602函数与方程测试(1)

函数与方程练习题

函数与方程练习题函数与方程练习题在数学学习中，函数与方程是非常重要的概念和工具。

通过函数与方程的学习，我们可以解决各种实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些函数与方程的练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。

一、函数练习题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)的值。

解析：将x = 5代入函数f(x)中，得到f(5) = 2(5) + 3 = 13。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x + 1，求g(-3)的值。

解析：将x = -3代入函数g(x)中，得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 1 = 4。

3. 已知函数h(x) = 3x^2 - 2x + 5，求h(2)的值。

解析：将x = 2代入函数h(x)中，得到h(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 17。

4. 已知函数k(x) = |x - 3|，求k(4)的值。

解析：将x = 4代入函数k(x)中，得到k(4) = |4 - 3| = 1。

二、方程练习题1. 解方程2x + 3 = 7。

解析：将方程两边减去3，得到2x = 4，再将方程两边除以2，得到x = 2。

2. 解方程x^2 - 4x + 3 = 0。

解析：将方程进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) = 0，因此x = 1或x = 3。

3. 解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

解析：可以使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，代入a = 2，b = 5，c = -3，计算得到x ≈ -1.5或x ≈ 0.5。

4. 解方程|x - 2| = 3。

解析：可以将方程拆分为两个方程，即x - 2 = 3或x - 2 = -3，解得x = 5或x = -1。

通过以上的练习题，我们可以发现函数与方程在数学学习中的重要性。

函数可以描述两个变量之间的关系，通过函数，我们可以计算出给定变量的值对应的函数值。

602 数学(含高等数学、线性代数)

华中科技大学硕士研究生入学考试《数学》(含高等数学、线性代数)考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义以及它们的性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： e x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→→11lim ,1sin lim 0 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4．掌握基本初等函数的性质及其图形。

5．会建立简单应用问题中的函数关系式。

6．理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

7．掌握极限的性质及四则运算法则。

8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

10．理解函数的连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

二、一元函数微分学考试内容考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数的概念简单函数的n阶导数微分在近似计算中的应用罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理泰勒(Taylor)定理洛必达(L’Hospital)法则函数的极值及其求法函数单调性函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值的求法及简单应用弧微分曲率的概念两曲线的交角。

考试科目602数学

2.导数的几何意义和物理意义；
3.函数的可导性与连续性之间的关系；
4.平面曲线的切线和法线；
5.导数和微分的四则运算；
6.基本初等函数的导数；
7.复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；
8.一阶微分形式的不变性；
9.微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则；
10.函数单调性的判别；
11.函数的极值；
3.二次型的秩；
4.惯性定理；
5.二次型的标准形和规范形；
6.用正交变换和配方法化二次型为标准形；
7.二次型及其矩阵的正定性。
三、概率论与数理统计（20%）
(一)随机事件和概率
1.随机事件与样本空间；
2.事件的关系与运算；
3.完备事件组；
4.概率的概念；
5.概率的基本性质；
6.古典型概率；
7.几何型概率；
1.总体、个体与简单随机样本；
2.统计量、样本均值、样本方差和样本矩；
3. 分布、分布、分布、分位数、正态总体的常用抽样分布。
(七)参数估计
1.点估计的概念；
2.估计量与估计值；
3.矩估计法；
4.最大似然估计法。
(八)假设检验
1.显著性检验；
2.假设检验的两类错误；
3.单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
2.二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；
3.二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度；
4.随机变量的独立性和不相关性；
5.常用二维随机变量的分布；
6.两个及两个以上随机变量简单函数的分布。
(四)随机变量的数字特征
1.随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质；

函数与方程试题及解答

函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。

所以f(2)的值为-1。

（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。

解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。

解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。

再将方程两边除以3，得到x = 5。

所以满足g(x) = 10的x的值为5。

2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。

解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。

再将方程两边除以3，得到x = 1。

所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。

（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。

解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。

将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。

计算得到-11 = 2x。

再将方程两边除以2，得到x = -5.5。

所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。

3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。

求这个数列的第10项。

解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。

所以这个数列的第10项为34。

4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。

已知该产品售价为20元时，销量为20000件。

问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。

根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。

将方程简化，得到20 - x = 40。

将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。

602数学大纲

602数学（含高等数学、线性代数）一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数。

数列极限与函数极限的相关内容。

二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数。

一阶微分形式的不变性，微分学中值定理，洛必达(L’Hospital)法则，微分学的应用。

三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质。

定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积分法部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分的概念，定积分的应用。

四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量方向数与方向余弦，平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离。

球面、母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形。

空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念。

有界闭区域上的多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，高阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。

多元函数极值和条件极值求法及应用。

六、多元函数积分学考试内容二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用。

两类曲线积分的概念、性质及计算。

两类曲线积分的关系，格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数。

成都理工大学602数学分析2016真题

广东工业大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：数学分析科目代码：602 考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）———————————————————————————————一叙述题 1．叙述二重积分的概念。

2．叙述Gauss 公式的内容。

3．叙述Riemann 引理。

二计算题1．求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。

2．求平面0=z ，圆柱面x y x 222=+，锥面22y x z +=所围成的曲顶柱体的体积。

3．计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x I )(。

其中 10,10 ,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。

4．利用含参变量积分的方法计算下列积分dx e x ⎰+∞∞--2。

5．计算⎰⎰++Mdxdy z dzdx y dydz x ,333 其中M 为上半椭球面),0,,(0,1222222>≥=++c b a z cz b y a x 定向取上侧. 三证明题1．若1≥n 及,0 ,0≥≥y x 证明不等式.22nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+≥+2．证明dx xxy⎰∞+0sin 关于y 在)0( ] ,[+∞<<<b a b a 上一致收敛，但在) ,0(∞+上非一致收敛答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设Ω为2R 上的零边界区域，函数),(y x f z =在Ω上有界。

将Ω用曲线网分成n 个小区域n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21（称为Ω的一个分划），记i σ∆为i ∆Ω的面积，并记所有的小区域i ∆Ω的最大直径为λ。

在每个i ∆Ω上任取一点),(i i ηξ，若λ趋于零时，和式i ni i i f I σηξ∆=∑=1),(的极限存在且与区域的分法和点),(i i ηξ的取法无关，则称)(x f 在Ω上可积，并称此极限为),(y x f 在有界闭区域Ω上的二重积分，记为i ni i i f d y x f I σηξσλ∆==∑⎰⎰=Ω→1),(lim ),(。

九年级数学函数与方程练习题及答案

九年级数学函数与方程练习题及答案1. 函数1.1 定义函数函数是一种特殊的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

我们用 f(x) 表示函数，其中 x 是输入变量，f(x) 是输出变量。

1.2 函数的性质函数具有以下性质：- 每个输入变量只有唯一对应的输出变量。

- 可以通过输入变量的值计算输出变量的值。

- 函数可以表示为一个表格、一条曲线或者一个方程。

2. 方程2.1 一次方程一次方程是指次数为1的等式，通常形式为ax + b = c，其中a、b、c 是已知常数，x 是未知数。

2.2 解一次方程的方法解一次方程的基本步骤如下：- 将方程移项，将未知数的项移到等式一边，已知常数的项移到等式的另一边。

- 合并同类项，将未知数的系数与未知数相乘，得到一个整数。

- 用求得的整数除以未知数的系数，得到未知数的值。

3. 习题及答案3.1 函数练习题1) 设有函数 f(x) = 3x + 2，求当 x = 4 时的函数值。

解: 将 x = 4 代入函数 f(x) = 3x + 2，得到 f(4) = 3(4) + 2 = 14。

2) 设有函数 g(x) = x^2 - 5x + 6，求当 x = 2 时的函数值。

解: 将 x = 2 代入函数 g(x) = x^2 - 5x + 6，得到 g(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0。

3.2 方程练习题1) 解方程 2x + 5 = 15。

解:将方程移项得 2x = 15 - 5 = 10，再将等式两边都除以 2 得 x = 10 / 2 = 5。

所以方程的解为 x = 5。

2) 解方程 3(x - 4) = 6 + 2x。

解:展开方程得 3x - 12 = 6 + 2x，移项得 3x - 2x = 6 + 12，合并同类项得 x = 18。

所以方程的解为 x = 18。

3) 解方程 2(3x - 1) + 5(x + 2) = 4(2x + 3) - 7。

(完整版)函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++，由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-．（2）令()0f x =得2x =或4-，∴零点是122,4x x ==-．（3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为（ D ））A .1B .0C .2或0D .22．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A .1B .2C .3D .不确定3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B .0，41- C .41,21- D .0，41,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解．函数与方程测试题（时间45分钟）一、填空题（共计6小题，每题10分）1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为3、设f （x ）x e +1，则f （x ）＝ .4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元5、若不等式2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .二、解答题（共计2小题，每题20分）7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.8、已知函数f （x ）=xa 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.试题答案：1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。

函数与方程的练习题

函数与方程的练习题函数与方程的练习题函数与方程是数学中非常重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数与方程的性质和运用。

本文将介绍一些常见的函数与方程的练习题，帮助读者更好地学习和应用这些概念。

一、函数的练习题1. 设函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。

解析：将 x = 4 代入函数 f(x) = 2x + 3，得到 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。

所以f(4) 的值为 11。

2. 已知函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，求 g(2) 的值。

解析：将 x = 2 代入函数 g(x) = x^2 - 4x + 4，得到 g(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 -8 + 4 = 0。

所以 g(2) 的值为 0。

3. 设函数 h(x) = |x - 2|，求 h(3) 的值。

解析：将 x = 3 代入函数 h(x) = |x - 2|，得到 h(3) = |3 - 2| = 1。

所以 h(3) 的值为 1。

二、方程的练习题1. 求解方程 2x + 3 = 7。

解析：将方程 2x + 3 = 7 移项，得到 2x = 7 - 3 = 4。

再将 x 的系数化为 1，得到 x = 4/2 = 2。

所以方程 2x + 3 = 7 的解为 x = 2。

2. 求解方程 x^2 - 4x + 4 = 0。

解析：观察方程 x^2 - 4x + 4 = 0，发现它可以写成 (x - 2)^2 = 0。

根据平方根的性质，得到 x - 2 = 0，即 x = 2。

所以方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的解为 x = 2。

3. 求解方程 |x - 2| = 3。

解析：根据绝对值的定义，方程 |x - 2| = 3 可以拆分为两个方程：x - 2 = 3 和 x - 2 = -3。

解得 x = 5 和 x = -1。

函数与方程练习题及解析

函数与方程练习题及解析在函数与方程领域有很多重要的练习题和解析，本文将为您详细介绍一些常见的练习题及其解析。

无论您是初学者还是有一定基础的学生，相信这些练习题对您的学习都会有所帮助。

一、线性函数练习题及解析1. 已知函数关系式为y = 2x - 3，求解以下问题：a) 当x等于5时，y的值是多少？b) 当y等于7时，x的值是多少？解析：a) 将x = 5代入函数关系式，得到y = 2(5) - 3，计算得出y = 7，所以当x等于5时，y的值为7。

b) 将y = 7代入函数关系式，得到7 = 2x - 3，移项计算可得2x = 10，进而x = 5，所以当y等于7时，x的值为5。

2. 已知函数关系式为y = -3x + 4，求解以下问题：a) 当y等于0时，x的值是多少？b) 当x等于-2时，y的值是多少？解析：a) 将y = 0代入函数关系式，得到0 = -3x + 4，移项计算可得-3x = -4，进而x = 4/3，所以当y等于0时，x的值为4/3。

b) 将x = -2代入函数关系式，得到y = -3(-2) + 4，计算得出y = 10，所以当x等于-2时，y的值为10。

二、二次函数练习题及解析1. 已知二次函数关系式为y = x^2 - 3x + 2，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程式是什么？解析：a) 函数的顶点坐标可以通过计算得出。

x = -b/(2a)，其中a为一次项系数，b为常数项系数。

根据关系式可知，a = 1，b = -3，代入公式计算可得x = 3/2，将x带入函数关系式计算得到y = 1/4。

所以函数的顶点坐标为(3/2, 1/4)。

b) 函数的对称轴方程式为x = -b/(2a)，根据关系式可知，a = 1，b = -3，代入公式计算可得x = 3/2，所以函数的对称轴方程式为x = 3/2。

2. 已知二次函数关系式为y = -2x^2 + 4x + 3，求解以下问题：a) 函数的最大值是多少？b) 函数的零点是什么？解析：a) 函数的最大值可以通过计算得出。

数学课程函数与方程综合练习题及答案

数学课程函数与方程综合练习题及答案1. 问题描述：已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(2)的值。

解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1= 3(4) - 4 + 1= 12 - 4 + 1= 9所以，f(2) = 9。

2. 问题描述：函数g(x)的图像在x轴上的截距为-4，求此函数的解析式。

解答：由题意可知，函数g(x)的图像在x轴上的截距为-4，即g(x) = 0时，x = -4。

设g(x) = ax + b，代入x = -4得到方程-4a + b = 0。

由于此函数没有其他已知条件，我们无法确定该函数的具体形式。

所以，函数g(x)的解析式可以是g(x) = ax - 4，其中a为任意实数，b = 4a。

3. 问题描述：已知函数h(x) = x^3 + 2x - 5，求h(-1)的值。

解答：将x = -1代入函数h(x)，得到h(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - 5= -1 - 2 - 5= -8所以，h(-1) = -8。

4. 问题描述：函数y = 4x^2 - 3x + 2的图像在y轴上的截距为2，求此函数的解析式。

解答：由题意可知，函数y = 4x^2 - 3x + 2的图像在y轴上的截距为2，即x = 0时，y = 2。

代入x = 0得到2 = 4(0)^2 - 3(0) + 2= 2所以，该函数的解析式为y = 4x^2 - 3x + 2。

5. 问题描述：已知函数k(x)满足k(3) = 4和k(5) = 6，求函数k(x)的解析式。

解答：设k(x) = ax^2 + bx + c，代入k(3) = 4得到9a + 3b + c = 4，代入k(5) = 6得到25a + 5b + c = 6。

解以上方程组，得到a = -1/2，b = 5，c = 3/2。

所以，函数k(x)的解析式为k(x) = -1/2x^2 + 5x + 3/2。

(完整版)函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++，由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-．（2）令()0f x =得2x =或4-，∴零点是122,4x x ==-．（3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为（ D ））A .1B .0C .2或0D .22．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A .1B .2C .3D .不确定3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B .0，41- C .41,21- D .0，41,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解．函数与方程测试题（时间45分钟）一、填空题（共计6小题，每题10分）1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为3、设f （x ）x e +1，则f （x ）＝ .4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元5、若不等式2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .二、解答题（共计2小题，每题20分）7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.8、已知函数f （x ）=xa 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.试题答案：1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。

602_数学分析

附件2：602数学分析考试科目大纲一、考试性质数学分析是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。

本考试大纲的制定力求反映招生类型的特点，科学、公平、准确、规范地测评考生的相关基础知识掌握水平，考生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。

应考人员应根据本大纲的内容和要求自行组织学习内容和掌握有关知识。

本大纲主要由一元函数微分学和积分学、无穷级数、多元函数微分学和积分学、实数理论等部分组成。

考生应掌握数学分析的基本概念，理解数学分析的基本理论，熟练掌握数学分析的各种运算，理解数学分析的基本思想和方法。

二、评价目标(1)要求考生理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。

(2)要求考生具有较好的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。

(3)要求考生具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试内容（一）函数、极限与连续1、考试范围实数及其性质，确界及确界原理，函数的概念及有界性、单调性、周期性和奇偶性；数列极限与函数极限的定义、性质及存在的条件，两个重要极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量阶的比较，曲线的渐近线；一元函数连续和一致连续的概念，函数间断点及其分类，连续函数的性质，初等函数的连续性。

2、基本要求(1)了解实数的概念，理解确界概念、确界原理；理解函数、复合函数、分段函数和初等函数的概念；了解有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数。

(2)理解数列极限概念，掌握收敛数列的性质及数列极限存在的条件。

(3)理解函数极限的概念,掌握函数极限的性质；熟练掌握函数极限的存在条件和两个重要极限；理解无穷小量的概念，熟练掌握等价无穷小量求极限的方法；了解曲线的渐近线。

(4)理解和掌握一元函数连续和一致连续的概念及其证明；熟练掌握函数间断点及其分类和闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

（二）一元函数微分学1、考试范围导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线；导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数；微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的最大值与最小值。

函数与方程练习题及答案

函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点无交点零点个数3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源]1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．1．设f(x)＝3x ＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点题型二二次函数的零点分布问题例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．数形结合思想在函数零点问题中的应用试题：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；A 组专项基础训练题组一、选择题1．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为 A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正 D ．不小于零2．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则 ( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 二、填空题4．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．三、解答题5．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．B 组专项能力提升题组一、选择题1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是( )A ．函数f [g (x )]的零点有且仅有6个B ．函数g [f (x )]的零点有且仅有3个C ．函数f [f (x )]的零点有且仅有5个D ．函数g [g (x )]的零点有且仅有4个二、填空题4．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．三、解答题8．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. 有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；答案要点梳理1．(1)f (α)＝0 零点 (2)x 轴零点 2．(x 1,0)，(x 2,0) (x 1,0) 两个一个无基础自测1．(1.25,1.5) 2.－12，－133．3 4.a >1 5.(－2,0) 题型分类·深度剖析例1 解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]． ∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]， x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．(2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，因此f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．变式训练1 (1)B (2)D 例2 4变式训练2 B例3 解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.变式训练3 解方法一若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.方法二函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax 2＋2x －3＝0在区间[－1,1]上有实根．显然0不是y ＝f (x )的零点，由题意转化为x ∈[－1,1]时求a ＝32·1x 2－1x 的值域．∵1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a ＝32⎝⎛⎭⎫1x －132－16在1x ＝1时取得最小值12. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 课时规范训练 A 组1．C 2.B 3.B 4.35．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0， ∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.6．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. B 组1．B 4.(2,3)8．解 ①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②方法一设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0(x 1＋1)(x 2＋1)>0(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >4或m <－1，m >－5，m <1，∴－5<m <－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．方法二由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．。

函数与方程经典练习题(含答案)

一、选择题1、函数(1)ln ()3x x f x x -=-的零点有（ B ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2、函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是（ C ）A ．（18，14） B ．（14，12） C ．（12，1） D ．（1,2） 3、函数232()43f x x x x =+-在区间[-1,1]上零点的个数有（ B ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4、已知函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ C ）A ．(-∞,0]B ．[0,1）C ．(-∞,1)D ．[0, +∞）5、已知函数2()f x x x a =++（a<0）在区间（0,1）上有零点，则a 的范围为（ B ）A ．(-∞,2-]B ．（2-,0）C ．(0,1)D ．（1,2）6、（2012∙辽宁卷）设函数()f x （x R ∈）满足()f x -=()f x ，()f x =(2)f x -，且当[0,1]x ∈时，()f x =3x ，又函数()cos()g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（ B ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个7、（2012∙天津卷）函数3()22x f x x =+-在区间（0，1）内的零点个数是（ B ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8、（2010∙浙江卷）已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则（ B ）A. 12()0,()0f x f x <<B. 12()0,()0f x f x <>C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>9、（2011∙陕西卷）函数()cos f x x =在[0,)+∞内（ B ）A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点二、问答题1、已知函数2()21f x x ex m =-++-，2()(0)e g x x x x =+>（e 为自然对数的底）。

安师大602高等数学考试范围

安师大602高等数学考试范围一、函数、极限和连续(一) 函数1、理解函数的概念、会求函数的定义域、表达式及函数值。

会求分段函数的定义域，函数值，并会做出简单的分段函数图像，会建立简单实际问题的函数关系式。

2、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

3、了解函数y=f (x)与其反函数y=f-' (x)之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。

4、理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

5、掌握基本初等函数及其简单性质、图象。

6、了解初等函数的概念及其性质。

(二)极限1、理解极限的概念，会求数列极限及函数在一.点处得左极限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则(包括数列极限与函数极限)。

3、熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

4、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，会运用等价无穷小量代换求极限。

(三)连续1、理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数(含分段函数)的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

2、会求函数的间断点及确定其类型。

3、掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方程根的存在性。

4、了解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学(一)导数与微分1、理解导数的概念，了解导数的几何意义以及函数可导性与连续性之间的关系，会用定义判断函数的可导性。

2、会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则、以及复合函数的求导方法，回求反函数的导数。

4、掌握隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会使用对数求导法，会求分段函数的导数。

5、了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。

6、理解函数的微分概念及微分的几何意义，掌握微分运算法则及一阶微分形式的不变性,了解可微与可导的关系，会求函数的微分。

函数与方程检测题

函数与方程检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1]D ．[－1,0]解析：选D 因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23＜0，f (0)＝30－0＝1＞0，所以f (－1)·f (0)＜0.3．若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.4．(2020·福州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 根据题意，令x 2－2x ＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，即当x ≤0时函数有两个零点；又当x >0时，1＋1x＋3x ＝0无解．故函数只有两个零点．故选C.5.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A 因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即f (x 1)的值恒为正值，故选A.6.已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A 令f (x )＝2x ＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0；令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1；令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2.显然a <b <c .7．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x ＋1|，x ≠－1，1，x ＝－1，若关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝( )A.2b 2＋2b 2B.3c 2＋2c 2C ．5D ．13解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，只有当f (x )＝1时，它有三个不同实根，此时关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有且仅有三个不同的实数解，分别是－2，－1,0.故x 21＋x 22＋x 23＝(－2)2＋(－1)2＋02＝5.8．定义在⎣⎡⎦⎤1π，π上的函数f (x )满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤1π，1时，f (x )＝ln x ．若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎡⎦⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－ln ππ，0 B ．[－πln π，0] C.⎣⎡⎦⎤－1e ，ln ππD.⎣⎡⎦⎤－e 2，－1π 解析：选B 因为当x ∈⎣⎡⎦⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，所以当x ∈(1，π]时， 1x ∈⎣⎡⎭⎫1π，1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ，此时f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，故f (x )＝－ln x ，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1π，π上的图象如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎡⎦⎤1π，π上有零点，只需直线y ＝ax 与f (x )的图象有交点，由图可得，k OA ≤a ≤0，其中k OA ＝ln1π1π＝－πln π，所以若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎡⎦⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是[－πln π，0]．故选B. 二、填空题（每小题5分，共25分）9．(2020·哈尔滨检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，即－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，可得－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2.f (x )＝x 2－x －2，af (－2x )＞0，即4x 2＋2x －2＜0，解得－1＜x ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫－1，12 10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：211．已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是____________．解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示．由图知f (x )<0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)12．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为________．解析：作出函数y ＝f (x )和 y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3. 答案：313．若曲线y ＝log 2(2x －m )(x >2)上至少存在一点与直线y ＝x ＋1上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为________．解析：因为直线y ＝x ＋1关于原点对称的直线为y ＝x －1，依题意方程log 2(2x －m )＝x －1在(2，＋∞)上有解．则m ＝2x－1在x ∈(2，＋∞)上有解，所以m >2.又2x －m >0恒成立，则m ≤(2x )min ，即m ≤4.所以实数m 的取值范围为(2,4]．答案：(2,4]三、综合题（3个题，共35分）14.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解：显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故实数m 的取值范围是(－∞，－1]．15．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1,1)． 16．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示． (2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈(0，1]，1－1x，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．即m 的取值范围是(0,1)．。

函数与方程练习题

函数与方程练习题一、选择题1. 下列哪个不是函数的图像？A. 抛物线B. 圆C. 反比例函数D. 正弦曲线2. 函数f(x)=x^2+3x+2的对称轴方程是：A. x=-1B. x=3/2C. y=-1D. y=3/23. 若直线y=mx-1与曲线y=f(x)有惟一交点，则m的取值范围是：A. (-∞,-1)B. (0,∞)C. (-∞,0)D. 全体实数4. 函数y=2x-1与x轴交点的个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷个5. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 奇函数D. 偶函数二、填空题1. 若函数y=f(x)的定义域为[-2,5]，则其增函数的自变量取值范围为_______。

2. 函数y=f(x)在区间[0,6]上是递减函数，则其定义域范围为_______。

3. 解不等式2x+1>5，得到的解集为_______。

4. 函数y=f(x)在整个实数集上都是递增函数，则其值域范围为_______。

5. 若函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则其对称轴方程为_______。

三、简答题1. 请画出函数y=2x-1的图像，并说明其特点。

2. 若两个函数的图像都在第一象限，且其中一个是增函数，另一个是减函数，问这两个函数的交点个数可能为多少个？并举例说明。

3. 若函数f(x)在区间[1,3]上是递减函数，且满足f(1)+2f(2)=f(3)，求函数f(x)的解析式。

四、解答题1. 解方程组：{ 2x+y=6{ x-y=22. 解不等式组：{ 2x-y>4{ x+2y<83. 已知函数f(x)=x^2+ax+b，其中a，b为常数，且对于任意实数x，f(x)<0，求a和b的取值范围。

以上为函数与方程的练习题，希望能够对你的学习有所帮助。

如果有需要再提问，祝你学习进步！。

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