【大学物理】三大守恒定律
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1、两个质点的情况 、
t2
∫ (F ＋F )dt = m v
1 12 t1 2 21 t1
1 1
− m1v10 − m 2 v 20
t2
t2
∫ (F ＋F )dt = m v
F12 = − F21
t2
2 2
∫ (F ＋F )dt＋∫ (F
1 2 t1 t1
t2
12
＋F21 )dt
= ( m1v1 + m 2 v 2 ) − ( m1v10 + m 2 v 20 )
∫ zdm
说明： 说明：
1)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； 对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； 对于密度均匀 2)质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上； 质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上； 质心不一定在物体上 3)质心和重心是两个不同的概念 质心和重心是两个不同的概念
为什么同是一个物体掉下来， 为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同 呢？ 原来一者是跚跚而来，既轻且慢。 原来一者是跚跚而来，既轻且慢。而另者是迅 速而来，既重又快。 速而来，既重又快。或者说人们对于物体的运 动量都有极其明白的计算。 动量都有极其明白的计算。物体的运动量是由 物体的质量和速度决定的 物体的质量和速度决定的。用P=MV来描述是 来描述是 科学的。 科学的。
•动量守恒定律和能量守恒定律 动量守恒定律和能量守恒定律
清晨,鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下,你是什么态度呢 毫不在意,漫不经心 好不悠闲！ 你是什么态度呢?毫不在意 漫不经心.好不悠闲 清晨 鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下 你是什么态度呢 毫不在意 漫不经心 好不悠闲！ 鸟语花香
如果是一篮球飞来,又是什么态度呢 急忙躲闪 生怕打着自已的脑袋! 如果是一篮球飞来 又是什么态度呢?急忙躲闪 生怕打着自已的脑袋 又是什么态度呢 急忙躲闪,生怕打着自已的脑袋
2、质心运动定理 、
dv c Fc = M = Ma c dt
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总 质心运动定律：
质量与系统质心加速度的乘积。 质量与系统质心加速度的乘积。
它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的 它与牛顿第二定律在形式上完全相同， 质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下， 质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质 运动。 心以加速度 ac 运动。
ds = dxi + dyj + dzk
A=
F = Fx i + Fy j + Fz k
∫ ( F dx + F dy + F dz)
a x y z
ห้องสมุดไป่ตู้
b
分量式（自然坐标系）： F = Fn n + Fτ τ ds = dsτ
A=
∫
b
a
F ⋅ ds =
∫
b
a
Fτ ds
3.合力的功
A总 = ∫a F ⋅ ds = ∫a ( F1 + F2 + ... + Fn ) ⋅ ds
例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系。由于质量 取如图所示的坐标系。 为恒量，取微元ds=dxdy的质 面密度σ为恒量，取微元 的质 量为dm=σds=σdxdy 量为 所以质心的x 所以质心的 坐标为
一、内容
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量 时 为零， 为零，即系统的总动量保持不变
P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
n
Px = ∑ m i v ix = C x Py = ∑ m i v iy = C y pz = ∑ m i v iz = C z
m2 x1 = ∫ v1dt = l 0 m1 + m2
t
小车相对于地面的位移为
m1 x 2 = − l + x1 = − l m1 + m 2
3－3 质心 质心运动定律 －
一、质心
1、引入 、
水平上抛三角板
运动员跳水
n
投掷手榴弹
2、质心 、
rc =
∑m r
i =1 n
i i
∑m
i =1
代表质点系质量分布的平 均位置， 均位置，质心可以代表质 点系的平动
解题步骤： 解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； ．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； ．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； ．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； ．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 ．必要时进行讨论。
t1
t2
在一段时间内，质点动 量增量等于物体在此时 间内
外力的冲量 — 动量原理。 讨论： i )动量原理表示一个过程 ；
ii )分量关系。
I x = ∫ Fx dt = Px2 − Px1 = mvx2 − mv x1 I y = ∫ Fy dt = Py2 − Py1 = mv y2 − mv y1
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
动量守恒
二、说明
•守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 守恒的意义
而不是指某一个质点的动量不变。 而不是指某一个质点的动量不变。 •守恒的条件：系统所受的合外力为零。 守恒的条件： 守恒的条件 系统所受的合外力为零。 •内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动 内力的作用： 内力的作用 不改变系统的总动量， 量的变化 •动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量 动量是描述状态的 •动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
Explosion...
Rocket Bottle
• No external forces, so P is conserved. • Initially: P = 0 • Finally: P = m1v1 + m2v2 = 0 m1v1 = - m2v2
v1 m1 m2 M
v2
• A bomb explodes into 3 identical pieces. Which of the following configurations of velocities is possible?
(W )
例：已知m = 1kg，在F作用下沿x轴运动，x = 3t − 4t 2 + t 3 ( SI ).
在0 ~ 4秒内，求 F冲量大小及 F对质点作功。 解：要求冲量得先求力 。 由于 v = 3 − 8t + 3t 2 m/s，a = −8 + 6t m/s 2
I = ∫ Fdt = ∫ dp = p2 − p1 = m(v2 − v1 )
t1 p1
t2
p2
I = P2 − P1 , 即P2 = P1 + I
b
•
v2
t2
a
t1
•
v1
P2 = mv2
I = ∫ F dt
t1
t2
P = mv1 1
I = ∫ F dt = p2 − p1 = mv2 − mv1
3-4 功 动能和动能定理
A = fs cos α = F ⋅ s
(α : F与 S 正向小于或等于 π的夹角 )
F A ∆x x
质点由a到b :
取一小段ds , 力F作功 dA = F ⋅ ds
•
•
ds α
•
b
F
a
F(x)
整个过程F作功总和为 b A = ∫a F ⋅ ds
a
ds
b
直角坐标分量式
3-1冲量 质点和质点系的动量定理 冲量
一、冲量 质点的动量定理
1、冲量（力的作用对时间的积累，矢量） 、 力的作用对时间的积累，矢量）
大小： 大小：
I＝
∫
t2 t1
F dt
F F
方向： 方向：速度变化的方向 单位： 单位：N·s 量纲： 量纲：MLT－1 说明
0
t1
dt
t2
t
•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应； 冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应； 冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应 • 矢量： 大小和方向； 矢量： 大小和方向； • 过程量， 改变物体机械运动状态的原因。 过程量， 改变物体机械运动状态的原因。
(a) 1 v m v m (1) m V (b) 2 (c) both v m
v m (2) m
v
例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为 ， 例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l， 质量为m 车的一端有一人（ 质量为 2，车的一端有一人（包括所骑 自行车），质量为m ），质量为 自行车），质量为 1，人和车原来都静 止不动。当人从车的一端走到另一端时， 止不动。当人从车的一端走到另一端时， 车各移动了多少距离？ 人、车各移动了多少距离？ 解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。 以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。 建立如图所示的坐标系， 建立如图所示的坐标系，有 m1v1+m2v2=0 或 v2= -m1v1/m2 人相对于车的速度 u=v1–v2=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t 内从车的一端走到另一端， 设人在时间 内从车的一端走到另一端，则有 t t m + m m1 + m 2 t 1 2 l = ∫ udt = ∫ v 1 dt = ∫0 v1dt 0 0 m2 m2 在这段时间内人相对于地面的位移为
0 0
a a− x b b
因而质心的坐标为
b a , 3 3
二、质心运动定律
1、系统的动量 、
rc =
∑m r
i =1
n
i i
M
drc dri M = ∑ mi dt dt
Mv c = ∑ m i v i = ∑ pi
结论： 结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速
度与系统质量的乘积
xc
∫∫ xσ dxdy = ∫∫ σ dxdy
a y=a− x b
积分可得
ab 2 ∫ ∫ xσ dxdy 6 b xc = 0 0 a = = ab a− x 3 b b ∫ ∫ σ dxdy 6
a a− x b b
同理
0
0
a 2b ∫ ∫ yσ dxdy 6 a yc = 0 0 a = = ab a− x 3 b b 6 σ dxdy ∫ ∫
1 1
∫ (F ＋F )dt = (m v
1 2 t1
+ m 2 v 2 ) − ( m1v10 + m 2 v 20 )
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况 、
t2 n n n ∫ ∑ Fi外 dt＋∫ ∑ Fi内 dt = ∑ mi vi − ∑ mi vi 0 i =1 i =1 t1 i =1 t1 i = 1 n t2
b b
= ∫a F1 ⋅ ds + ∫a F2 ⋅ ds + ... + ∫a Fn ⋅ ds
b b b
= A1 + A2 + ... + An
dt时间内, 位移为ds , 作功dA
dA = F ⋅ ds = F cosθds
dA F cos θ ds P= = = F cos θ v = F ⋅ v dt dt
i
质心位置矢量各分量的表达式
xc =
∑m x
i =1 n i
n
i
∑m
i =1
, yc =
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
, zc =
∑m z
i =1 n
n
i i
i
∑m
i =1
i
质量连续分布的物体
1 rc = ∫ r dm M
1 xc = M
1 ∫ xdm , yc = M
∫
1 ydm , zc = M
∑F
i =0
n
i内
=0
t2
∫F
t1
外力
dt = ∑ m i v i − ∑ m i v i 0
i =1 i =1
n
n
I ＝P－P0
I x＝Px－Px 0 I y＝Py－Py 0 I z＝Pz－Pz 0
作用在系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量——质点系的动 系统动量的增量 质点系的动 量定理
3-2 动量守恒定律
t1 t1 t2
t2
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的相 互作用力
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， ∆t短，在某时刻其值 难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受的 其它力（如重
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
冲力示意图
I = ∫ F dt = F (t 2 − t1 ) = mv2 − mv1
t1
t2
mv2 − mv1 F= t 2 − t1
如果
mv2 − mv1 = 常量， t 2 − t1越大，则F 越小。
例：用手接篮球瞬间， 手顺球运动方向稍移动 ，以增加作用
力时间；给商品加上各 种软包装，也是为了在 运输过程中，
缓冲外力作用。而打桩 机，锻压机则是利用冲 力。
冲力的特征
二、质点系的动量定理
t2
∫ (F ＋F )dt = m v
1 12 t1 2 21 t1
1 1
− m1v10 − m 2 v 20
t2
t2
∫ (F ＋F )dt = m v
F12 = − F21
t2
2 2
∫ (F ＋F )dt＋∫ (F
1 2 t1 t1
t2
12
＋F21 )dt
= ( m1v1 + m 2 v 2 ) − ( m1v10 + m 2 v 20 )
∫ zdm
说明： 说明：
1)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； 对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； 对于密度均匀 2)质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上； 质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上； 质心不一定在物体上 3)质心和重心是两个不同的概念 质心和重心是两个不同的概念
为什么同是一个物体掉下来， 为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同 呢？ 原来一者是跚跚而来，既轻且慢。 原来一者是跚跚而来，既轻且慢。而另者是迅 速而来，既重又快。 速而来，既重又快。或者说人们对于物体的运 动量都有极其明白的计算。 动量都有极其明白的计算。物体的运动量是由 物体的质量和速度决定的 物体的质量和速度决定的。用P=MV来描述是 来描述是 科学的。 科学的。
•动量守恒定律和能量守恒定律 动量守恒定律和能量守恒定律
清晨,鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下,你是什么态度呢 毫不在意,漫不经心 好不悠闲！ 你是什么态度呢?毫不在意 漫不经心.好不悠闲 清晨 鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下 你是什么态度呢 毫不在意 漫不经心 好不悠闲！ 鸟语花香
如果是一篮球飞来,又是什么态度呢 急忙躲闪 生怕打着自已的脑袋! 如果是一篮球飞来 又是什么态度呢?急忙躲闪 生怕打着自已的脑袋 又是什么态度呢 急忙躲闪,生怕打着自已的脑袋
2、质心运动定理 、
dv c Fc = M = Ma c dt
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总 质心运动定律：
质量与系统质心加速度的乘积。 质量与系统质心加速度的乘积。
它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的 它与牛顿第二定律在形式上完全相同， 质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下， 质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质 运动。 心以加速度 ac 运动。
ds = dxi + dyj + dzk
A=
F = Fx i + Fy j + Fz k
∫ ( F dx + F dy + F dz)
a x y z
ห้องสมุดไป่ตู้
b
分量式（自然坐标系）： F = Fn n + Fτ τ ds = dsτ
A=
∫
b
a
F ⋅ ds =
∫
b
a
Fτ ds
3.合力的功
A总 = ∫a F ⋅ ds = ∫a ( F1 + F2 + ... + Fn ) ⋅ ds
例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系。由于质量 取如图所示的坐标系。 为恒量，取微元ds=dxdy的质 面密度σ为恒量，取微元 的质 量为dm=σds=σdxdy 量为 所以质心的x 所以质心的 坐标为
一、内容
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量 时 为零， 为零，即系统的总动量保持不变
P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
n
Px = ∑ m i v ix = C x Py = ∑ m i v iy = C y pz = ∑ m i v iz = C z
m2 x1 = ∫ v1dt = l 0 m1 + m2
t
小车相对于地面的位移为
m1 x 2 = − l + x1 = − l m1 + m 2
3－3 质心 质心运动定律 －
一、质心
1、引入 、
水平上抛三角板
运动员跳水
n
投掷手榴弹
2、质心 、
rc =
∑m r
i =1 n
i i
∑m
i =1
代表质点系质量分布的平 均位置， 均位置，质心可以代表质 点系的平动
解题步骤： 解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； ．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； ．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； ．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； ．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 ．必要时进行讨论。
t1
t2
在一段时间内，质点动 量增量等于物体在此时 间内
外力的冲量 — 动量原理。 讨论： i )动量原理表示一个过程 ；
ii )分量关系。
I x = ∫ Fx dt = Px2 − Px1 = mvx2 − mv x1 I y = ∫ Fy dt = Py2 − Py1 = mv y2 − mv y1
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
动量守恒
二、说明
•守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 守恒的意义
而不是指某一个质点的动量不变。 而不是指某一个质点的动量不变。 •守恒的条件：系统所受的合外力为零。 守恒的条件： 守恒的条件 系统所受的合外力为零。 •内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动 内力的作用： 内力的作用 不改变系统的总动量， 量的变化 •动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量 动量是描述状态的 •动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
Explosion...
Rocket Bottle
• No external forces, so P is conserved. • Initially: P = 0 • Finally: P = m1v1 + m2v2 = 0 m1v1 = - m2v2
v1 m1 m2 M
v2
• A bomb explodes into 3 identical pieces. Which of the following configurations of velocities is possible?
(W )
例：已知m = 1kg，在F作用下沿x轴运动，x = 3t − 4t 2 + t 3 ( SI ).
在0 ~ 4秒内，求 F冲量大小及 F对质点作功。 解：要求冲量得先求力 。 由于 v = 3 − 8t + 3t 2 m/s，a = −8 + 6t m/s 2
I = ∫ Fdt = ∫ dp = p2 − p1 = m(v2 − v1 )
t1 p1
t2
p2
I = P2 − P1 , 即P2 = P1 + I
b
•
v2
t2
a
t1
•
v1
P2 = mv2
I = ∫ F dt
t1
t2
P = mv1 1
I = ∫ F dt = p2 − p1 = mv2 − mv1
3-4 功 动能和动能定理
A = fs cos α = F ⋅ s
(α : F与 S 正向小于或等于 π的夹角 )
F A ∆x x
质点由a到b :
取一小段ds , 力F作功 dA = F ⋅ ds
•
•
ds α
•
b
F
a
F(x)
整个过程F作功总和为 b A = ∫a F ⋅ ds
a
ds
b
直角坐标分量式
3-1冲量 质点和质点系的动量定理 冲量
一、冲量 质点的动量定理
1、冲量（力的作用对时间的积累，矢量） 、 力的作用对时间的积累，矢量）
大小： 大小：
I＝
∫
t2 t1
F dt
F F
方向： 方向：速度变化的方向 单位： 单位：N·s 量纲： 量纲：MLT－1 说明
0
t1
dt
t2
t
•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应； 冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应； 冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应 • 矢量： 大小和方向； 矢量： 大小和方向； • 过程量， 改变物体机械运动状态的原因。 过程量， 改变物体机械运动状态的原因。
(a) 1 v m v m (1) m V (b) 2 (c) both v m
v m (2) m
v
例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为 ， 例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为l， 质量为m 车的一端有一人（ 质量为 2，车的一端有一人（包括所骑 自行车），质量为m ），质量为 自行车），质量为 1，人和车原来都静 止不动。当人从车的一端走到另一端时， 止不动。当人从车的一端走到另一端时， 车各移动了多少距离？ 人、车各移动了多少距离？ 解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。 以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。 建立如图所示的坐标系， 建立如图所示的坐标系，有 m1v1+m2v2=0 或 v2= -m1v1/m2 人相对于车的速度 u=v1–v2=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t 内从车的一端走到另一端， 设人在时间 内从车的一端走到另一端，则有 t t m + m m1 + m 2 t 1 2 l = ∫ udt = ∫ v 1 dt = ∫0 v1dt 0 0 m2 m2 在这段时间内人相对于地面的位移为
0 0
a a− x b b
因而质心的坐标为
b a , 3 3
二、质心运动定律
1、系统的动量 、
rc =
∑m r
i =1
n
i i
M
drc dri M = ∑ mi dt dt
Mv c = ∑ m i v i = ∑ pi
结论： 结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速
度与系统质量的乘积
xc
∫∫ xσ dxdy = ∫∫ σ dxdy
a y=a− x b
积分可得
ab 2 ∫ ∫ xσ dxdy 6 b xc = 0 0 a = = ab a− x 3 b b ∫ ∫ σ dxdy 6
a a− x b b
同理
0
0
a 2b ∫ ∫ yσ dxdy 6 a yc = 0 0 a = = ab a− x 3 b b 6 σ dxdy ∫ ∫
1 1
∫ (F ＋F )dt = (m v
1 2 t1
+ m 2 v 2 ) − ( m1v10 + m 2 v 20 )
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质 点动量之和的增量，即系统动量的增量。 点动量之和的增量，即系统动量的增量。
2、多个质点的情况 、
t2 n n n ∫ ∑ Fi外 dt＋∫ ∑ Fi内 dt = ∑ mi vi − ∑ mi vi 0 i =1 i =1 t1 i =1 t1 i = 1 n t2
b b
= ∫a F1 ⋅ ds + ∫a F2 ⋅ ds + ... + ∫a Fn ⋅ ds
b b b
= A1 + A2 + ... + An
dt时间内, 位移为ds , 作功dA
dA = F ⋅ ds = F cosθds
dA F cos θ ds P= = = F cos θ v = F ⋅ v dt dt
i
质心位置矢量各分量的表达式
xc =
∑m x
i =1 n i
n
i
∑m
i =1
, yc =
∑m y
i =1 n i
n
i
i
∑m
i =1
, zc =
∑m z
i =1 n
n
i i
i
∑m
i =1
i
质量连续分布的物体
1 rc = ∫ r dm M
1 xc = M
1 ∫ xdm , yc = M
∫
1 ydm , zc = M
∑F
i =0
n
i内
=0
t2
∫F
t1
外力
dt = ∑ m i v i − ∑ m i v i 0
i =1 i =1
n
n
I ＝P－P0
I x＝Px－Px 0 I y＝Py－Py 0 I z＝Pz－Pz 0
作用在系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量——质点系的动 系统动量的增量 质点系的动 量定理
3-2 动量守恒定律
t1 t1 t2
t2
对于碰撞、打击、爆炸 等过程，物体之间的相 互作用力
称为冲力，其特点是峰 值大，变化大， ∆t短，在某时刻其值 难准确确定。在该过程 中，可忽略物体所受的 其它力（如重
力、弹力）。一般用平 均力替代变力。
冲力示意图
I = ∫ F dt = F (t 2 − t1 ) = mv2 − mv1
t1
t2
mv2 − mv1 F= t 2 − t1
如果
mv2 − mv1 = 常量， t 2 − t1越大，则F 越小。
例：用手接篮球瞬间， 手顺球运动方向稍移动 ，以增加作用
力时间；给商品加上各 种软包装，也是为了在 运输过程中，
缓冲外力作用。而打桩 机，锻压机则是利用冲 力。
冲力的特征
二、质点系的动量定理