1-1 极限

(2) 单调性
定义：设函数
y f ( x ) , x [ a, b]
x1 , x2 ( a, b ), 且 x1 x2
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x ).
在 [a, b] 上的单调增函数 ;
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f (x)
A A A
几何解释:
y
y f (x)
x0 x0 x
左极限与右极限
左极限 :
f ( x0 ) f x0 0 lim f ( x) A
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
x x0
右极限 :
f ( x0 ) f x0 0 lim f ( x) A
0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有 xn A
则称该数列 x n 的极限为 A , 即
lim xn A
n
注意：1．不等式 xn A 刻画了 xn 与 A 的无限接近； 2．N 与任意给定的正数ε有关.
几何解释 :
(
a xn a
lim f ( x)
2、自变量趋于有限值时函数的极限 定义2 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A 则称常数 A 为函数
x x0
当
时的极限, 记作
lim f ( x) A 或
周期为
周期为
6、基本初等函数 (1) 幂函数
yx

（ 为实数）
此函数的定义域要由 来确定。
y y
1 x2 , 1 x 2,
y
x [0,) x (0,)
1 y x
yx
2
yx
(1,1)
y x
1
o
1
x
基本初等函数图形教学演示实验
(2) 指数函数
ya
x
a 0, a 1
x k
k 0, 1 ,2
y cot x
机动
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结束
正割函数
y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
常用的三角函数的公式
sin x cos x 1
2 2
sin 2 x 2 sin x cos x
1 cos 2 x cos x 2
观察可见： xn 的变化趋势只有两种： 不是无限地接近 某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。 由此， 得到数列极限的初步定义如下： 数列极限教学演示实验
数列极限的描述性定义 若当 n 时，一般项 无限地接近于 某个确定的常数 A, 则称 A 为数列 的极限， 记作： lim xn A 或 xn A (n )
在 [a, b] 上的单调减函数 .
x1 x 2 x
单增和单减函数统称为单调函数。
(3) 奇偶性 定义 设函数 y f (x) 在对称区间 [ a, a ] 上有定义。 ： 且满足 x [a, a] 若 则称 f (x) 为偶函数;
y
其图形对称于 y 轴。
若
则称 f (x) 为奇函数. x o
1 y 2
x
它的定义域是整个实数 x , .
ye
x
y
y 10 x
e 2.7182818
0
y2x
0,1
x
(3) 对数函数
y ln x
1 y 2
x
y log a x (a 0, a 1) x 0, . x
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
如， 都有水平渐近线 y 1.
例如：f x arctan x
y
y

2
x
lim arctan x

2
x
lim arctan x

2
0
x
y

2
x
lim f ( x) A
x
A f ( x) A
y f (x)
X
A
X
o
x
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线
x
两种特殊情况 （单边极限） : 0 , X 0 , 当 lim f ( x) A
时, 有
f ( x) A
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
xx
其图形对称于原点。
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
为奇函数时, 必有 f (0) 0.
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
n 1
1 1 2n 1 xn 2 2 n n n 由 1 1 n n 1 取 只要 n 100 N 100 即从101 项起以后的所有点 x101, x102 , x103 xn 1 1 xn 2 即有 与 2 的距离小于 100 100 1 取 只要 n 10000 N 10000 即从10001 项起以后的所有点 x10001, x10002 , xn 1 1 与 2 的距离小于 即有 xn 2 10000 10000
n 1
n 1
二、函数的极限
类似数列的极限，也可以考虑函数
定义2 （函数极限的描述性定义）
的极限。
若 x ax , 时，函数 无限接近, 则称 A 是函数 的极限，记作
( x )
与某个常数 A 在
lim f ( x) A 或 x a
函数
f ( x) A ( x a )
2
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 1 1 2 sin 2 x
1 cos 2 x sin x 2
2
1 tan x sec x
2 2
1 cot 2 x csc 2 x
sin x y sin x cos y cos x sin y cos x y cos x cos y sin x sin y
(n N )
xN 1
x1 a x N 1 a x N 2
举例说明
a x2
)
当 n > N 时, 总有
2n 1 数列，当 n 无限增大时 xn 与 2的距离. xn n n 1 2n 1 lim 2 n n 0 欲使 1 n1 1 2n 1n1 xn 2 2 n n n
在 [ a, b ] 内为有界函数.
x [a, b] M 0 , 恒有
则称 否则称
f (x) f (x)

f ( x) M
M f x M
在 [ a, b ] 内为无界函数. y
yM
有界函数必介于直线
y M 与 y M 之间。
a
0
b
y M
x
说明: 还可定义有上界、有下界、无界
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。 刘徽
用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽割圆术教学演示实验
2. 截丈问题
一尺之棰，日截其半，万世不竭。
n 天后截丈总长
1 1 1 1 2 n 1 n 2 2 2 2
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
(
)
x
左 邻域 :
右 邻域 :
4、函数
y f ( x) , x D
因变量
函数的两要素: • 定义域 • 对应规律 自变量 定义域
5、函数的几种特性 (1) 有界性 定义：设函数
任意给定 总是存在
f ( x) M ,
y f ( x) , x [ a, b]
a a a a
b b b
x x x x
闭区间 [ a , b ] x a x b 半开区间 无限区间
2、绝对值
a a 0 a a a a 0
2
x a a x a
a0
x
x a x a 或 x a
x a
0
x a x
数轴上点 x 到点 a 的距离为 x a
(5) 反三角函数
反正弦函数
y arcsin x
x [1,1]
y arcsin x
反余弦函数
y arccos x
x [1,1]
y arccos x
反正切函数
y arctan x x ,
y
y

2
0
x
y

2
反余切函数
y arc cot x
从现在开始角度用 x 表示
c 1 csc a sin
y sin x x ,
y cos x x ,
y tan x
x , x k

2
k 0, 1 ,2
y tan x
y cot x
x ,
第一章 微积分大意
§1 极 限
§2 积 分 §3 导 数 §4 无穷级数
基本初等函数图形教学演示实验
补充内容 1、区间 定义： 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点）
而那两个定数（点）称为这个区间的端点。 称为区间。
以 a, b 为端点的区间： 开区间 ( a , b ) x
a x b
3、邻域 往往要在 x = a 点处研究某个 用微积分讨论问题时， 性质。 但是又不能孤立地从 a 点着手， 必须从 a 点附近 全面地看才能收效。 邻域：以 a 为中心，δ（>0)为半径的一个开区间，
( a , a ) 称为点 a 的 δ 邻域。记为
a a a
去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
y 10
y
y2x
yx
y log 2 x
y lg x
0,1
0
1,0 x
y log 1 x
2
(4)三角函数
c

b cos c
正割
a
a sin c
b
c 1 sec b cos
余割
a sin a tan b cos a b 1 cos a cot a tan sin a
( x )
若 发散的。
没有极限，ห้องสมุดไป่ตู้则称函数是
函数极限教学演示实验
1、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
lim f ( x) A
x X 或x X
几何解释:
y
A A
定义1
n
若当 时， 不接近于任何确定常数 A, 则称 数列 没有极限。 称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发 散数列。 n 1 n 1 n lim 1 1 例如： lim n n n n 1
而
xn 2n
xn 1n1
无极限
数列极限的数学定义（“ N ”语言） 若数列 x n 及常数 A 具有下列关系:
1
注意：在解决实际问题中逐渐形成的这种极限 方法，已经成为微积分中的基本方法。
3. 观察下列数列的变化趋势 1 2 3 n , , , , , 2 3 4 n 1
n
1 ( n ) 1 ( n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
( n )
趋势不定
x ,
y

2
y
0
x
7、 复合函数
y arcsinu ,
可定义复合函数
第一章 微积分大意
§1.1 极 限
一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的性质与运算
§1 极 限
一、数列的极限
第一章
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而 产生的。 我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多 边形来推算圆面积的方法：割圆术，就是极限思 想在几何学上的应用。 1. 割圆术