辽宁省大连市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(扫描版)

2019年大连市高三第一次模拟考试
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1. D
2. A
3. A
4. B
5. C
6. B
7. D 8. C 9. A 10. B 11. D 12. C 二、填空题
13. 8 14. 2 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由正弦定理得：
所以，
，………………………………3分
所以
所以………………………………………………6分
（Ⅱ）设
，则，所以
解得： 所以
………………………………………12分
18. 解：（I ）估计第一车间生产时间小于75min 的人数为（人）……..2分
估计第二车间生产时间小于75min 的人数为
（人）…………………………………………………….4分
（II）第一车间生产时间平均值约为
（min）…………………………………….5分
第二车间生产时间平均值约为
（min）…………………………..6分
∵，∴第二车间工人生产效率更高………………………………………..8分
（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人.
抽取2人基本事件空间为{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件，……………………………………………..9分
设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，
则事件={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件…………………………………………………10分
∴…………………………………………………………………………12分
19. （I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，
，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，
∴在等腰中，
∴即，∴，…2分
翻折后可得：，又，，，
……4分
，；………5分
（II）设点C到平面PAB的距离为d，
由题意得，时，四棱锥P-ABCE体积最大，………6分
，，，
，……………………………………7分
……………………8分
，……………10分
…………………………12分
20．解：（I），，又，且，
，，因此椭圆C的方程为.……………4分
（II）法一：设，，，，
直线：……①
直线：……②
由①，②解得：，又，，……………8分
四边形的面积，……………10分
，当时，的最大值为.………………………12分
法二：设直线：，则直线：……①
直线与椭圆C：的交点M的坐标为，……6分
则直线的斜率为，
直线：……②
由①，②解得N点的横坐标为，…………………………8分
四边形的面积
，……………………………………………………………………………………10分
当且仅当时，取得最大值.………………………………12分
21.解：(Ⅰ)……………………………………………………1分
∵，∴当时，取最大值，∴，
∵，∴……………………………………………………………………2分
∴此时，在上，，单调递减，在上，
，单调递增，∴的极小值点为，无极大值点. …………4分
（Ⅱ）∵其中且，
∴在上，，单调递减，在上，，单调递增，
∴………………………………………………………………6分
∵关于的不等式有解，∴，∵，∴………7分
令，∴，………………………………………9分
在上，，单调递增，在上，，单调递减，∴，………………………………………………………………………10分
∴等价于且
∴的取值范围是且.………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）直线的参数方程为，
即（为参数）………………………………………2分
设,
,即，即，
所以.……………………………………………5分
（Ⅱ）将的参数方程代入的直角坐标方程中，
……………………………7分
即,为方程的两个根，所以，………………9分
所以.…………………………………………10分
23.解：（Ⅰ）①当时，………1分
②当时，………………2分
③当时，………………3分
综上：的解集为……………………………5分
（II）法一：由（I）可
知
，
即………………………………………………………………………6分
又
且
，则
，设
，
，，
，，
同理：，，
，……8分
，
，即，……9分当且仅当时，取得最大值.……………………10分
法二：由（I ）可知，
即……………………………………………………6分
且，
………………………………………………………………………………9分
当且仅当时，取得最大值.……………………10分
法三：由（I）可知，
即…………………………………………6分
，…………7分由柯西不等式可知
即………………………………9分
当且仅当，
即时，取得最大值.………………………………10分。