(西工大)航天器飞行力学7
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（7.4）
对于给定仰角值 E，覆盖圈上星下点 B相对P点 的经纬度关系可由图7.2球面三角形 得出（即式7.3）
PN P B
co s ψ − sin ϕ sin L θ = arcco s[ ] co s ϕ co s L
ψ
（7.5） 角是卫星可见覆盖圈的角半径，它的二倍是
卫星的最大可观弧段，决定于卫星高度和仰角。
真近点角由求解开普勒方程得出。
卫星的地理经度等于卫星赤经与格林尼治的恒 星时角之差，即
λ = α − [G 0 + ω e (t − t 0 )]
G0 为起始时刻格林威治的恒星时角；
ω e 为地球自旋转速。
卫星的地心纬度与地理纬度的关系，见图7.1。地球为 椭球模型。扁率为
αe
2
地心纬度和地理纬度的转换式为
如图7.2所示。在平面 OPS内，斜距和仰角为：
ρ = [ R + r − 2rRe cosψ ]
2 e 2
2 e 2
1 2
E = arccos[r sinψ / ( R + r − 2rRe cosψ ) ]
1 2
式中
ψ
角为卫星星下点与观察点之间的地心夹角。
由图7.2的球面三角形
P N PB
，有
（7.13）
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 发射窗口
根据空间应用要求和飞行任务，在优选卫星的预定轨道 和运载火箭的弹道之后，卫星制导设计的第一项任务是 制定发射窗口。
定义：满足特定飞行任务的卫星发射时刻的集合。 是一个发射时间区间，即发射的日期、时刻及其时 间区间，在该区间内发射卫星能满足飞行任务的若干特 定要求。
航天器发射的三要素是：发射场位置、发射方位角和发 射时刻。 航天器轨道的高度、椭圆度和倾角，与发射时刻无关， 但轨道平面在空间的方位不仅与发射方位角有关，还决 定于航天器脱离地球表面的时刻。
θ
则点P相对卫星星下点B的地心角为
ψ = a rc c o s [c o s L c o s θ ]
P 点相对卫星的天 底角为
⎡ Re sinψ ⎤ β = arctan ⎢ ⎥ ⎣ r − Re cosψ ⎦
由上两式可得出天 线主轴相对卫星轨 道坐标系的方向。
令
主波束之间的夹角为波束角 γi 。
7.4 遥感图像几何定位
卫星图像：就是从卫星上获取地球的图像。
在遥感卫星上，光学遥感仪器获取地球辐射图像的方式有两种： 点（或线）扫描式和面阵成像式。 在图像上任一像元的图像坐标对应地球表面遥感点的地球坐标，
该遥感点是扫描光视线（或阵列单元的视线）与地球表面的交点。 图像定位：把像元坐标与遥感点的地球坐标一一对应。 由于卫星的轨道运动、仪器的扫描运动和地球自转，图像定位是 空间几何和时序的结合。
从卫星上观察地球的几何是卫星天底角 角距。 由图7.2中三角形 星仰角的关系式
β
定义为卫星相对观察地面点 P 与星下点B之间的
OPS 可得，卫星天底角与卫
r sin β = Re cos E
从图7.2中可得三角关系式
ψ =
=
π
2
−E−β
π
2 = arccos[ Re cos E / r ] − E
⎛ z ⎜ δ = arctan 1 ⎜ ⎜ ( x2 + y2 )2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
或由轨道要素得出赤经和赤纬。由图5.6的直角 球面三角形
NDS ，有
α = Ω+ arctan(tanθ cos i) δ = arcsin(sinθ sin i)
（7.1）
θ =ω + f
是卫星离升交点的角距，
2 i 2 2 e
（7.7）
式（7.6）中，点 P 与点 Pi 之间的弦长 PPi 可由弧长 C 换算得出：
C PPi = 2 Re sin 2
再由图7.3中球面三角形 PN PPi，得上式中弧长的公式：
cos C = sin L sin Li + cos L cos Li cos(θ − θ i )
有如下两种模式描述天线波束服务区，两 者都以天线主轴指向点P为中心点。
等增益圈：对于圆锥形波束，等增益圈对 应等波束角。按式（7.6），由点 Pi ( Li ,θi ) 得波束角 γ i 再令 ；
γi
为定值，由式（7.7）得组合
解 ( L j , θ j ) ，连接成等增益圈。
•等通量密度圈：在地面服务点 Pi 接收星上天线发射 的通量密度和指向该点的波束角
已知像元视线矢量 u
，可得出遥感点P的地球
坐标。令下标 x, y , z 表示矢量在赤道惯性坐标轴 的分量，考虑到地球的扁率，P点的坐标符合椭 球面公式：
P +P
2 x
2 y
a
2 e
P + =1 b
2 z 2 e
引用几何关系式（7.8），上式展开成
(ρux + rx ) + (ρuy + ry )
•例如，若预定轨道的倾角为
90
D
，在春分或秋分日，当地时间
上午或下午6：00点发射航天器，则太阳将垂直照射轨道平面。
•又如，若要求航天器进入另一在轨航天器的轨道平面，则发射时 间的最佳选择应是发射场随地球旋转进入该轨道平面的时刻。
•每一项具体的特定技术要求对应某个发射时刻， •该特定要求的允许范围对应一段发射时刻的区间， 两者俗称为窗口。
地心；
轴指向
yD
轴按右手正交垂直于轨道平面。
由轨道运动参数
r , v 表示的轨道坐标轴方向为
v×r r xD = yD × zD , yD = , zD = − | v×r | r
此坐标轴定义在赤道惯性坐标系，两者转换矩阵可直接 由轨道坐标轴矢量表示为
RDi = [x0 , y0 , z0 ]
T
（7.11）
由仪器在卫星本体上的安装矩阵 最后，由卫星轨道参数确定的轨道坐标与赤道惯性坐标 的转换矩阵
RDi
，计算像元视线的单位矢量，即有
−1 Di −1 −1
u = R A M up
（7.10）
按照卫星轨道坐标系的定义： x D , z D 轴位于轨道平面内
x D 轴朝向速度方向，重直于地心天底方向； zD
第七章 星－地空间几何
7.1 星下点轨迹
卫星星下点是卫星向径与地球表面的交点，用地心经、 纬度表示。 星下点轨迹是卫星星下点在地球表面通过的路径，是 卫星轨道运动和地球自转运动的合成。卫星轨道定义 在赤道惯性坐标系，由卫星的位置坐标可得赤经和赤 纬：
⎛ α = arctan ⎜ ⎝
y⎞ ⎟, x⎠
参见图7.2，令P点为对应某一图像元的地面遥感点，
SP 即为卫星遥感光轴观察P点的视线矢量
ρ
（简称为像元视线矢量），由卫星指向遥感点； 令遥感点在地球坐标的位置矢量为 有空间几何关系。
P
r+ρ = P
（7.8）
卫星的位置矢量定义在赤道惯性坐标系，需在该坐标系 中求解上述几何关系式。 令像元视线矢量在赤道惯性坐标中表示为（略去表示惯 性坐标的下标 i ）
P
，再由地球坐标与惯性坐标的转换
⎡ cos G(t ) sin G(t ) 0⎤ ⎢ ⎥ Rei = ⎢− sin G(t ) cos G(t ) 0⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎣ 0 ⎦
得遥感点P在地球坐标的矢量
Pe = Rei P
由此，和得遥感点P的地理经、纬度：
⎛ Px ⎞ ⎫ λ = arctan ⎜ ⎟ ⎪ ⎜P ⎟ ⎪ ⎝ y ⎠e ⎬ ⎛ Pz ⎞ ⎪ L = arcsin ⎜ ⎟⎪ ⎝ | P | ⎠e ⎭
覆盖圈上各点B的纬度 点子午线的经度
− E − arcsin[ Re cos E / r ]
从式（.7.5），给定观测点的地心纬度L，可得出
θ
ϕ
和相应的相对于 P
。
7.3 通信波束服务区
通信卫星波束覆盖地面的服务区。
在静止轨道上，通信卫星波束覆盖地面的服务区与卫星 天线波束指向角有关。
假定卫星姿态与轨道坐标一致，令天线主轴（波束中心 线）指向地面服务区中心点 P，该点的地心纬度为L， 与卫星定点位置的经度差为 （见图7.3）。
cos ψ = cos L cos ϕ cos θ + sin L sin ϕ
（7.3）
L
为观察点的地心纬度，
θ
为观察点相对卫星星下点子午线的经度。
从地面观察卫星的方位角是在当地水平面内， 卫星方向相对北向的夹角 由图7.2的球面三角形
A
，有方位角公式 P PB N
A = arcsin[sin θ cos ϕ / sinψ ]
tan ϕ = (1 − α e ) tan ϕ ′
7.2 可见覆盖区
•由地面观察卫星的可见范 围。 •地面站覆盖区是以地面观 测点为中心，满足仰角为给 定值，星下点相对点 P 的分 布圈。 •星下点在此圈内的卫星都 为可观。 •可见覆盖区受卫星高度角 （又可称为仰角）的限制， 当地仰角应大于 5 度。 从地面站观察卫星的高度角是 在含观察点、地心和卫星的平 面内，卫星视线方向与观察点 水平面之间的夹角。
γi
与斜距ρ i
有
关，到达地面的通量密度和天线发射功率与该方向的增 益成正比，与指向该点的斜距的平方成反比。 对于圆锥形波束，利用简单的迭代法即可得出地面上等 通量密度服务圈：先在波束中心点P的经度圈上选取与 服务圈的交点，计算该点的通量密度；再按等经度步长 移动该点，根据等通量密度的要求，迭代求得该点的纬 度，以此类推。
2
2
a
2 e
(ρuz + rz )2 + =1 2 be
（7.12）
2 z 2 e
得出像元视线的距离：
其中
−B − B − AC ρ= A
2
A = 1 + du
2 z
C = r + dr − a
2
B = r ⋅ u + drzuz
a −b d= 2 be
2 e
2 e
将 式 （ 7.10 ） ， （ 7.12 ） 代 入 式 （ 7.9 ） ， 再 代 入 式 （7.8），得矢量 矩阵：
P i
为服务区内地面某点，指向该点的波束与
由图7.3中三角形 SPP i ，可得计算波束角的公式
⎡ ρ + ρ − PP γ i = arccos ⎢ 2ρρi ⎢ ⎣
2 2 i
2 i
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
（7.6）
ρ , ρ i 为卫星至点
P , Pi
的斜距。
利用地心角
2 2
ψ
的算式，分别有
2 e
ρ = r + R − 2 rRe cos L cos θ ρ = r + R − 2 rRe cos Li cos θ i
对于地球卫星，限制发射窗口的因素有两类：
•与太阳方向有关的称为阳光窗口， •与空间卫星组网有关的称为平面窗口和相位窗口。
That’s for today 17
ρ = ρ ⋅u
（7.9）
u
为像元视线的单位矢量。
根据像元在图像坐标上的行数和列数，再根据光学仪器 的焦距，可得出像元视线在仪器坐标系的单位矢量 u p （下标 P 表示仪器坐标系）。
M ，得出像元视线在 卫星本体坐标 B 中的单位矢量 u = M−1u B p 再由卫星姿态参数——姿态矩阵 A ，得出像元视线在 卫星轨道坐标 O 的单位矢量 u = A−1u D B
对于给定仰角值 E，覆盖圈上星下点 B相对P点 的经纬度关系可由图7.2球面三角形 得出（即式7.3）
PN P B
co s ψ − sin ϕ sin L θ = arcco s[ ] co s ϕ co s L
ψ
（7.5） 角是卫星可见覆盖圈的角半径，它的二倍是
卫星的最大可观弧段，决定于卫星高度和仰角。
真近点角由求解开普勒方程得出。
卫星的地理经度等于卫星赤经与格林尼治的恒 星时角之差，即
λ = α − [G 0 + ω e (t − t 0 )]
G0 为起始时刻格林威治的恒星时角；
ω e 为地球自旋转速。
卫星的地心纬度与地理纬度的关系，见图7.1。地球为 椭球模型。扁率为
αe
2
地心纬度和地理纬度的转换式为
如图7.2所示。在平面 OPS内，斜距和仰角为：
ρ = [ R + r − 2rRe cosψ ]
2 e 2
2 e 2
1 2
E = arccos[r sinψ / ( R + r − 2rRe cosψ ) ]
1 2
式中
ψ
角为卫星星下点与观察点之间的地心夹角。
由图7.2的球面三角形
P N PB
，有
（7.13）
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 发射窗口
根据空间应用要求和飞行任务，在优选卫星的预定轨道 和运载火箭的弹道之后，卫星制导设计的第一项任务是 制定发射窗口。
定义：满足特定飞行任务的卫星发射时刻的集合。 是一个发射时间区间，即发射的日期、时刻及其时 间区间，在该区间内发射卫星能满足飞行任务的若干特 定要求。
航天器发射的三要素是：发射场位置、发射方位角和发 射时刻。 航天器轨道的高度、椭圆度和倾角，与发射时刻无关， 但轨道平面在空间的方位不仅与发射方位角有关，还决 定于航天器脱离地球表面的时刻。
θ
则点P相对卫星星下点B的地心角为
ψ = a rc c o s [c o s L c o s θ ]
P 点相对卫星的天 底角为
⎡ Re sinψ ⎤ β = arctan ⎢ ⎥ ⎣ r − Re cosψ ⎦
由上两式可得出天 线主轴相对卫星轨 道坐标系的方向。
令
主波束之间的夹角为波束角 γi 。
7.4 遥感图像几何定位
卫星图像：就是从卫星上获取地球的图像。
在遥感卫星上，光学遥感仪器获取地球辐射图像的方式有两种： 点（或线）扫描式和面阵成像式。 在图像上任一像元的图像坐标对应地球表面遥感点的地球坐标，
该遥感点是扫描光视线（或阵列单元的视线）与地球表面的交点。 图像定位：把像元坐标与遥感点的地球坐标一一对应。 由于卫星的轨道运动、仪器的扫描运动和地球自转，图像定位是 空间几何和时序的结合。
从卫星上观察地球的几何是卫星天底角 角距。 由图7.2中三角形 星仰角的关系式
β
定义为卫星相对观察地面点 P 与星下点B之间的
OPS 可得，卫星天底角与卫
r sin β = Re cos E
从图7.2中可得三角关系式
ψ =
=
π
2
−E−β
π
2 = arccos[ Re cos E / r ] − E
⎛ z ⎜ δ = arctan 1 ⎜ ⎜ ( x2 + y2 )2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
或由轨道要素得出赤经和赤纬。由图5.6的直角 球面三角形
NDS ，有
α = Ω+ arctan(tanθ cos i) δ = arcsin(sinθ sin i)
（7.1）
θ =ω + f
是卫星离升交点的角距，
2 i 2 2 e
（7.7）
式（7.6）中，点 P 与点 Pi 之间的弦长 PPi 可由弧长 C 换算得出：
C PPi = 2 Re sin 2
再由图7.3中球面三角形 PN PPi，得上式中弧长的公式：
cos C = sin L sin Li + cos L cos Li cos(θ − θ i )
有如下两种模式描述天线波束服务区，两 者都以天线主轴指向点P为中心点。
等增益圈：对于圆锥形波束，等增益圈对 应等波束角。按式（7.6），由点 Pi ( Li ,θi ) 得波束角 γ i 再令 ；
γi
为定值，由式（7.7）得组合
解 ( L j , θ j ) ，连接成等增益圈。
•等通量密度圈：在地面服务点 Pi 接收星上天线发射 的通量密度和指向该点的波束角
已知像元视线矢量 u
，可得出遥感点P的地球
坐标。令下标 x, y , z 表示矢量在赤道惯性坐标轴 的分量，考虑到地球的扁率，P点的坐标符合椭 球面公式：
P +P
2 x
2 y
a
2 e
P + =1 b
2 z 2 e
引用几何关系式（7.8），上式展开成
(ρux + rx ) + (ρuy + ry )
•例如，若预定轨道的倾角为
90
D
，在春分或秋分日，当地时间
上午或下午6：00点发射航天器，则太阳将垂直照射轨道平面。
•又如，若要求航天器进入另一在轨航天器的轨道平面，则发射时 间的最佳选择应是发射场随地球旋转进入该轨道平面的时刻。
•每一项具体的特定技术要求对应某个发射时刻， •该特定要求的允许范围对应一段发射时刻的区间， 两者俗称为窗口。
地心；
轴指向
yD
轴按右手正交垂直于轨道平面。
由轨道运动参数
r , v 表示的轨道坐标轴方向为
v×r r xD = yD × zD , yD = , zD = − | v×r | r
此坐标轴定义在赤道惯性坐标系，两者转换矩阵可直接 由轨道坐标轴矢量表示为
RDi = [x0 , y0 , z0 ]
T
（7.11）
由仪器在卫星本体上的安装矩阵 最后，由卫星轨道参数确定的轨道坐标与赤道惯性坐标 的转换矩阵
RDi
，计算像元视线的单位矢量，即有
−1 Di −1 −1
u = R A M up
（7.10）
按照卫星轨道坐标系的定义： x D , z D 轴位于轨道平面内
x D 轴朝向速度方向，重直于地心天底方向； zD
第七章 星－地空间几何
7.1 星下点轨迹
卫星星下点是卫星向径与地球表面的交点，用地心经、 纬度表示。 星下点轨迹是卫星星下点在地球表面通过的路径，是 卫星轨道运动和地球自转运动的合成。卫星轨道定义 在赤道惯性坐标系，由卫星的位置坐标可得赤经和赤 纬：
⎛ α = arctan ⎜ ⎝
y⎞ ⎟, x⎠
参见图7.2，令P点为对应某一图像元的地面遥感点，
SP 即为卫星遥感光轴观察P点的视线矢量
ρ
（简称为像元视线矢量），由卫星指向遥感点； 令遥感点在地球坐标的位置矢量为 有空间几何关系。
P
r+ρ = P
（7.8）
卫星的位置矢量定义在赤道惯性坐标系，需在该坐标系 中求解上述几何关系式。 令像元视线矢量在赤道惯性坐标中表示为（略去表示惯 性坐标的下标 i ）
P
，再由地球坐标与惯性坐标的转换
⎡ cos G(t ) sin G(t ) 0⎤ ⎢ ⎥ Rei = ⎢− sin G(t ) cos G(t ) 0⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎣ 0 ⎦
得遥感点P在地球坐标的矢量
Pe = Rei P
由此，和得遥感点P的地理经、纬度：
⎛ Px ⎞ ⎫ λ = arctan ⎜ ⎟ ⎪ ⎜P ⎟ ⎪ ⎝ y ⎠e ⎬ ⎛ Pz ⎞ ⎪ L = arcsin ⎜ ⎟⎪ ⎝ | P | ⎠e ⎭
覆盖圈上各点B的纬度 点子午线的经度
− E − arcsin[ Re cos E / r ]
从式（.7.5），给定观测点的地心纬度L，可得出
θ
ϕ
和相应的相对于 P
。
7.3 通信波束服务区
通信卫星波束覆盖地面的服务区。
在静止轨道上，通信卫星波束覆盖地面的服务区与卫星 天线波束指向角有关。
假定卫星姿态与轨道坐标一致，令天线主轴（波束中心 线）指向地面服务区中心点 P，该点的地心纬度为L， 与卫星定点位置的经度差为 （见图7.3）。
cos ψ = cos L cos ϕ cos θ + sin L sin ϕ
（7.3）
L
为观察点的地心纬度，
θ
为观察点相对卫星星下点子午线的经度。
从地面观察卫星的方位角是在当地水平面内， 卫星方向相对北向的夹角 由图7.2的球面三角形
A
，有方位角公式 P PB N
A = arcsin[sin θ cos ϕ / sinψ ]
tan ϕ = (1 − α e ) tan ϕ ′
7.2 可见覆盖区
•由地面观察卫星的可见范 围。 •地面站覆盖区是以地面观 测点为中心，满足仰角为给 定值，星下点相对点 P 的分 布圈。 •星下点在此圈内的卫星都 为可观。 •可见覆盖区受卫星高度角 （又可称为仰角）的限制， 当地仰角应大于 5 度。 从地面站观察卫星的高度角是 在含观察点、地心和卫星的平 面内，卫星视线方向与观察点 水平面之间的夹角。
γi
与斜距ρ i
有
关，到达地面的通量密度和天线发射功率与该方向的增 益成正比，与指向该点的斜距的平方成反比。 对于圆锥形波束，利用简单的迭代法即可得出地面上等 通量密度服务圈：先在波束中心点P的经度圈上选取与 服务圈的交点，计算该点的通量密度；再按等经度步长 移动该点，根据等通量密度的要求，迭代求得该点的纬 度，以此类推。
2
2
a
2 e
(ρuz + rz )2 + =1 2 be
（7.12）
2 z 2 e
得出像元视线的距离：
其中
−B − B − AC ρ= A
2
A = 1 + du
2 z
C = r + dr − a
2
B = r ⋅ u + drzuz
a −b d= 2 be
2 e
2 e
将 式 （ 7.10 ） ， （ 7.12 ） 代 入 式 （ 7.9 ） ， 再 代 入 式 （7.8），得矢量 矩阵：
P i
为服务区内地面某点，指向该点的波束与
由图7.3中三角形 SPP i ，可得计算波束角的公式
⎡ ρ + ρ − PP γ i = arccos ⎢ 2ρρi ⎢ ⎣
2 2 i
2 i
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
（7.6）
ρ , ρ i 为卫星至点
P , Pi
的斜距。
利用地心角
2 2
ψ
的算式，分别有
2 e
ρ = r + R − 2 rRe cos L cos θ ρ = r + R − 2 rRe cos Li cos θ i
对于地球卫星，限制发射窗口的因素有两类：
•与太阳方向有关的称为阳光窗口， •与空间卫星组网有关的称为平面窗口和相位窗口。
That’s for today 17
ρ = ρ ⋅u
（7.9）
u
为像元视线的单位矢量。
根据像元在图像坐标上的行数和列数，再根据光学仪器 的焦距，可得出像元视线在仪器坐标系的单位矢量 u p （下标 P 表示仪器坐标系）。
M ，得出像元视线在 卫星本体坐标 B 中的单位矢量 u = M−1u B p 再由卫星姿态参数——姿态矩阵 A ，得出像元视线在 卫星轨道坐标 O 的单位矢量 u = A−1u D B