曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用[开题报告]

毕业论文开题报告
数学与应用数学
曲线积分与曲面积分的计算技巧和物理应用
一、选题的背景、意义
极限和微积分的概念可以追溯到古代。

到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的准备工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。

直到十九世纪，柯西和维斯特拉斯建立了极限理论，康尔托等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化，微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧式几何后，全部数学中的最大的一个创造。

公园前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲面的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，记有“一尺之棰，割之又割，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别
在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

他们最大的功绩是把两个毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家威尔斯特拉斯进一步的严格化，使得极限理论成为了微积分的坚实基础。

才使微积分进一步地发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。

在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅克布、法国的拉格朗日、柯西等。

欧式几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。

微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分在一百多年前已经奠定，内容非常成熟。

传统的讲述方法只注重数学上的严格与精确，而忽略了物理直观和几何直观，从而导致计算繁琐，不易理解与掌握。

事实上，在微积分的学习中，对概念的直观理解与计算是同等重要的，只有突出物理意义与几何直观，才能将各种实际问题迅速转化成数学问题，用微积分的知识加以解决。

因此在21世纪的今天，对微积分的学习，尤其是多元微积分的学习，必须加以改进。

本文主要介绍微积分发展成熟阶段而形成的曲线积分和曲面积分的概念，曲线积分和曲面积分是积分学中的难点，但体现的都是积分学分割，求和，求极限的思想。

二、相关研究的最新成果及动态分析
微元法是分析、解决积分应用问题的有力工具，也是从部分到整体的思维方法。

用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。

在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理。

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

微元法就是在处理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法，这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，是对某事物作整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法。

微元法是应用科学工作人员和工程技术人员喜欢使用的一种方法，选取微元时所遵从的
基本原则是：
1，可加性原则：由于所选取的“微元”最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”及相应的量的最基本的要求是：应该具备“可加性”特征；
2，有序性原则：为了保证所取的“微元”在叠加域内能够比较方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”；
3.平权性原则：叠加演算实际上是一种复杂的“加权叠加”。

对于一般的“权函数”来说，这种叠加演算极为复杂，但如果“权函数”具备了“平权性”特征就会蜕化为极为简单的形式。

在微元法的基础上，可用二重积分计算曲顶柱体体积和曲顶面的面积，可用曲线积分来求柱面侧面积。

微元法在处理各类积分的应用问题中是一脉相通的，熟练掌握这种方法，对提高有关曲线积分和曲面积分的应用问题的计算能力是有益的。

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标
（一）研究方法
分别给出第一型曲线积分，第二型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲面积分的定义，并介绍这些积分的不同物理意义，接着，通过一些例子讲解曲线积分和曲面积分的各种计算方法，介绍线面积分之间进行转化的格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，使得线面积分得以转化进而简化计算，最后，运用曲线积分和曲面积分计算相应的实际物理问题。

（二）难点
两类曲面积分的计算较曲线积分的计算难，高斯公式和斯托克斯公式也较难理解，而且在计算不同积分能够熟练地运用最简便的方法得出结果也是一个难点。

（三）预期目标
能够理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，在此基础上，掌握计算两类曲线积分的方法。

能够熟练掌握格林公式，并会用平面曲线积分与路径无关的条件。

了解两类曲面积分的概念及高斯公式和斯托克思公式并会计算两类曲面积分。

在对曲线积分和曲面积分的概念有了充分的理解并已熟练掌握计算方法后，会用曲线
积分及曲面积分求一些几何量与物理量，比如应用第一型曲线积分求曲线形构件的质量，用第二型曲线积分计算变力对质点所作的功，用第一型曲面积分求曲面质量，用第二型曲面积分求流体通过有向曲面的流量等。

四、论文详细工作进度和安排
1．根据老师指导收集资料完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料.
（10～11学年第一学期第8周至第9周）
2.精读文献，完成文献综述.
（10～11学年第一学期第10周至第11周）
3.通过老师指导，完成开题报告.
（10～11学年第一学期第12周至第13周）
4.研读外文文献，完成外文翻译.
（10～11学年第一学期第14周至第15周）
5.按照指导老师要求进一步完善论文的资料、数据收集，精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲.
（10～11学年第二学期第1周至第2周）
6.完成论文初稿撰写工作.
（10～11学年第二学期第3周至第8周）
7.审阅论文初稿，根据指导老师指导意见对论文进行反复修改.
（10～11学年第二学期第9周至第10周）
8.对论文进行完善，最后定稿.
（09～10学年第二学期第11周至第12周）
五、主要参考文献
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