⎣⎦
，
由（1）知，当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 的单调递增区间为1,13
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，单调递减区间为[]
1,2，且
()3132log ,2139g g ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
所以()min 1g x =， 所以31m -≥，4m ≥， 所以实数m 的取值范围为[
)4,+∞.
【思路点拨】（1）由对数函数的定义，得到a 的值，进而得到函数()g x 的解析式，再根据复合函数的单调性，即可求解函数()g x 的单调性.
（2）不等式()30g x m -+≤的解集非空，得()min 3m g x -≥，由（1）得到函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得实数m 的取值范围.
1．【答案】C
【解析】2lg10
lg2log 10lg21lg 2
⋅=⋅=. 故选C. 2．【答案】A
【解析】由题意，函数()ln(21)f x x =+有意义，需满足240
210
x x ⎧->⎨+>⎩， 解得1
22
x -
<<， 即函数()f x 的定义域为1(,2)2
-. 故选A ． 3．【答案】B
【解析】∵函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩
，
∴()2l 23
og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．
故选B ．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算公式，即可求解式子的数值．其中熟记对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．【答案】C
【解析】∵正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴c ab =． 故选C ． 5．【答案】B
【解析】100a >时，1
log 102
a <，
而1
log 102
a <时，10001a a ><<或，即100a >不一定成立，
p ∴是q 的充分不必要条件.
故选B ．
【名师点睛】利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.判断充要条件时应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 6．【答案】D
【解析】由题可得6x −x 2>0，即0<x <6，所以函数f(x)的定义域为(0,6)， 又函数y =6x −x 2在[3,+∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为[3,6). 故选D ．
【名师点睛】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）. 7．【答案】A
【解析】易知()log (2)x
a f x a x =++在[]0,1上单调，
因此，()log (2)x
a f x a x =++在[]0,1上的最值在区间端点处取得，
由其最大值与最小值之和为a 可得(0)(1)f f a +=， 即1log og 2l 3a a a a +++=，化简得log 61a =-，解得1
6
a =. 故选A. 8．【答案】B
【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =−1， 故f(x)=x a ，
将(2,4)代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2， 故g(x)=log a (x +m)=log 2(x −1)， 令x −1>0，解得：x >1， 故g(x)在(1,+∞)上单调递增. 故选B ． 9．【答案】D
【解析】若函数f(x)=log 2(ax 2+2x +a)的值域为R ，则函数y ＝ax 2+2x +a 能取遍所有的正数． 当a ＝0时符合条件； 当a ≠0时，应有2
0=440
a a ∆>⎧⎨
-≥⎩，解得0<a ≤1，
综上，实数a 的取值范围是[0,1]． 故选D ． 10．【答案】D
【解析】因为()(
)
()()
()2
2ln e
e ln e e x
x x x f x x x f x ---=++-=++=，所以函数()f x 是偶函数，
又易知()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()2323f x f x x x >+⇔>+，解得1x <-或3x >. 故选D ．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将()()23f x f x >+转化为23x x >+进行求解.要注意：奇函数在对称的区
间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反. 11．【答案】D
【解析】因为3log y x =是增函数， 所以33log e >log 2，即a c ＞， 又33log e <log 31a ==，
e e ln 3log 3log e 1b ==>=，
所以b a c ＞＞. 故选D.
【名师点睛】本题考查对数函数的基本性质和运算公式，可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.比较大小的试题通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可，属于基础题. 12．【答案】A
【解析】∵()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的周期为4. 又()333log 54log 272)3l 3,4(og 2=⨯=+∈，∴()()()333log 543log 21log 2f f f =+=-+=
32log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3323log log 32f f ⎛
⎫
⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭33log 213132222⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故选A ．
【名师点睛】先由题意得到函数的周期为4，确定出3log 54的范围，然后根据函数的周期性和奇偶性求解．本题考查函数的性质及指数、对数的运算，解题的关键是通过函数的周期性将求值问题转化到区间（0,1）内解决． 13．【答案】D
【解析】由函数f （x ）＝a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）在R 上为减函数， 得0＜a ＜1．
函数y ＝log a （|x |﹣1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜﹣1，
函数y ＝log a （|x |﹣1）的图象，x ＞1时是把函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到的， 综上，选D ． 14．【答案】C
【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数
()f x 为偶函数，
又函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增， 则()()()()222log 2log ||||2log 2f a f f a f a ⇒⇒＜＜＜， 即22log 2a -<<，解得：144a <<，即a 的取值范围为1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故选C ．
【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化是解决本题的关键． 15．【答案】A
【解析】函数f （x ）＝|lg （x ﹣1）|的图象如图，
∵1＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ）， ∴b ＞2，1＜a ＜2， ∴()
()1
lg 1lg 1a b --=-，即1
a−1=b −1，
可得：ab ﹣a ﹣b ＝0． 那么：a =b
b−1． 则2a +b =2b
b−1+b =(2b−2)+2b−1
+b −1+1=(b −1)+2
b−1+3≥2√2+3，当且仅当b =√2+1时取等号，
满足b ＞2.
故实数2a +b 的取值范围是[3+2√2，+∞).
故选A ． 16．【答案】A
【解析】因为()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称. 因为(2)()f x f x -=，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称.
当[0,1]x ∈时，3
()f x x =，于是可以作出函数()f x 的图象如图.
再作出4()log g x x =的图象，结合(4)(4)1g g -==, 可知函数()y g x =与()y f x =的图象有6个交点， 所以函数()()()h x g x f x =-有6个零点. 故选A ．
17．【答案】2
【解析】由已知得()()()2
2
244log 2log 46,2=244,8200,2x x x x x x x +=-∴+-∴+-=∴=或
10x =-，
经检验，当10x =-时，原方程没有意义， 则x =2是原方程的解. 故答案为2. 18．【答案】()()00-∞+∞，，
【解析】1122ln
ln ln 1111x x x x x +-+⎛
⎫==+ ⎪---⎝⎭
， 2101x +
>-且2111x +≠-，2ln 101x ⎛⎫∴+≠ ⎪-⎝⎭
，
∴f (x )的值域为：(−∞,0)∪(0,+∞).
故答案为(−∞,0)∪(0,+∞). 19．【答案】(−∞,−1)
【解析】()2
2
41(2)3f x x x x =-+=--，故顶点坐标为（2，-3），即a=2,b =-3，
则g (x )=log 2(x 2−2x −3), 设u ＝x 2−2x −3， ∵x 2−2x −3＞0，即x ＞3或x ＜﹣1， ∴定义域为（﹣∞，﹣1）（3，+∞），
∵u ＝x 2−2x −3在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴根据复合函数的单调性可得g (x )=log 2(x 2−2x −3)的单调减区间是（﹣∞，﹣1）. 故答案为(−∞,−1). 20．【答案】
1
27
【解析】根据题意可知01,1a b <<>，并且可以知道函数()3log f x x =在()0,1上是减函数，在
()1,+∞上是增函数，且有1ab =，
又201a a <<<，所以由题中的条件，可知()()
2
23max log 2f x f a a ===，可以解得1
3
a =，
所以3b =，
则有3
11327
b
a ⎛⎫==
⎪⎝⎭. 【名师点睛】该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，首先需要确定函数()3log f x x =的图象，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果. 21．【答案】（1）(−∞,lg16];[5,9)；（2）a >6.
【解析】（1）当a =10时，f(x)=lg(−x 2+10x −9)=lg[−(x −5)2+16]， 设t =−x 2+10x −9=−(x −5)2+16， 由−x 2+10x −9>0，得x 2−10x +9<0， 得1<x <9，即函数的定义域为(1,9)， 此时t =−(x −5)2+16∈(0,16]， 则y =lgt ≤lg16，
即函数的值域为(−∞,lg16]，
要求f(x)的单调减区间，等价为求t =−(x −5)2+16的单调递减区间， ∵t =−(x −5)2+16的单调递减区间为[5,9)， ∴f(x)的单调递减区间为[5,9)． （2）若f(x)存在单调递增区间，
则当a >1时，函数t =−x 2+ax −9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a 2−36>0，得a >6或a <−6（舍），
当0<a <1时，函数t =−x 2+ax −9存在单调递减区间即可，则判别式Δ=a 2−36>0，得a >6或a <−6，此时a 不成立，
综上，实数a 的取值范围是a >6．
22．【答案】（1）(0，+∞)；（2）（log 23−1，1）.
【解析】（1）因为函数()f x 的图象过点()0,1P ，所以()
02log 21k +=，解得1k =.
则()()
2log 21x f x =+，
因为211x +>，所以()()
2log 210x f x =+>，
所以函数()f x 的值域为()0+∞，
. （2）方程有实根，即()m f x x =-有实根， 构造函数()
2()()log 21x h x f x x x =-=+-，
则(
)
()
222
221
()log 21log 2log log 212
x x
x
x x h x -+=+-==+， 因为函数2
1x
y -=+在R 上单调递减，而2log y x =在（0，1）上单调递增，
所以复合函数()
2()log 21x h x -=+是R 上的单调递减函数，
所以()h x 在[]
0,1上的最小值为()()
1221log 21log 31h -=+=-，最大值为()()
020log 211h =+=，
即2()(log 31,1h x ∈-），
所以当m ∈（2log 31,1-）时，方程有实根. 23．【答案】（1）3a =，()3,3-；（2）1.
【解析】（1）∵()02f =，
∴()log 920,1a a a =>≠， ∴3a =. 由30
30
x x +>⎧⎨
->⎩得()3,3x ∈-，
∴函数()f x 的定义域为()3,3-.
（2）()()()()()()
2
3333log 3log 3log 33log 9f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=-⎣⎦.
∴当(]
3,0x ∈-时，()f x 是增函数；当()0,3x ∈时，()f x 是减函数，
故函数()f x 在区间0⎡⎣上的最小值是3
log 31f
==.
【思路点拨】（1）根据题设，由()02f =，可求出参数a 的值，根据对数函数的定义，由30x +>且
30x ->，解此不等式，从而求出函数的定义域；
（2）由（1）可确定函数()f x 的解析式，经化简整理得()()
23log 9f x x =-，再根据函数()f x 的
单调性可知该函数的最小值为f
.
24．【答案】（1）1，()0,+∞；（2）()0,+∞；（3）存在17
8
a =
使得函数()h x 的最大值为0. 【解析】（1）因为函数()()2log 2x f x k =+()k ∈R 的图象过点()0,1P ，
所以()01f =，即()2log 11k +=， 所以1k =，
所以()()
2log 21x f x =+， 因为20x >， 所以211x
+>， 所以()
2log 210x +>， 所以函数()f x 的值域为()0,+∞.
（2）因为关于x 的方程()f x x m =+有实根，即方程()
2log 21x m x =+-有实根，即函数
()
2log 21x y x =+-的图象与函数y m =的图象有交点，
令()()
2log 21x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y m =有交点，
又()(
)(
)
22222211log 21log 21log 2log log 122
x x
x
x
x x
g x x +⎛
⎫
=+-=+-==+ ⎪⎝⎭
， 任取1212,x x x x ∈<R 且，则12022x x <<，
所以
12
11
22x x >， 所以12
11
1122x x +>+，
所以()()12g x g x -=1
21log 12x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭221log 102x ⎛
⎫
-+> ⎪⎝⎭
， 所以()()12g x g x >，
所以()g x 在R 上是减函数（或由复合函数判断()21log 12x
g x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
为单调递减函数也可）
， 因为1
112
x +
>， 所以()()21log 10,2x
g x ⎛⎫
=+
∈+∞ ⎪⎝
⎭
， 所以实数m 的取值范围是()0,+∞. （3）由题意知()12
2
212
2221x x x
x
h x a a +=+-⋅=-⋅+，[]0,4x ∈，
令2
2x t =，则()[]
221,1,4t t at t φ=-+∈，
当52a ≤
时，()()max 41780t a φφ==-=，所以178a =， 当5
2
a >时，()()max 1220t a φφ==-=，所以1a =（舍去），
综上，存在17
8
a =使得函数()h x 的最大值为0.
【思路点拨】（1）根据()0,1P 在图象上，代入计算即可求解1k =，因为20x
>，所以211x
+>，所
以()()
2log 210x f x =+>，可得函数()f x 的值域为()0,+∞；
（2）原方程等价于()()
2log 21x g x x =+-的图象与直线y m =有交点，先证明()g x 的单调性，可得到()g x 的值域，从而可得实数m 的取值范围；
（3）根据[]
0,4x ∈，2
2x t =，
转化为二次函数()[]
2
21,1,4t t at t φ=-+∈的最大值问题，讨论函数()t φ的最大值，求解实数a 即可.
1．【答案】B
【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.2
02
21,b =>=
0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<
则a c b <<． 故选B ．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【答案】A
【解析】∵0.200.30.31c =<=，
22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，
∴c b a <<. 故选A .
【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 3．【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足1
212
5lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222
lg
( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而
10.11
2
10E E =. 故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 4．【答案】D
【解析】当01a <<时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,0)2
且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数x
y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1
x y a
=
的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象过定点1
(,02
）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．【答案】C 【解析】
()f x 是定义域为R 的偶函数，331
(log )(log 4)4
f f ∴=．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,1222,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)上单调递减，
∴233
23(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即2
332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 6．【答案】D
【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，1
1
3
1110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即01b <<，
1
333
17
log log 5log 52
=>，即c a >， 综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.
【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 7．【答案】B
【解析】函数ln y x =过定点（1，0），（1，0）关于直线x =1对称的点还是（1，0），只有()ln 2y x =-的图象过此点.故选项B 正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数ln y x =过定点（1，0）及其关于直线x =1对称的点，代入选项验证即可. 8．【答案】D
【解析】要使函数有意义，则2280x x -->，解得2x <-或4x >，
结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为
()4,+∞.
故选D.
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（3）利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 9．【答案】D 【解析】lg 10x
y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足.
故选D ．
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解. 10．【答案】C。