立体几何中的平行与垂直（教学案）

⽴体⼏何中的平⾏与垂直（教学案）
【热⾝训练】
1．设l，m表⽰直线，m是平⾯α内的任意⼀条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成⽴的__________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分⼜不必要”中选填⼀个)．
解析：因为m是平⾯α内的任意⼀条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成⽴；反过来，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成⽴，故“l⊥m”是“l⊥α”成⽴的充要条件．
2．(2017· 盐城⼆模)α，β为两个不同的平⾯，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是__________(填上所有正确命题的序号)．
①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β. 解析：①④
3．如图，平⾏四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使⾯ABD⊥⾯BCD，连结AC，则在四⾯体ABCD的四个⾯中，互相垂直的平⾯有__________对．
4．在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；
②A1C1∥MN；③MN∥平⾯A1B1C1D1；④MN与A1C1异⾯．以上4个结论中，正确结论的序号是__________．
解析：过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平⾯MNP∥平⾯A1C1，所以MN∥平⾯A1B1C1D1，⼜AA1⊥平⾯A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．
【热点追踪】
在⽴体⼏何中，点、线、⾯之间的位置关系，特别是线⾯、⾯⾯的平⾏和垂直关系，是⾼中⽴体⼏何的理论基础，是⾼考命题的热点与重点之⼀，⼀般考查形式为⼩题(位置关系基本定理判定)或解答题(平⾏、垂直位置关系的证明)，难度不⼤．柱、锥、台、球及其简单组合体和平⾯及其基本性质虽然没有单独考查，但作为⽴体⼏何最基本的要素是融⼊在解答题中考查的.
（⼀）利⽤平⾏、垂直的判定定理与性质定理解决位置关系
例1. (2017·南通⼀模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平⾏四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP ＝OC，PA⊥PD.
求证：(1)直线PA∥平⾯BDE；
(2)平⾯BDE⊥平⾯PCD.
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.
因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.
⼜因为PD?平⾯PCD，PC?平⾯PCD，PC∩PD＝P，
所以OE⊥平⾯PCD.
⼜因为OE?平⾯BDE，所以平⾯BDE⊥平⾯PCD.
变式1 (2017·南通三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底⾯ABCD是矩形，平⾯PAD⊥平⾯ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．
求证：(1)MN∥平⾯PAB；
(2)AM⊥平⾯PCD.
解析： (1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，
所以MN∥DC，⼜因为底⾯ABCD是矩形，
所以AB∥DC，所以MN∥AB.
⼜AB?平⾯PAB，MN?平⾯PAB，
所以MN∥平⾯PAB.
变式2 如图，点P为矩形ABCD所在平⾯外⼀点，且PA⊥平⾯ABCD.
(1)求证：BC⊥平⾯PAB；
(2)过CD作⼀平⾯交平⾯PAB于EF，求证：CD∥EF.
解析：(1)因为PA⊥平⾯ABCD，BC?平⾯ABCD，所以PA⊥BC.
在矩形ABCD中，BC⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平⾯PAB.
(2)因为CD∥AB，CD?平⾯PAB，AB?平⾯PAB，所以CD∥平⾯PAB.⼜因为CD ?平⾯CDEF ，平⾯CDEF ∩平⾯PAB＝EF ，所以CD∥EF .
（⼆）借助边、⾓量的计算解决位置关系
例2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.
(1)求证：平⾯A1BC⊥平⾯ACC1A1；
(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平⾯A1CD.
(2)如图，连结AC1交A1C于点O，连结OD.
因为四边形ACC1A1为平⾏四边形，所以O为AC1的中点．
⼜因为D为AB的中点，所以OD∥BC1 .
因为OD?平⾯A1CD，BC1?平⾯A1CD，所以BC1∥平⾯A1CD.
变式1 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC＝2AA1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，点D，E分别为AB，A1C的中点．求证：(1)DE∥平⾯BB1C1C；
(2)BB1⊥平⾯A1BC.
解析：(1)如图，取AC的中点M，连结DM，EM.
因为D为AB的中点，所以DM∥BC.
因为DM?平⾯BB1C1C，BC?平⾯BB1C1C，所以DM∥平⾯BB1C1C. 同理可证EM∥平⾯BB1C1C.
⼜DM∩EM＝M，所以平⾯DEM∥平⾯BB1C1C.
因为DE?平⾯DEM，
所以DE∥平⾯BB1C1C.
变式2
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E＝1
2 AC，
∠ACD＝60°.求证：
(1)BE∥平⾯AC1D；
(2)平⾯ADC1⊥平⾯BCC1B1 .
解析：(1)由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得BC∥B1C1且BC＝B1C1.
因为点D，E分别在边BC，B1C1上，CD＝B1E，所以BD＝C1E且BD∥C1E. 所以四边形BDC1E是平⾏四边形，所以BE∥C1D.
因为C1D?平⾯AC1D，BE?平⾯AC1D，所以BE∥平⾯AC1D.
（三）⽴体⼏何中关于动点位置常见问题的处理
例3. 如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平⾯PAB.已知PA＝AB，D，E分别为PB，BC的中点．
(1)求证：AD⊥平⾯PBC；
(2)若点F在线段AC上，且满⾜AD∥平⾯PEF，求AF
FC
的值．
解析：(1)因为BC⊥平⾯PAB，AD?平⾯PAB，
所以BC⊥AD.
因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB.
因为PB∩BC＝B，所以AD⊥平⾯PBC.
(2)连结DC，交PE于点G，连结F G.
因为AD∥平⾯PEF ，AD?平⾯ADC，平⾯ADC∩平⾯PEF ＝F G，所以AD∥F G. 因为D为PB的中点，E为BC的中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，
△DEG∽△CPG.
所以DG
GC
＝
DE
PC
＝
1
2
.
所以AF
FC
＝
DG
GC
＝
1
2
.
变式1
如图，等边三⾓形ABC与直⾓梯形ABDE所在平⾯垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，
M为AB的中点．
(1)证明：CM⊥DE；
(2)在边AC上找⼀点N，使CD∥平⾯BEN.
解析：(1)因为BC＝AC，M为AB中点，所以CM⊥AB.
⼜平⾯ABC⊥平⾯ABDE，平⾯ABC∩平⾯ABDE＝AB，CM?平⾯ABC，所以CM⊥平⾯ABDE.⼜DE?平⾯ABDE，所以CM⊥DE.
(2)当AN
AC
＝
1
3
时，CD∥平⾯BEN.
如图，连结AD交BE于点K，连结KN.
因为在梯形ABDE中，BD∥AE，BD＝2AE，所以AK
KD
＝
AE
BD
＝
1
2
，则
AK
AD
＝
1
3
.
⼜AN
AC
＝
1
3
，所以KN∥CD.
因为KN?平⾯BEN，CD?平⾯BEN，所以CD∥平⾯BEN. 变式2
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底⾯ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． (1)若PA ＝PD ，求证：平⾯PQB ⊥平⾯PAD ；
(2) 点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平⾯MQB .
(2)当且仅当t ＝1
3时，PA ∥平⾯MQB .
证明如下：
连结AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连结OM .
在△AOQ 与△COB 中，因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB . 所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC ＝AQ CB ＝12，所以AO AC ＝13
.
在△CAP 与△COM 中，当t ＝13时，因为CO CA ＝CM CP ＝2
3，∠ACP ＝∠OCM ，所以
△CAP ∽△COM .
所以∠CPA＝∠CMO，所以AP∥OM.
因为OM?平⾯MQB，PA?平⾯MQB，所以PA∥平⾯MQB.
以上每步可逆．故当PA∥平⾯MQB时可得t＝1
3 .
【乘热打铁】
1．在空间中，⽤a，b，c表⽰三条不同的直线，γ表⽰平⾯，给出下列四个命题：
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．
2．(2009· 江苏卷)设α和β为不重合的两个平⾯，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平⾏于β内的两条直线，则α平⾏于β；
(2)若α外⼀条直线l与α内的⼀条直线平⾏，则l和α平⾏；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有⼀条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充要条件是l与α内的两条直线垂直．
上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．
3．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O 所在的平⾯，点M是线段PB的中点．
有以下四个命题：
(1)MO∥平⾯PAC；
(2)OC⊥平⾯PAC；
(3)平⾯PAC⊥平⾯PBC.
其中正确的是__________(填序号)．
解析：(1)因为MO∥PA，MO?平⾯PAC，PA?平⾯PAC，所以MO∥平⾯PAC；(2)因为PA垂直于圆O所在的平⾯，所以
PA⊥BC.
⼜BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平⾯PAC.
因为空间内过⼀点作已知平⾯的垂线有且只有⼀条，所以OC⊥平⾯PAC不成⽴，
(2)错误；
(3)由(2)知BC⊥平⾯PAC，且BC?平⾯PBC，所以平⾯PAC⊥平⾯PBC.
正确命题的序号是(1)(3)．
4.如图，在正三棱ABC-A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱
CC1上，且EF⊥C1D.求证：
(1)直线A1E∥平⾯ADC1；
(2)直线EF⊥平⾯ADC1.
解析： (1)连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1E∥BD且B1E＝BD，所以四边形B1BDE是平⾏四边形，所以BB1∥DE且BB1＝DE，⼜BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以AA1∥DE且AA1＝DE，所以四边形AA1ED是平⾏四边形，所以
A1E∥AD，⼜因为A1E?平⾯ADC1，AD?平⾯ADC1，所以直线A1E∥平⾯ADC1.。