2014-2015学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期第一次月考数学(文)试题

2014-2015学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.设全集合}|{2≥∈=x N x U ，集合}|{52≥∈=x N x A ，则=A C U ( )
A. φ
B.}{2
C.}{5
D.},{52
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于 60”时，正确的假设是( )
A.三个内角都不大于 60
B.三个内角都大于 60
C.三个内角至多有一个大于 60
D.三个内角至多有两个大于 60
3.在极坐标系中，曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点Q (1,)2π
的最远距离等于( )
11 C.14.设函数⎩⎨⎧≥-<≤=)
5)(5()50()(3x x f x x x f ，那么=)2015
(f ( ) A ．27 B ．9 C ．0 D ．1
5.设0>a 且1≠a ，则“函数x a x f =)(在R 上是减函数”是“函数3)2()(x a x g -=在R
上是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.给出下列不等式：（1)x x 232>+(2)3
22355b a b a b a +>+(3）)1(222--≥+b a b a .其中成立的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7.下列参数方程中，与普通方程012=-+y x 等价的参数方程是( )
A.⎩⎨⎧==φφ2cos sin y x （φ为参数）
B.⎩⎨⎧==φ
φ2sin cos y x （φ为参数）
C.⎩⎨⎧=-=r y r x 1（r 为参数）
D.⎩⎨⎧-==φ
φ2tan 1tan y x （φ为参数） 8.甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b ,且}3,2,1{,∈b a ,若1||≤-b a ,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.31 B.95 C.32 D.9
7 9.已知命题01,:≤+∈∃m R m p ，命题012>++∈∀mx x R x q ,:恒成立.若q p ∧为假命题,则实数m 的取值范围为( )
A.2≥m
B.2-≤m
C.2-≤m 或2≥m
D.22≤≤-m
10.设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(')1(x f x y -=
的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
11.过抛物线)(022>=p py x 焦点F 作倾斜角为 30的直线，与拋物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则=|
|||FB AF ( ) A.31 B.52 C.21 D.5
3 12.设函数)(x f 的导函数是)('x f ，对任意R x ∈，都有)()('x f x f >，则( )
A.)2014(ln 2015)2015
(ln 2014f f ≥ B.)2014(ln 2015)2015(ln 2014f f ≤ C.)2014(ln 2015)2015
(ln 2014f f > D.)2014(ln 2015)2015(ln 2014f f < 第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．有以下判断：
（1）x x x f ||)(=与⎩⎨⎧<-≥=)
0(1)0(1)(x x x g 表示同一个函数 （2）12)(2+-=x x x f 与12)(2+-=t t t g 是同一函数． （3）若|||1|)(x x x f --=，则0)]21
([=f f .其中正确判断的序号是________．
14.已知直线过点)2,1(P ，其参数方程为⎩⎨⎧+=-=t
y t x 21（t 是参数），若直线l 与直线
022=-+y x 交于点Q ，则||PQ 等于 .
15.向边长为2米的正方形木框ABCD 内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P 点;则P 点到
A 点的距离大于1米,同时]2,0[π∈∠DPC 的概率为 . 16.若曲线x ax y C ln :+=存在斜率为1的切线,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本题满分10分) 设:p 实数x 满足0342
2<+-a ax x ，其中0>a ；:q 实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0820622x x x x (1)若1=a ，且q p ∧为真,求实数x 的取值范围.
(2) p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
18.(本题满分12分)
设函数x a x x f 2+-=||)(，其中0>a . (1)当2=a 时，求不等式12+≥x x f )(的解集；
(2)若),(+∞-∈2x 时，恒有0>)(x f ，求a 的取值范围．
19.(本题满分12分)
已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角
坐标系，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21235(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
20.(本题满分12分)
某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如右表(服务满意度为x,价格满意度为y).
(1)求高二年级共抽取学生人数;
(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差;
(3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从3<x 且42<≤y 的学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.
21.(本题满分12分) 已知椭圆)(:0122
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为),(031-F 、),(032F ，椭圆上的点P 满足 9021=∠F PF ，且21F PF ∆的面积2
321=∆F PF S ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，
且线段MN 恰被直线1-=x 平分？若存在，求出l 的斜率取值范围；若不存在，请说明理由.
22．(本题满分12分) 已知函数x
a x x f -
=ln )(. (1)若0>a ，试判断)(x f 在定义域内的单调性；
(2)若)(x f 在],1[e 上的最小值为23，求a 的值； (3)若2x x f <)(在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．
高二月考数学（文）试题
一、选择题
BAACAC DDCDAC
二、填空题
13．(2) 14.22 15.16
31π- 16.1<a 三、解答题
17.（本题满分10分）
解:由x 2-4ax+3a 2<0,a>0得a<x<3a,即p 为真命题时,a<x<3a,
由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

即2<x ≤3,
即q 为真命题时2<x ≤3.
(1)a=1时,p:1<x<3,
由p ∧q 为真知p 、q 均为真命题,则错误！未找到引用源。

得2<x<3, 所以实数x 的取值范围为(2,3).
(2)设A={x|a<x<3a},B={x|2<x ≤3},
由题意知p 是q 的必要不充分条件,所以B A,
有错误！未找到引用源。

∴1<a ≤2,
所以实数a 的取值范围为(1,2].
18.（本题满分12分）
解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1. ∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要
使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.
故a 的取值范围为[2，＋∞)．
19.（本题满分12分）
(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的普通方程为x －3y
－5＝0.
(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222322＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |
＝37.
20.（本题满分12分）
解:(1)共有1400名学生,
高二年级抽取的人数为错误！未找到引用源。

×70=23.
(2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为
错误！未找到引用源。

=6,
所以方差
s 2=错误！未找到引用源。

=4.4.
(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z.
在这7人中抽取2人有如下情况:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(c,d),(c,x),(c,y),(c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况.
其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种.
所以至少有一人的“服务满意度为1”的概率为P=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
21.（本题满分12分） （Ⅰ）由题意知：，椭圆上的点满足，且，
．
，．． 又．椭圆的方程为． （Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在.
设的方程为，
由得．（*））
直线与椭圆有两个交点，
（*）的判别式，即．①
设、，则．
被直线平分，可知，
，．②
把②代入①，得，即．
，．
或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是
．
22.（本题满分12分）
解:(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
∵a>0,∴f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知,f'(x)=错误！未找到引用源。

.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f(1)=-a=错误！未找到引用源。

,∴a=-错误！未找到引用源。

(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,∴a=-错误！未找到引用源。

(舍去).
③若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数,
当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=错误！未找到引用源。

,∴a=-错误！未找到引用源。

.
综上所述,a=-错误！未找到引用源。

.
(3)∵f(x)<x2,∴ln x-错误！未找到引用源。

<x2.
又x>0,∴a>xln x-x3.
令g(x)=xln x-x3,h(x)=g'(x)=1+ln x-3x2,h'(x)=错误！未找到引用源。

-6x=错误！未找到引用源。

.
∵x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g'(x)<0,
∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.
g(x)<g(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.。