数学家的观点对数学学习的启示

范文贵
（渤海大学教育学院，辽宁，锦州，121000）
Enlightenment Is Gained From Mathematician’ s Viewpoint About Mathematics Learning
FAN Wen-gui
(Education Department, Bohai University, Liaoning Jinzhou,121000,China) Abstract: We gain much enlightenment from mathematician’s viewpoint about mathematics learning: student should study mathematics problem like mathematician; mathematician study mathematics from problem; experiment and prove are the two stages in which mathematician study mathematics problem; mathematician study mathematics through cooperation with each other; mathematician can also make a mistake, or bring defeat upon him; mathematician study mathematics during dialogue. Mathematician’s viewpoint contributes to we rethink mathematics learning.
Key words: mathematician’s viewpoint, mathematics problem, experiment and prove, cooperation, mistake, dialogue
作者简介：范文贵（1965-），男，辽宁锦州人，渤海大学教育学院教授，博士，硕士研究生导师。

主要研究数学探究学习、数学课程与信息技术整合。

邮编：121000。

基金项目：辽宁省教育厅高等学校科学研究项目：数学课程与信息技术整合的研究（计划编号05w012）。

【摘 要】：数学家的观点为我们提供了许多关于数学学习方面的认识：学生像数学家一样研究数学问题；数学家是从问题开始研究数学；实验和证明是数学家研究问题过程中的两个阶段；数学家在合作中研究数学；数学家也会犯错误，也会失败；数学家在对话交流中研究数学。

数学家观点有助于我们对数学学习的反思。

【关键词】：数学家的观点，数学问题，实验和证明，合作，错误，对话
许多数学教育者呼吁：创造适合学生发展的学习环境，调整学生在学习中的位置，成为数学家式的学生，学生是数学知识的生产者而不是消费者[1]。

我们应该认真反思我们的数学教学过程，数学家的观点为此提供了许多关于数学学习方面的认识，值得我们借鉴。

戴维斯（W.J.Davis）指出，在数学学习中，学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才能有更多的机会取得成功[2]。

针对学生在数学学习中的创造性，贝尔特拉米（Beltrami）提出：学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏。

实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种在无意义劳动掩盖之下的懒惰，这样做除了使人消磨意志之外别无其他作用[3]。

未来的课堂必须给学生提供像数学家那样研究数学的机会[4]。

让学生有机会探索研究数学问题，而不是一味地接受教师传授的数学知识，学生单纯地做数学习题会使他们丧失创造性，剑桥报告（Cambridge Report）指出：连篇的算术练习和重复的“实际生活”问题比没有价值更糟糕，它们阻碍了学习的进展。

我们以为，直到最近还在小学中讲授那种算术，在智力内容上就是如此地贫乏，常见的对该学科的反感，并不是对于困难问题的不幸反抗，这是对于繁琐偏见的完全合理的反应[5]。

同时还需要指出的是，“像数学家一样研究数学问题”并不是要按照“培养一个数学家”那样的高标准要求学生，不过是为了强调通过数学学习培养学生的问题探究能力的重要性，否则就要陷入“精英教育”的怪圈。

我们确实相信：如果我们让学生用有意义的方式学习数学，他们应该学会数学地思维。

数学家要面对数学问题的挑战，他要寻找一种方法，进行多次尝试活动，达到解决问题的目的。

他分析问题，用符号表示它，作出假设，建立联系，探索解决问题的其他可行的方法。

他要尽力对他的问题进行演绎论证，与他的同事讨论这些解决问题的方法，目的在于很好地理解这些问题，这种讨论将促进他们进一步推广这些数学概念。

这些思想也会在学校数学教学中出现。

一、数学家从问题开始研究数学
科学修养的主要标准是能否抓住“重要问题”和是否能想出新的解决方法。

对他们来说，艰深的问题和巧妙的解决方法使杰出的科学区别于仅仅是能干的或者普通的科学[6]。

问题是
数学的心脏，在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要[7]。

P．R．Halmos 认为：一个正确的、问得好的问题就是这场战斗的一半，并且常常是唯一需要灵感的部分。

问题的答案可能是困难的，并且它可能需要机敏地运用已知的技术，但常常是，创造与观察的颤音就集中在问题之中[8]。

我们知道，中山大学朱熹平教授和旅美数学家曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明，解决了世界难题。

但是扪心自问，世界上有多少“猜想”或“问题”是以中国人的名字命名的？中国数学的致命伤是缺乏原创性成果。

国内外数学的差距主要在创新，中国像陈省身、丘成桐等大师那样的原创性成果太少。

能够提出世界难题是创新人才的标志之一，恐怕他才具有摘取菲尔兹奖、沃尔夫奖的实力。

我们独创的东西不够多，开创一个新的领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够多[9]。

中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当大的差距。

如果说我们在技巧上、证明难度上还比较强的话，那么在数学创意、新理论建立、新科学奠基方面，则有很大距离。

如此考虑，也许“推测数学”的提出，正击中我们的弱点[10]。

常见我国数学家解决外国人的猜想，却几乎没有听到中国人有过什么重要猜想。

这一点源于在基础教育中“中国学生提的学术问题很少”[11]。

数学研究不必非得去解答别人提出的问题，我们要多做些原创性的研究，注重整体研究力量的提高。

问题提出不仅有利于促进学生对知识的理解与反思，培养学生发现问题的创造潜能，而且是其终生学习和毕生发展的基础。

教师要有培养学生提出问题的意识。

一位好老师教学生如何解题固然很好，但是如何提高学生学习的兴趣、培养学生学会提出问题更重要。

当学生遇到一个问题，他要学会对这个问题产生一些想法，同时要学会查找一些文献。

提出问题的训练从小的方面来讲就是问老师或同学，从大的方面来讲，就是自己做一些比较起来还没有人“问”过的问题。

一个好的数学研究者跟差的数学研究者相比，往往决定于他问的问题有没有意思，是不是重要的问题。

对学生来讲，问一些自己认为有意思的问题是一个很好的训练。

“正多边形的推广——‘分数’多边形”课例[12]和利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析[13]反映出：只要教师给学生提出问题的时间和机会，学生能够提出一些有价值问题，有一些问题甚至超出教师预料之外，学生沿着自己感兴趣问题继续走下去，探索出自己的研究结果。

这也正体现“数学的本质就在于它的自由[14]。

”
二、实验和证明是数学家研究问题过程中的两个阶段
在日常生活中，要证实某件事情，最普通的办法就是对它进行检验、试验、试探或实验。

实际上，数学差不多也是一样。

许多数学家花费大量时间观察、思考和分析特定的例子，这种方法促进了数学理论的进一步发展，并使我们对于现有理论有更加深入的理解。

高斯声称
（他的笔记可以为证），他获得数学真理的方法是“通过系统的实验”。

事实可能就是如此：大多数重要的数学进展都始于对例子的实验[15]。

数学家总是以推理论证的形式发表论文的，没有也不可能写出他在证明之前所做的大量试探性、试验性的工作。

但是数学家在证明一个定理之前，必须经历大量的具体计算，进行各种试验或检验，才能形成证明的思路和方法。

只有在这个时候，才能在逻辑上进行综合，表达为一系列的推理论证，即证明。

由此可见，“演”中有“算”。

另一方面，“算”中有“演”充分表现在算术和代数中[16]。

因此数学研究中存在着两个阶段：实验和证明。

《实验数学》杂志的创办人、几何学家爱泼斯坦（Epstein，D．）和列维（Levy，Ｓ．）则从词源学的角度考察“证明（prove）”一词含有“尝试”、“试验”和“证实”的意义。

他们说：“英语‘证明（prove）’有两个基本意义，一是尝试或试验，二是证实[17]。

当然，数学中的实验是一种抽象的思想实验，它不同于自然科学中的实物实验；数学实验只是提出猜想和假说的一种方法，它还必须经过逻辑证明，才能使猜想或假说变成定理。

英国数学家、菲尔兹奖获得者M．F．阿蒂亚认为：与其它自然科学的情况一样，数学中的一些发现也要经过几个阶段才能实现，而形式证明只是最后一步。

最初阶段在于鉴别出一些重要的事实，将它们排列成具体含义的模式，并由此提炼出看起来很有道理的定律或公式。

接着，人们用新的经验事实来检验这种公式。

只是到了此时，数学家才开始考虑证明问题[18]。

对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱[19]。

开展数学实验活动激发他们潜在的学习能力，致力于高层次的学习状态。

此时此刻学生的学习不仅仅是记忆定义、定理和公式，而是通过操作实验来建构知识，有效地领会数学知识结构中的思想方法。

学生通过操作实验学习数学，可以获得更多的反馈信息，并且不断地改进他们对数学新知识的理解。

开展数学实验活动可以进一步培养学生动手能力、观察和分析问题的能力，能使学生进入主动探索状态、变被动的接受学习为主动的建构过程，同时培养学生的创新精神、意识和能力。

三、数学家在合作中研究数学
数学中许多研究成果都是众多学者合作的结果，即使是一些个人独立完成的数学成果，这些成绩的取得都是在查询、借鉴、反思前人研究成果的基础上完成的，而且他们的成果的认可也需要经过社会的检验。

数学家L．bers指出：尽管一个数学家感到他在发展其理论时有完全的自由，但是我还是认为数学实际上是人类的集体的努力，是人类理解世界的更一般的努力的一部分。

尽管我们看不到惊奇的事，但是我们还是可以说，数学的任何一个有意义的部分都至少有一个机会被发现是令人愉快和惊奇的[20]。

正是由于整个队伍的集体努力，他们（数学家）才能证明这些定理。

莱斯特弗（Restivo）所说，独立的数学家不可能创造数学，
是数学界（数学研究共同体）创造了数学[21]。

怀尔斯证明费马大定理就是这样的例证[22]。

正如戈德曼（Nicholas Goodman）所描述的：数学定理，不是靠个人内省能够发现的东西，它并不存在于我的脑中，数学理论，像其它科学理论一样是社会的产物。

它的创造与发展是由诸多智慧辨证影响的结果，而不是仅仅靠个人——每一代数学家都反思上一代数学家的数学，把过时的、肤浅的、错误的结果抛弃掉，把丰富的能产生新认识的结果进一步纳入关注的视野当中[23]。

正如牛顿所说：如果我比其他人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上[24]。

这种继承性合作促进了数学的发展。

希尔顿（Peter Hilton）就直言不讳地对数学研究中合作、协商的作用进行了阐述：首先，我得说我确实喜欢这种方法。

我非常喜欢同朋友进行合作。

其次我认为这样做很有效果。

因为如果一个人只是自己单干，那么他就可能会做得筋疲力尽。

但是，如果两个人一起工作，当其中一个人感到情绪低落时，另一个人就会鼓励他。

或者，如果一个人选择的伙伴并不是重复你所做的工作，而是起到一种相互补充作用的话，那么可能会产生一种更好的效果。

达克尼斯（Persi Diaconis）指出：同一位好的合作伙伴一起工作很有效，既刺激又有趣。

我发现在数学领域中，越来越多的人在互相合作。

数学家喜欢互相交谈，因为互动、合作能使一个人的工作超越其平常水平[25]。

数学发展的历史告诉我们，数学家不仅依赖自己的独立思考来研究问题，而且他们也非常注意相互之间合作与集思广益的。

在数学飞跃发展的现代，数学的各个分支向纵深方向发展，每个数学家熟悉的数学知识是非常有限的，而数学家面对的问题往往是综合性的。

因此数学家之间有组织有分工的专题研究合作是弥补自身不足的有效方式，打破自己的习惯思维，互相取长补短，促进数学问题解决。

虽然数学家的合作研究有别于学生的合作研究，但是数学家合作研究的精神激励着学生在合作中探索研究数学。

在数学学习中，学生要继承数学家的研究成果；同时学生若能与志同道合者共同磋商，必然能点燃学生数学思维的火花，迸发出智慧之光，优化数学学习效果。

学生应把数学问题解决看成人类的一种共同的探索研究活动，必须学会以集体通力合作的方式解决问题，也必须学会在各种想法和办法的冲突中做出令人信服的论证。

在“平面上的密铺”课例研究[26]的第一阶段基础上，我们引导学生进行第二阶段的“密铺”：探究两类以上正多边形组合密铺。

由于这个问题比较复杂，我们让学生分组合作探究：最后，经过大家合作探究，发现两类正多边形组合密铺有上述五大类，共8种图形（另文发表）。

一个人的能力是有限的，面对一个复杂问题，单靠一个人或一个小组在短时间内难以完成复杂的探究任务，这就需要我们把它分解，各个小组的学生积极踊跃前来“招标”，经过分工协作，最后大家共同解决它。

合作探究小组采用演讲、谈判、合作与分析等方式促使学生将一些非正式的、具体的探究结果转化为正式的、系统的研究结果。

合作探究的最终成果是依赖于个人或各个合
作小组的“独立”研究成果，它是合作探究的基础，体现学生的个性特征。

合作探究的过程也是比较的过程，比较相互合作中的一致性和差异性，有效解决问题方法来源于探究共同体的争论，最后达成共识。

四、数学家也会犯错误，也会失败
数学知识是可纠正的且永远要接受更正[27]。

概率论专家Doob曾说：在发表的数学学术论文中，平均每2页就有一个非印刷性的错误，不过这些错误绝大部分都可以补正[28]。

甚至有人说：不幸的是，一代人给出的证明在下一代人眼中总是错误的[29]。

数学家哈达玛认为：优秀的数学家常犯错误，但能很快发现并纠正；他还说他本人就比他的学生犯错误更多。

数学家李德伍德概括数学家的成功过程为：数学家的大部分光阴是在挫折失败中度过的。

可见，数学家大多把自己的成就看作是由大量失败的砖石堆积而成的，成就的取得自然是智慧的产物[30]。

N．Bourbaki认为：数学家一直习惯于纠正他们的错误——并且他们看到了，他们的科学因此而丰富了而不是贫瘠了[31]。

数学家比别人看得更远些，那是他因为站在巨人的肩膀上；另一方面数学家站在巨人的肩膀上研究问题时，还要批判性分析巨人（也包括自己的）研究结果的错误。

发现谬误并纠正谬误，对于那些不是初学数学的人（数学家）来说是一种极好的检测手段，它可以检验你是否已经正确而深入地了解数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格地约束在一种顺序之中[32]。

T．J．Fletcher认为：数学并不是从课本中已完成的定理出发，而是始于丰富而又变化的环境。

……（数学家）在得到初步结果之前有一个发现、创造、犯错误、丢弃和承认的阶段[33]。

在证明“四色猜想”的历程中，英国数学家希伍德（Heawood，P.J.）的七页长论文指出了肯普（Kempe，A.B.）证明中的漏洞，虽然如此，希伍德认为：肯普的构想与方法极有价值[34]。

德国生物学家E·海克尔对他的“生物遗传基本规律”所给出的简明说法：“个体发育重复系种发育”，根据这一遗传学原理，学生应该重蹈原始开拓者走过的路程[35]。

数学家所遇到的困难，课堂上的学生同样也会遇到，这种思想对于我们研究学生在课堂教学中探索数学问题具有重要的借鉴和指导作用．因此，通过历史上数学家的错误、困惑、挫折、失败，我们可以预测、诊断和解释学生学习数学概念时可能会犯的错误或遭遇的困惑、挫折和失败。

另一方面，诚如M·克菜因所说，通常的数学课程使学生产生这样的错误印象：数学家们“几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难”；也如Bidwell所说：传统的数学课堂让学生们觉得“数学乃是一切都巳发现好了的”[36]。

实际上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛，可以改变学生对数学的错误看法，让他们明白：数学不过是人类的一种文化活动，数学学习都会遭遇困难、挫折、失误和失败。

在最初的探索阶段上，开始的一些思想，往往是不完善的或者有错谬之处，但却有启发意义；这些思想是在接触实验材料的过程中出现的。

因此，我们改变学生的数学
观，帮助学生树立研究数学的自信心，学会分析数学研究过程中错误，使得学生能够利用解决数学问题中的错误继续研究数学问题。

在学校中，有数百种途径使儿童知道犯错误是不可以的。

因此，他们变得害怕出错，也害怕冒风险去独立地思考。

我们要辨证地对待学生的错误。

特别是在数学探究课上，如果学生合理地冒了一次风险，那么即使其方案仍有改进的余地甚至有错误的地方，也应该对其创造力给予奖励。

对于原始性创新我们要鼓励探索，宽容失败。

一部数学史就是数学家们不断地犯错误，又不断地发现和纠正错误，从而最终找到通向数学科学真理的道路这样一种历史。

数学探索研究的道路就是以错误为铺路石的。

因此，具备勇于犯错误的精神，并善于从错误中学习，是数学研究工作者必须具备的基本素质。

对于学生来说，也是如此。

他们要学会从错误中学习，使得错误不但不会成为前进的障碍，相反倒是科学知识增长最重要的动力之一。

教师要区别对待学生的错误。

教师还可以整理学生的错误，单独地抽出时间利用学生的错误进行教学，引起学生的重视。

从数学教育观念角度看，教师对学生的错误要表现出更为积极的态度，要把这种错误看成是其数学学习历程中的一个阶段，并在此基础上获得数学理解的进一步发展。

当然数学力量的来源还包括在研究中数学家之间的对话交流，这种习惯是在大家能动地分享数学思想和举行研究讨论班中养成的。

教师精心策划的对话意在发现真理，引起学生探究数学问题的兴趣和共鸣。

总之，数学家观点有助于我们对数学学习的反思。

数学家的观点可以被认为是数学家认识数学、改造数学、研究数学、争取“自由”的真实体验,不仅为数学学习理论研究提供了丰富的资料,而且为我们提供了认识和学习数学的思路。

所以,我认为在数学学习中应该重视数学家的观点，让其作为数学文化的载体之一和认识数学的另一途径将会对数学学习有积极的作用。

当然数学家的观点是他们研究数学的个人经验，尚需学生辨证地吸取其合理成分，将其融入他们自己创造性的数学学习中去。

注释：
[1] Paul Ernest(1994).Construsting mathematical knowledge :Epistemology and mathematics education[M]. The Falmer Press.P201．
[2] W．Ｊ．Ｄavis,我们所教的数学就是我们所做的数学吗？[J]数学译林．1997（01）：56-63．
[3][32][美]莫裹兹编著．朱剑英编译．数学家言行录[M]．南京：江苏教育出版社，1998年，第43页，第41页.
[4] Whitin，D.J.& Whitin,P.(2000).Exploring mathematics through talking and writing.In M.J.Burke(Ed.),Learning mathematics for a new century[M].Reston,V A: National Council of Teachers of mathematics,Inc. 213-222.
[5][8] [20] [31] [33]Ｎ．Ｋapur著，王庆人译．数学家谈数学本质[M]．台北：儒邻图书有限公司，1992年２月．第237页，第388页，第54页，第85页．第47页.
[6]哈里特·朱克曼著，周叶谦等译．科学界的精英——美国的诺贝尔奖金获得者[M]．北京：商务印书馆，1993年9月．第176页．
[7]康托尔，光明日报，2002年8月23日B1版．
[9]吴文俊：中国数学期待复兴．《光明日报》2002-08-21．
[10]张奠宙编著．数学教育经纬[M]，南京：江苏教育出版社．2003年9月．第50页．
[11]邱成桐，中国学生提的学术问题很少[N]．《文汇报》2004年6月22日．
[12]邱红松，杨玉东，范文贵，康剑平．“正多边形定义的推广”课例研究[J] ．上海教育科研．2004，（06）：60-63。

．
[13]范文贵.利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析[J].中国电化教育.2003，（04）：34-36
[14] [美]M．克莱茵著，李宏魁译．数学：确定性的丧失[M]．长沙：湖南科学技术出版社，1999年4月，第323页，第105页，第327页．
[15] David Epstein,Silvio Levy.数学的实验和证明[J]．数学译林．1996，（1）：58-63．
[16][17]林夏水著．数学哲学[M]．北京：商务印书馆．2003，第362页，第182页．
[18] M．Ｆ．阿蒂亚．数学与计算机革命[J]．数学译林．1991，（1）：62-67．
[19] [美]M．克莱茵著，李宏魁译．数学：确定性的丧失[M]．长沙：湖南科学技术出版社，1999年4月，第323页，第105页，第327页．
[21] Restivo，S.,Van Bendegem, J.P.,and Fisher,R.(Eds)(1993).Math world:philosophical and social studies of mathematics and mathematics education[M]. Albany: State University of New York Press．
[22]孙宏安．费马大定理及其证明[J]．数学通报，1997（06）：42-47．
[23] Goodman N.(1986). Mathematics as an objective science. In T.Tymoczko(Eds),New directions in the philosophy of mathematics[M].Boston:Birkhauser. pp.79-94 ．
[24] [美]E．T．贝尔著，徐源译．数学精英[M]．北京：商务印书馆，1991年7月．第106页．
[25] Grouws,D.A.(1992):Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M] ,New York : Macmilian Publishing Company.P78．
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[27] Paul Ernest 著，齐建华译．数学教育哲学[M]．上海教育出版社．1997年，第89页．
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[29] [美]M．克莱茵著，李宏魁译．数学：确定性的丧失[M]．长沙：湖南科学技术出版社，1999年4月．第327页．
[30]蒋文彬．数学家的“昨夜星辰”观[J]．中学生理科月刊 1998，（12）：13-15．
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[35] [美]G·波利亚著．刘远图秦璋译．数学的发现（第二卷）[M]．北京：科学出版社．1987年．第528页．
[36]汪晓勤，苏英俊．数学家也会犯错误[J]．中学数学教学参考 ． 2004，(03):63-64．。