精品K12学习高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法课后演练提升北师大版选修2_21

2016-2017学年高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法与分析法课
后演练提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1．设f (x )为奇函数，f (1)＝1
2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )
A ．0
B ．1
C.52
D ．5
解析： 由f (x )为奇函数与f (1)＝1
2
知，
f (－1)＝－f (1)＝－12
，
令x ＝－1，得f (－1)＋f (2)＝f (1)， 所以f (2)＝f (1)－f (－1)＝1，
从而f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋f (2)＋f (2)＝5
2.故选C.
答案： C
2．若实数a ，b 满足0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2
＋b 2
C ．2ab
D ．a
解析： ∵a ＋b ＝1，a ＋b ＞2ab ， ∴2ab ＜1
2
，
由a 2＋b 2
＞
a ＋b
2
2
＝12
， 又∵0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，
∴a ＜12，∴a 2＋b 2
最大，故选B.
答案： B
3．欲证2－3＜6－7，只需证( ) A ．(2－3)2
＜(6－7)2
B ．(2－6)2＜(3－7)2
C ．(2＋7)2
＜(3＋6)2
D ．(2－3－6)2
＜(－7)2
解析： 分析法，欲证2－3＜6－7， 只需证2＋7＜3＋6， ∵2＋7＞0，3＋6＞0， ∴只需证C. 答案： C
4．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2
－b 2
＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )
A ．a ＝b
B ．a ＋b ＝1
C ．a ＋b ＝－3
D ．a －b ＝1
解析： 要证a 2
－b 2
＋2a －4b －3＝0，
即证a 2
＋2a ＋1＝b 2
＋4b ＋4，即(a ＋1)2
＝(b ＋2)2
， 即证|a ＋1|＝|b ＋2|，
即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2， 故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，
而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 答案： D 二、填空题
5．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，且λm ＋n 与2n ＋m 互相垂直，则实数λ的值等于________．
解析： 要使(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，
只需(λm ＋n )·(2n ＋m )＝0，即7(5λ＋1)＋7(3λ＋2)＝0，解得λ＝－3
8.
答案： －3
8
6．若直线2ax ＋by －4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2
－2x －4y －8＝0的面积，则
2a
＋1
b
的最小值为_______________．
解析： 由题意，直线2ax ＋by －4＝0过圆x 2＋y 2
－2x －4y －8＝0的圆心(1,2)． 于是2a ＋2b －4＝0，即a ＋b ＝2. ∴2a ＋1b ＝12·2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋3≥12⎝
⎛⎭
⎪⎫
22b a ·a b ＋3＝2＋32.
当且仅当2b a ＝a
b
，且a ＋b ＝2，
即a ＝4－22，b ＝22－2时，等号成立． 答案： 3
2＋ 2
三、解答题
7．已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证(a ＋2)2＋(b ＋2)2
≥252.
证明： 证法一：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ∴(a ＋2)2
＋(b ＋2)2
＝(a ＋2)2
＋(3－a )2
＝a 2
＋4a ＋4＋a 2
－6a ＋9 ＝2a 2－2a ＋13
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋252≥252
. 证法二：∵a ＋b ＝1，∴a 2
＋b 2
＋2ab ＝1， ∵a 2
＋b 2
≥2ab ，∴2(a 2
＋b 2)≥1. ∴a 2＋b 2
≥12.
∵(a ＋2)2
＋(b ＋2)2
＝a 2
＋b 2＋4(a ＋b )＋4＋4 ＝a 2＋b 2
＋12≥12＋12＝252
.
8．已知△ABC 的三边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：∠B 为锐角．
证明： 分析法：要证明∠B 为锐角， 只需证cos B ＞0，
又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，
所以只需证明a 2
＋c 2
－b 2
＞0， 即a 2
＋c 2
＞b 2
，因为a 2
＋c 2
≥2ac ， 所以只需证明2ac ＞b 2
，
由已知2b ＝1a ＋1
c
，即2ac ＝b (a ＋c )．
所以只需证明b (a ＋c )＞b 2
， 即a ＋c ＞b 成立，所以∠B 为锐角．
综合法：由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c
ac
，
则b ＝
2ac
a ＋c
， ∴b (a ＋c )＝2ac ，∵a ＋c ＞b ， ∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2
.
∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 2
2ac
＞0，
又∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴0＜∠B ＜π
2
，即∠B 为锐角．
9．是否存在常数C ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤C ≤x x ＋2y ＋y
2x ＋y 对任意正数x ，y 恒
成立？试证明你的结论．
解析： 令x ＝y ＝1，得23≤C ≤2
3，
∴C ＝2
3，
下面给出证明：
先证明
x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23
， 因为x ＞0，y ＞0，
要证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23
，
只需证3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )， 即x 2
＋y 2
≥2xy ，显然成立，
∴
x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23. 再证
x
x ＋2y ＋
y 2x ＋y ≥2
3
，
只需证3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )， 即2xy ≤x 2
＋y 2
，显然成立，
∴
x
x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23
. 综上所述，存在常数C ＝2
3
，使对任意正数x ，y 都有：
x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤C ≤x x ＋2y ＋y 2x ＋y
成立．。