重庆市松树桥中学2019-2020学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

绝密★启用前 重庆市松树桥中学2019-2020学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明
一、单选题 1．设{}123457A =，，，，，，集合{}3458B =，，，，则A B =U （ ） A ．{}1234578，，，，，， B ．φ C ．{}345，， D ．{}12345678，，，，，，， 2．已知函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，．则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．181 C D ．-2 3．下列各组集合中，表示同一个集合的是（ ） A ．(){}(){}3223M N ==，，， B ．(){}{}3232M N ==，，， C ．{}{}11M x x y N y x y =+==+=， D ．(){}(){}2121M x y x y N y x x y =+==+=，，， 4．()()log 21a f x x =++的图象恒过点（ ） A ．()12， B ．()21， C ．()21-， D ．()11-， 5．已知函数()f x 定义域为[]14-，，则()1f x +定义域为（ ）
…………外…………○…※※请…………内…………○…A ．[]14-， B ．[]23，- C ．[]05， D ．[]25， 6．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．1x y y x ==， B ．2lg 2lg y x y x ==， C ．y x y ==， D ．2y x y ==， 7．设奇函数()f x 在()0+∞，上为增函数，且()10f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ） A ．()()1001-U ，， B ．()01，
C ．()()11-∞-⋃+∞，，
D ．()11-，
8．已知集合{}{}36A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈，，，，A 与B 之间的关系是（ ）
A ．A
B ⊆ B ．B A =
C ．B A ⊆
D ．A B ∈
9．函数()1
21x f x =-的值域为（ ）
A ．()1-∞-，
B ．(]1-∞-，
C ．()()10-∞-+∞U ，，
D ．(][)10-∞-+∞U ，，
10．三个数20.3
20.3,log 0.3,2a b c === 之间的大小关系是 ( )
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
11．在如图所示中，二次函数2y ax bx =+与指数函数x
a y
b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象只可为( )
A ．
B ．
C ．
…装…………○………………○……__
_姓名：___
_
__
___
_
_班级：__
__…
装
…
…
…
…○
…
…
…………○…… D ． 12．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞ 第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．若指数函数()f x 的图象经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()6f 的值为_____． 14．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间是_______． 15．已知函数)1f x =+．则函数()f x 解析式为______________，定义域为______________． 16．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c ……，z 这26个字母，依次对应1，2，3……，26这26个正整数.（见下表）
用如下变换公式：(
)()11
2622'1312622x x N x x x x x N x x +⎧∈≤≤⎪⎪=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩，，
，不能被整除，，，能被
整除将明文转换成密码．如8813172→+=．即h 变成q ；再如：25125132+→=，即y 变成m ；按上述变换规则，若将明文译成的密码是gano ，那么原来的明文是______________． 三、解答题 17．求值：（1）1103
231338⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
（2）24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅+++-18．已知集合{}2340A x x x =+-≥，集合{}02B x x =≤≤．
（1）求()R A B ⋂ð；
（2）若{}21C x a x a =≤≤-，且C B ⊆，求a 的取值范围．
19．已知函数()1
1
2f x mx nx =++（m n ，是常数），且()12f =，()11
24f =．
（1）求m n ，的值；
（2）当[)1x ∈+∞，时，判断()f x 的单调性并证明．
20．已知函数()()()()log 32log 23a a f x x g x x =+=-，其中()01a a >≠，． （1）求函数()()f x g x -的定义域；
（2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；
（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合．
21．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数a b ，都满足()()()f a b f a f b +=，且()10f ≠．当0x >时，()1f x >．
（1）求()0f 的值；
（3）解不等式()()1224f x f x -<-． 22．对数函数()log a g x x =（0a >且1a ≠）和指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）互为反函数.已知函数()3x f x =，其反函数为()y g x =． （1）若函数()
221y g kx x =++定义域为R ，求实数k 的取值范围． （2）若()G x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2G x g x =+．求()G x 的解析式． （3）定义在I 上的函数()F x ，如果满足：对任意的x I ∈，存在常数0M >，都有()M F x M -≤≤成立，则称函数()F x 是I 上的有界函数，其中M 为函数()F x 的上界.若函数()()()11mf x h x mf x -=+，当0m ≠时，探究函数()h x 在[]01x ∈，上是否存在上界M ，若存在求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据并集的定义运算即可求解
【详解】
{}123457A =Q ，，，，，,{}3
458B =，，，, {}1,2,3,4,5,7,8A B ∴⋃=,
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.
2．D
【解析】
【分析】 根据自变量的取值
14
及分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】 104
>Q ， 22211log log 2244f -⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭
， 故选：D
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于容易题.
3．C
【解析】
【分析】
根据集合相等的概念，判断选项即可求出答案.
【详解】
对于A ,两个集合中的元素分别是数对(3,2),(2,3)，不相同，故错误；对于B ，M 中一个元
素为数对(3,2)，N 中两个元素实数3和2，不相同，故错误；对于C ，M =R , N =R ,故相同，正确；对于D ，(){}21M x y x y =+=，，(){}21N y x x y =+=，分别表示满足方程21x y +=的数对()x y ，和()y x ，，显然不完全相同，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了集合的元素，集合相等的概念，属于中档题.
4．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质，可令21x +=，即可得出函数所过定点.
【详解】
log a y x =Q 恒过点(1,0)，
∴令21x +=，即1x =-，
可得()()log 21a f x x =++恒过定点(1,1)-，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，属于容易题.
5．B
【解析】
【分析】
根据函数()f x 定义域为[]1
4-，，可知函数()1f x +中[]114x +∈-，
，即可求解. 【详解】 Q 函数()f x 定义域为[]14-，，
1[1,4]x ∴+∈-，
解得23x -≤≤，
∴()1f x +定义域为[]23x ∈-，，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.
6．C
【解析】
【分析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可.
【详解】
A 中函数x y x
=的定义域为{x |x ≠0}，1y =的定义域为R ，所以两个函数的定义域不同； B 中2lg y x =的定义域为{|0}x x ≠，2lg y x =的定义域为{|0}x x >，所以两个函数的定义域不同；
C 中两个函数的定义域为R ，对应法则也相同，所以表示为同一函数；
D 中第一个函数的定义域为R ，第二个函数的定义域为{|0}x x ≥，所以两个函数的定义域不同.
故选：C
【点睛】
本题主要考查判断两个函数是否为同一-函数，判断的主要依据就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可,属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数，可将
()()0f x f x x --<转化为()0f x x
<，分两类，结合函数的单调性及()10f ±=求解.
【详解】 Q f (x) 为奇函数，且在()0+∞，上是增函数, f (1) =0,
∴(1)(1)0f f -=-=，且()f x 在(,0)-∞内也是增函数，
()()2()0f x f x f x x x
--∴=<，
即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩
， Q ()f x 在(,0)-∞和()0+∞，上是增函数，
(1,0)(0,1)x ∴∈-⋃
故选：A
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于中档题. 8．C
【解析】
【分析】
根据集合描述法可知A 中元素为3的整数倍，B 中元素为6的整数倍，即可由子集概念求解.
【详解】
{}{}36A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈Q ，，，,
∴A 是所有3的整数倍构成的集合，B 是所有6的整数倍构成的集合
∴B 中元素都属于集合A ，
∴B A ⊆，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了集合的描述法，子集的概念，属于容易题.
9．C
【解析】
【分析】
由指数函数的性质及不等式的性质，即可求出函数的值域.
【详解】
由210x -≠知，0x ≠，
021x ∴<<或21x >
1210x ∴-<-<或210x ->，
1121
x ∴
<--或1021x >-， ()121x f x ∴=-的值域为()()10-∞-+∞U ，，， 故选：C
【点睛】
本题主要考查了指数函数的性质及不等式的性质，属于中档题.
10．D
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2a b c ===所在的区间，从而
可得结果.
【详解】
由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b =<=， 由指数函数的性质可知00
00.31,21a c <==， b a c ∴<<，故选D.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）
；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
11．C
【解析】
【分析】 指数函数x
a y
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可知a ，b 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论．
【详解】 根据指数函数x
a y
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可知a ，b 同号且不相等，则二次函数2y ax bx =+的对称轴
02b x a
=-<在y 轴左侧，又2y ax bx =+过坐标原点， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题．
12．C
【解析】
试题分析：0,()()a b f a f b <<=Q ，01,a b ∴<<<所以
()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即
lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a
=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C ．
考点：对数函数性质，函数单调性与最值．
13．164
【解析】
【分析】
设指数函数为()x
f x a =，代入点即可求出解析式，计算()6f 即可. 【详解】
设()(0,1)x
f x a a a =>≠， 因为()f x 的图象经过点124⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，， 所以
214a =，解得12
a =， 所以1()()2
x f x =， ()6116()264
f ∴==， 故答案为：164 【点睛】
本题主要考查了指数函数的解析式，函数值，属于容易题.
14．[1,2]-和[4,)+∞
【解析】
【分析】
根据函数的图象，观察即可写出单调区间.
【详解】
根据函数的图象，自左向右看，上升为增函数，下降为减函数，
所以函数的单调递减区间为[1,2]-和[4,)+∞.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的图象写出单调区间，属于容易题.
15．()243f x x x =++ [1,)-+∞
【解析】
【分析】
令 1,1t t =≥-，利用换元法可求出函数解析式，定义域即为t 的取值范围.
【详解】
令1t =，
由0x ≥知，1t ≥-，
所以22
()(1)2(1)43f t t t t t =+++=++，1t ≥-，
故()243f x x x =++， 定义域为：[1,)x ∈-+∞
【点睛】
本题主要考查了换元法求函数的解析式，属于中档题.
16．mabd
【解析】
【分析】
根据规则将gano 变为数字，利用变换公式得到一组新的数字，再根据规则变换为字母即可.
【详解】
由规则可知gano 的代表数字为7，1，14，15，
即密码数字为7,1,14,15
密码数字变换为明文数字，713,11,142,154→→→→，
即明文数字为13,1,2，4，
由规则知对应的明文为mabd,
故答案为：mabd
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式，函数在实际问题中的应用，属于中档题.
17．（1）32-
（2）1792 【解析】
【分析】
（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.
【详解】
（1）11
323133
8⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
1
3271()18=+ 1
3
3312()12
⨯=++ 32
=-
（2）24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅+++-
421log 32221log ln 2lg 4lg54e =++++ 1281lg10022
=-+++- 1792
= 【点睛】
本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.
18．（1）[0,1)（2）32
a ≤
【解析】
【分析】 （1）由二次不等式化简集合A ，根据集合的补集、交集运算即可（2）由子集的概念得出两集合端点间的不等关系，求解即可.
【详解】
（1）由2340x x -≥+解得4x ≤-或1x ≥，
所以{|4A x x =≤-或1}x ≥，
(4,1)R A ∴=-ð，
()[0,1)R A B ∴⋂=ð
（2）{}
21C x a x a =≤≤-Q ，
若C φ=，即21a a >-，得1a <，
此时C B ⊆成立,
若C φ≠，即1a ≥时， C B ⊆Q ，
0212a a ≤⎧∴⎨-≤⎩
， 解得302a ≤≤
， 所以312
a ≤≤， 综上a 的取值范围32
a ≤
. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集、补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.
19．（1）1,2m n ==（2）函数为增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据()12f =，()1124
f =联立方程，即可求解m n ，的值（2）函数为增函数，利用函数单调性定义加以证明即可.
【详解】
（1）11(1)22
f m n =++=Q ， 1111(2)2224
f m n =++=. 12
m n =⎧∴⎨=⎩, （2）[)1
x ∈+∞，时, ()f x 是增函数. 证明：设任意的12,[1,)x x ∈+∞且121x x <„，
()()12121211112222f x f x x x x x ⎛⎫-=+
+-++ ⎪⎝⎭
Q ()1212112x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ ()121212212x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
121x x <Q „， 12120,1x x x x ∴-<>，
1221x x ∴>，
12210x x ∴->，
()()120f x f x ∴-<，
即()()12f x f x <，
()f x ∴在[1,)+∞上单调递增.
【点睛】
本题主要考查了函数的解析式，利用函数的单调性定义证明，属于中档题.
20．（1）22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
（2）奇函数，证明见解析（3）01a <<时，不等式解集为2(,0)3-；当1a >时，不等式解集为2
(0,)3.
【解析】
【分析】
（1）()()log (32)log (23)a a f x g x x x -=+--，若要式子有意义，则320230x x +>⎧⎨->⎩
，解不等式组即可得定义域（2）设()()()F x f x g x =-，利用奇函数的定义即可判断出结论（3）()()0f x g x ->，即log (32)log (23)a a x x +>-，分类讨论，利用对数函数的单调性求解.
【详解】
（1）()()log (32)log (23)a a f x g x x x -=+--Q ，
∴若要式子有意义，则320230x x +>⎧⎨
->⎩， 解得2233
x -<<， 所以函数定义域为22,33⎛⎫- ⎪⎝
⎭. （2）设()()()F x f x g x =-，其定义域为22,33⎛⎫-
⎪⎝⎭，关于原点对称， ()()()log (32)log (23)a a F x f x g x x x -=---=-+-+Q
[]log (32)log (23)()a a x x F x =-+--=-，
()F x ∴是奇函数,
即()()f x g x -是奇函数.
（3）()()0f x g x ->，即log (32)log (23)a a x x +>-，且定义域为22,33⎛⎫-
⎪⎝⎭
当01a <<时，得：3223x x +<-，
解得0x <，
203
x ∴-<<， 当1a >时，得：3223x x +>-,
解得0x <，
203
x ∴<<， 综上，01a <<时，不等式解集为2(,0)3-；当1a >时，不等式解集为2(0,)3
.
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数不等式，分类讨论，属于中档题.
21．（1）1（2）证明见解析（3）(,2)-∞
【解析】
【分析】
(1)利用赋值法，即可求f (0) 的值(2)利用函数单调性的定义，结合抽象函数的关系进行证明即可（3）原不等式可转化为(36)1(0)f x f -<=，利用函数的单调性即可求解.
【详解】
（1）因为任意实数a b ，都满足()()()f a b f a f b +=，
令1,0a b ==， 则
(1)(1)(0)f f f =， (1)0f ≠Q ，
(0)1f ∴=
（2）当0x <时，则0x ->，
()()()(0)1f x f x f x x f ∴⋅-=-==，
()0f x ->Q ，
()0f x ∴>，
即x ∈R 时，()0f x >恒成立，
设任意的12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，
21()1f x x ∴->，
2211()()1()
f x f x x f x ∴-=> 21()()f x f x ∴>，
即()f x 在()-∞+∞，
上是增函数， （3）()()
1224f x f x -<-Q ， (2)(24)(36)1(0)f x f x f x f ∴-⋅-=-<=，
由（2）知()f x 在R 上为增函数，
360x ∴-<，
得：2x <，
故不等式的解集为(,2)-∞.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路,属于中档题.
22．（1）k ＞1，（2）()3320()0020log x x G x x log x x ⎧+⎪==⎨⎪---⎩
＞，，＜，（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的定义域为R ，转化为kx 2+2x +1 > 0恒成立，进行求解（2）根据奇函数的性质及0x >时的解析式即可求函数的解析式（3）利用分子常数化，结合上界的定义分别进行判断、求解即可.
【详解】
（1）由题意知，3()log g x x =，
()()
22321log 21y g kx x kx x =++=++Q 的定义域为R ，
2210kx x ∴++>恒成立，
当0k =时，不满足条件，
当0k ≠时，若不等式恒成立，
则0440k k >⎧⎨∆=-<⎩
，即1k >. （2）0x >时，()()32log 2G x g x x =+=+，
设0x <，则0x ->，
()()32log ()2G x g x x ∴-=-+=-+，
Q ()G x 为定义在R 上的奇函数，
3()()log ()2G x G x x ∴=--=---，
当0x =时，(0)(0)G G -=-，
(0)0G ∴=，
综上()3320()0020log x x G x x log x x ⎧+⎪==⎨⎪---⎩
＞，
，＜ （3）132()1,(0)1313
x x x m h x m m m -⋅==-+≠+⋅+⋅， (i)?当0,131x m m >+>，
则()h x 在[]01，上单调递减，
131()131m m h x m m
--∴++剟， ①若113113m m m m --++…
，即0,3m ⎛∈ ⎝⎦
时，存在上界M ，1,1m M m ⎡⎫-∈+∞⎪⎢+⎣⎭， ②若113113m m m m --<++
，即m ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
时，存在上界M ，13,13m M m ⎡⎫-∈+∞⎪⎢+⎣⎭， (ii) 当0m <时，
①若103
m -<<时，()h x 在[0，1]上单调递增，1()[1m h x m -∈+，13]13m m -+，存在上界M ，
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第15页，总15页 13[13m M m
-∈+，)+∞， ②若13m =-时，2()111?33
x h x =-+-在[0，1]上单调递增，()[2h x ∈，)+∞，故不存在上界．
③若113m -<<-时，()h x 在[0，31log ())m -
上单调递增，()h x 在31(log ()m -，1]上单调递增，()(h x ∈-∞，113][113m m m m
--⋃++，)+∞故不存在上界， ④若1m =-，2()113
x h x =-+-在(0，1]上单调递增，()(h x ∈-∞，2]-，故不存在上界 ⑤若1m <-，()h x 在[0，1]上单调递增，1()[1m h x m -∈+，13]13m m -+，而13013m m
-<+，存在上界M ，1[1m M m
-∈+，)+∞； 综上所述，当1m <-时，存在上界M ，1[
1m M m -∈+，)+∞， 当113m --剟
时，不存在上界， 当103
m -<<时，存在上界M ，13[13m M m -∈+，)+∞， 当(0m ∈
时，存在上界M ，1[1m M m -∈+，)+∞，
当3
m ∈)+∞时，存在上界M ，13[13m M m -∈+，)+∞． 【点睛】
本题主要考查对数函数的性质的综合应用，以及上界的判断，结合对数函数的性质是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．综合较强，运算量较大，难度较大，属于难题．。