数列不等式证明的几种方法

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数列不等式证明的几种方法
一、巧妙构造，利用数列的单调性
例1. 对任意自然数n，求证：。

证明：构造数列。

所以，即为单调递增数列。

所以，即。

点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。

二、放缩自然，顺理成章
例2. 已知函数，数列的首项，以后每项按如下
方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和
两点的直线平行。

求证：当时：
（1）；
（2）。

证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。

又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。

（2）因为函数
，
所以，即，因此
；
又因为。

令，且。

所以
因此，
所以
三、导数引入
例3. 求证：
证明：令，且当时，，所以。

要证明原不等式，只须证。

设，
所以。

令，
所以。

设，
所以上为增函数
所以，即
所以
同理可证
所以。

对上式中的n分别取1，2，3，…，，得。

四、裂项求和
例4. 设是数列的前n项和，且
（1）求数列的首项，及通项；
（2）设，证明。

解：（1）首项（过程略）。

（2）证明：将，
得，
则
点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的
五、独辟蹊径，灵活变通
独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。

例5. 已知函数。

设数列，数列
满足
（1）求证：；
（2）求证：。

证明：（1）证法1：由
令，则只须证；易知，只须证。

由分析法：。

因为，，
所以，得证。

证法2：由于的两个不动点为。

又，所以
所以
所以
，
由上可求得，
因此只需证，
即证：
又
（2）由（1）知，
所以
故对任意。

点评：本题（1）中法1通过构造新数列，将复杂的问题转化为证数列为递减数列，进而用分析法展示出证明思路的魅力；法2则是独辟蹊径利用“不动点”，求出通项公式，借助二项式定理放缩给出证明。