(北师大版)南京市高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合
D ．关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
2．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为
（ ） A ．
14
B ．
33
4
- C ．
23
4
- D ．
13
3．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2
ρ的最大值为（ ） A ．
72
B ．4
C ．
92 D ．5
4．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ） A ．23x x
y y
''=⎧⎨
=⎩ B ．32x x
y y ''=⎧⎨
=⎩
C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
D ．1
213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
5．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
之间的距离为（ ） A ．2 B ．22
C ．32
D ．
32
2
6．以π-2,
4⎛⎫
⎪⎝
⎭
为圆心，半径为2圆的极坐标方程为（ ） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)
D ．ρ=2(sin θ+cosθ)
7．极坐标方程cos ρθ=与1
cos 2
ρθ=
的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是
A ．(1,)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3
π
)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（ ）
A ．(1,3
B ．()36
π
C ．3π⎫⎪⎪⎝⎭，
D ．2⎛ ⎝⎭
10．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，曲线2C 的方程为
sin 43πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

设,A B 分别是12,C C 上的动点，则AB 的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．3
11．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'5'3x x
y y =⎧⎨=⎩
后，曲线C 变为曲线
22281x y '+'=，则曲线C 的方程为
A ．50x 2＋72y 2＝1
B ．9x 2＋100y 2＝1
C ．10x 2＋24y 2＝1
D ．
225x 2＋89
y 2
＝1 12．极坐标方程2
4sin 52
θ
ρ=表示的曲线是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
二、填空题
13．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．
14．已知椭圆C 的参数方程是5cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ为参数，02θπ≤≤)，则其右焦点坐标是
__________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θ
θ=+⎧⎨
=⎩
(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin 42
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.
16．两条直线sin 20164πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，sin 20174πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
的位置关系是_______
17．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为3sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为___.
18．在极坐标系中，点(2,)3
π
到直线(cos )6ρθθ=的距离为_________．
19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

20．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,
)2
π
，半径为5，直线
(,)2
r π
θαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参
数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为
sin 13πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6
MON π
∠=
，求面积
MON ∆的最大值.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩ (α为参数)；以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若把曲线1C 1
2
，得到曲线3C ，求曲线3C 的方程；
(3)设P 为曲线3C 上的动点，求点P 到曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.
23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y t =-⎧⎨=-+⎩
（t 为参数），在以直角
坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
22sin cos θ
ρθ
=
． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积．
24．已知：在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2
221(21x t t t y t ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C 的极坐标方程．
25．在直角坐标系xOy 中，已知曲线22
1:(1)1C x y -+=以坐标原点O 为极点，以x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为2cos()6
π
ρθ-=
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）已知点(4,0)M ，直线l 的极坐标方程为3
π
θ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与
曲线2C 的交点为Q ，求MPQ 的面积.
26．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，
圆C
的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P
的坐标为(，求PA PB +.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与
(),ρπθ--的位置关系.
【详解】
解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选：A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.
2．B
解析：B 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
πθ=
与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3
πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式
121sin 23S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】 设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3
πθ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即22112ρρ+=，得21ρ=. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)
1211
sin 11232
S πρρ=
=⨯⨯=
故选B. 【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
将2
2
3cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为2
2x
y + 的最大
值。

【详解】
223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得
22332y x x =-，则()2222211919
369(3)22222
x y x x x x x +=-+=--++=--+.由
223
302
y x x =-，可得02x ，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4．
故选B 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

4．A
解析：A 【解析】 【分析】
设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】
由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧
=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
代入直线1x y -=的方程，可得11
1x y a b
''-=， 要使得直线11
1x y a b
''-=和直线326x y -=的方程一致， 则
112a =且11
3
b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
先化,P Q 两点的球坐标化为直角坐标，再利用两点间距离公式求解 【详解】
将,P Q
两点的球坐标化为直角坐标，得,,442442P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭
，
所以||PQ ==故选：C
【点睛】
本题考查球坐标与直角坐标的转化，考查距离公式，是基础题
6．C
解析：C 【解析】
分析：先求出圆心的直角坐标，再写出圆的直角坐标方程，最后把直角坐标方程化为极坐标方程得解.
详解：由题得cos 1,sin
1,4
4
x y π
π
==-==-所以点的直角坐标为（-1，-
1），
所以圆的方程为22
(1)(1)2x y +++=，
所以2
2
2
220,2cos 2sin 0x y x y ρρθρθ+++=∴++=， 所以2cos 2sin ρθθ=--，故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.(2)求极坐标方程，一般先求出直角坐标方程，再化成极坐标方程.
7．B
解析：B 【解析】
分析：先化为直角坐标方程，再根据方程判断选项.
详解：因为cos ρθ=，所以2222
11,(),24
x y x x y +=-+=
因为1
cos 2ρθ=，所以12
x = 因此选B.
点睛：研究极坐标方程的性质，往往先化直角坐标方程，再根据直角坐标方程研究对应曲线性质.
8．B
解析：B 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1），
则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝
⎭，故选B.
考点：直角坐标与极坐标的互化.
9．B
解析：B 【分析】
先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标 【详解】
由cos 13πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭可得：1cos sin 12ρθρθ+
=
∴曲线C 的直角坐标方程为1122
x y +=，即20x -=
故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()200⎛ ⎝⎭，，
∴点P 坐标为1⎛ ⎝⎭
则极坐标为36P π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 故选B 【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础．
10．A
解析：A 【解析】
分析：先根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
详解：由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，
可得曲线221:0C x y y +-=，表示以1
)2
为圆心，以1为半径的圆，
曲线2C 80y +-=，
则圆心到直线的距离为
3
d =
=，所以AB 的最小值为2，故选A.
点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用问题，其中熟记直角坐标与极坐标的互化公式和合理的转化圆的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
11．A
【解析】
将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将'5'3x x
y y
=⎧⎨=⎩直接代入2x ′2＋8y ′2＝1，
得2·(5x )2＋8(3y )2＝1，则50x 2＋72y 2＝1即所求曲线C 的方程．故选A ． 12．D
解析：D 【分析】
分析：本题先用半角公式进行降次化简，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，将方程化成直角坐标方程，根据方程判断曲线的形状，可得结论. 详解：
极坐标方程2
4sin
52
θ
ρ=，
1cos 452
θ
ρ-∴⨯
=，22cos 5ρρθ∴-=， cos x x
ρρθ⎧⎪=⎨
=⎪⎩25x ∴=， 225
54
y x ∴=+
， 极坐标方程为2
4sin
52
θ
ρ=曲线为抛物线，故选D.
点睛：本题考查的是极坐标与直角坐标的关系，三角函数的半角公式，属于中档题. 利用关
系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪⎨=⎪
⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一
般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 二、填空题
13．【分析】先求公共点的极坐标再根据极径含义得结果【详解】（负舍）故答案为：【点睛】本题考查公共点的极坐标以及极径含义考查基本分析求解能力属基础题 解析：1【分析】
先求公共点的极坐标，再根据极径含义得结果. 【详解】
sin
2ρθ=+,sin 2ρθ=,2
21
ρρρ
=
+∴=+（负舍）
故答案为：1
本题考查公共点的极坐标以及极径含义，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．【分析】根据题意将椭圆的参数方程变形为普通方程可得其标准方程为：据此分析可得椭圆的焦点位置以及的值即可得答案【详解】解：根据题意椭圆的参数方程为(为参数)则其标准方程为：则椭圆的焦点在轴上且则的右焦 解析：()4,0
【分析】
根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，可得其标准方程为：22
1259
x y +=，据此分
析可得椭圆的焦点位置以及c 的值，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，椭圆C 的参数方程为5cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
(θ为参数，02θπ≤≤)， 则其标准方程为：22
1259
x y +=，
则椭圆C 的焦点在x 轴上，且4==c ，
则C 的右焦点坐标为()4,0； 故答案为：()4,0 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程以及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的普通方程．
15．【解析】【分析】首先将参数方程化为普通方程将极坐标方程化为直角坐标方程然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程解方程即可确定a 的值【详解】圆C 的参数方程为(为参数)化为普通方程：直线l 的极
解析：1-【解析】 【分析】
首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】 圆C 的参数方程为cos sin x a y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩,(θ为参数)，
化为普通方程：()2
21x a y -+=.
直线l 的极坐标方程为sin 42
πρθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭，
展开可得：
()sin cos 22
ρθθ-=
， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.
∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，
1
=,解得1a =-±
故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．垂直【解析】分析：先把两条直线的极坐标方程化为直角坐标方程再判断它们的位置关系详解：两直线方程可化为x+y=20101由于故答案为：垂直点睛：：(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化意在考
解析：垂直 【解析】
分析：先把两条直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再判断它们的位置关系.
详解：两直线方程可化为x+y=2 01y x 2?-=01 由于12
1k k ，故两条直线垂直.故答案为：垂直.
点睛：：(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答极坐标的问题，通常先把所有的条件化成直角坐标再解答.
17．【分析】转化为由于即可得解【详解】又由于即故答案为：【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化考查了学生概念理解转化划归的能力属于基础题
解析：2
2
3924x y ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
【分析】
转化3sin ρθ=为23sin ρρθ=，由于cos ,sin x y ρθρθ==，即可得解. 【详解】
23sin 3sin ρθρρθ=∴=
又由于cos ,sin x y ρθρθ==
2
2
3x y y ∴+=即2
2
3924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭
故答案为：2
23924x y ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础
题.
18．1【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系可得点直线由点到直线的距离公式可得应填答案
解析：1 【解析】
由极坐标与直角坐标的互化关系cos ,sin x y ρθρθ==可得点P ，直线
60x +
-=，由点到直线的距离公式可得1
d =
=，应填答案1． 19．【解析】因为所以所以交点的极坐标为
解析：3
)4
π
【解析】
因为0,02ρθπ>≤<，所以sin 0[0,π]θθ>⇒∈
3π3π
2sin cos 1sin 212,,24
θθθθθρ=-⇒=-⇒===，所以交点的极坐标为3
4π⎫⎪⎭
20．【解析】设圆C 上任一点坐标为P （ρθ）圆心C （6）圆的半径r=5所以|PC|==5化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0即为圆C 的极坐标方程把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11= 解析：
23
π
【解析】
设圆C 上任一点坐标为P （ρ，θ），圆心C （6，2
π
），圆的半径r=5，
所以，
化简得：ρ2﹣12ρsinθ+11=0，即为圆C 的极坐标方程， 把直线θ=α代入圆C 的方程得：ρ2﹣12ρsinα+11=0， 设直线与圆交于（ρ1，α1）（ρ2，α2）， 根据韦达定理得：ρ1+ρ2=12sinα，ρ1ρ2=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ1﹣ρ2
==8，即（12sinα）2=64+44， 化简得：sin 2α=
34
，
解得sinα=2
，又α∈（,2ππ），
则α=
23
π
． 故答案为
23
π． 三、解答题
21．（1）4sin 3πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
； （2）2+. 【分析】
（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r
的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6
π
θ+
），（ρ1＞0，ρ2＞0），由
1
26MON
S
OM ON sin π=
=2sin （23
πθ+）△MON 面积的最大值． 【详解】
（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，
曲线C 是圆心为
)
，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：
2r =
=；
可知曲线C 的方程为(()2
2
14x y -+-=，
∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，
即4sin 3πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
，()120,0ρρ>>
21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛
⎫=
==++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin22sin 23πθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
当12
π
θ=
时，2MON S ∆≤
MON ∴∆
面积的最大值为2.
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（1）22
14y x +=，100x y +-=；（2）2
213
x y +=；（3）31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
分析：（Ⅰ）直接消参得到直角坐标方程，利用极坐标公式把极坐标化成直角坐标方程.( Ⅱ)利用伸缩变换公式求曲线3C 的方程.( Ⅲ)
设椭圆上的点)
,sin P
αα,再求d 的
表达式，最后利用三角函数的图像性质求点P 到曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时点
P 的坐标.
详解：（Ⅰ）由曲线1C ：2x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）得2x cos y sin α
α=⎧⎪
⎨=⎪⎩（α为参数）,
∴2
2
22y
x cos αsin α14
+=+=，
即2
2
14
y x +=为曲线1C 的普通方程.
由曲线2C
πρsin θ4⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
cos 22ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
∴100x y +-=即为2C 的直角坐标方程.
（Ⅱ）依题意，设()','x y 是曲线3C 上任意一点，对应曲线1C 上的点为(),x y ，
则有'1'2x y y
⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
∴
'2'x x y y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
. ∵1C : 2
2
y
x 14
+=，∴
22x'y'13+=. 即所求曲线3C 的方程为2
2x y 13
+=.
（Ⅲ）易知，椭圆3C 与直线2C
无公共点，设椭圆上的点)
,sin P αα，
从而点P 到直线100x y +-=的距离为
d =
=
53πα⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
∴当sin 13πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
时，min d =
此时cos α=
，1sin α2=，∴点P 的坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.
点睛：（1）本题主要考查极坐标方程、普通方程和参数方程的互化，考查伸缩变换，考查曲线参数方程的应用,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)对于第（Ⅲ）问，上面
的解答是效率比较高的一种，关键是利用参数方程设点，设椭圆上的点
)
,sin P
αα，优化了解题.这个技巧要注意运用.
23．(1)22y x y 10x =+-=，
【解析】
试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即得到曲线C 的直角坐标方程； 由直线l 的参数方程，消去参数，即可得到直线l 的普通方程；
（2
）把直线的参数方程代入曲线的方程，得到12t t +=1212⋅=t t ，利用弦长公式，得到AB 的长，再利用点到直线的距离公式求的原点到直线的距离，即可求解三角形的面积． 试题
（1）由曲线C 的极坐标方程为2
2sin cos θρθ
=
，得22
cos 2sin ρθρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程是2
2x y =． 由直线l 的参数方程为21x t
y t =-⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数），得直线l 的普通方程
10x y +-=．·······6分
（2）由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t
为参数），得21x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），
代入2
2x y =
，得2120t -+=， 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
则12t t +=1212t t ⋅=， 所以
12AB t t =-=
=
=
因为原点到直线10x y +-=
的距离2
d =
=
，
所以
11
·
222
AOB
S AB d
==⨯=
24．ρ=2cosθ（ρ＞0）
【解析】
试题分析：
消去参数t可得曲线C的普通方程，从而知曲线是圆，且圆心为(1,0)，半径为1，由此可得曲线C的极坐标方程，也可直直角坐标方程为用
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
代入得极坐标方程．
试题
∵
2
2
2
1
2
1
x
t
t
y
t
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
，∴由t2≥0，可得0＜x≤2，
将参数方程中的两式相除，可得得
y
t
x
=，
将
y
t
x
=代入
2
2
1
x
t
=
+
，化简可得x2+y2﹣2x=0（x＞0）…①，
表示以（1，0）为圆心，半径r=1的圆．
又∵极坐标中x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴将（ρcosθ，ρsinθ）代入①，得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρcosθ=0，
化简得ρ=2cosθ（ρ＞0），即为曲线C的极坐标方程．
25．（1）2cos
ρθ
=；（2
）
【分析】
（1）运用公式直接将曲线1
C普通方程化为极坐标方程即可；
（2）将直线l的极坐标方程分别代入曲线1C与曲线2C的极坐标方程，求出P Q
、两点的极径，得到PQ长度，再由点()
4,0
M坐标，求出MPQ的高，从而可求出MPQ的面积.
【详解】
（1）由题意知，曲线1
C的普通方程为22
(1)1
x y
-+=，
将cos sin
x y
ρθρθ
==
，代入，化简得，曲线
1
C的极坐标方程为2cos
ρθ
=；
（2）设点P，Q的极坐标分别为()()
1122
,,,
ρθρθ，
则由1
11
3
2cos
π
θ
ρθ
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，可得P的极坐标为1,
3
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
由22232cos 6πθπρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩
Q 的极坐标为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∵12θθ=，∴12||2PQ ρρ=
-=，
又M 到直线l
的距离为
1
22
MPQ
S
∴=
⨯= 【点睛】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的弦长问题，熟记公式即可，考查学生的运算求解能力. 26．（1
）(2
2
5x y +-=（2
）PA PB +=【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可.
（2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于t 的一元二次方程.根据参数方程的几何意义，即可求得PA PB +. 【详解】
（1
）由ρθ=，
等式两边同时乘以ρ
，可得2sin ρθ=.
∴22x y +=，
即(2
2
5x y +=.
（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程.
得22
3522t ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，即240t -+=.
由于(2
4420∆=--⨯=>，
故可设1t ，2t
是方程240t -+=的两实根，
所以1212
4t t t t ⎧+=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 又直线l
过点(P ，
故由上式及t
的几何意义得1212t t t t PA PB +=+=+= 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属
于中档题.。