牛顿运动定律之“等时圆”模型(WORD版可编辑)

牛顿运动定律之“等时圆”模型
“等时圆”模型
(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过圆周最低点的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为t ＝2 R g (可由2R cos θ＝1
2
at 2及mg cos θ＝ma 解得)(如图甲所示)．
(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等，且为t ＝2 R
g
(如图乙所示)．
解题思路
针对练习
1．(多选)如图所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )
A ．只要知道弦长，就能求出运动时间
B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间
C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间
D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间
1．BD 【解析】物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝mg cos θ
m ＝g cos θ，弦长l ＝2R ·cos θ，则t ＝
2l a ＝2·2R cos θg cos θ
＝2
R
g
.可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间． 2．(多选)如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( )
A ．a 球最先到达M 点
B ．b 球最先到达M 点
C ．c 球最先到达M 点
D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点
2．CD 【解析】设圆轨道半径为R ，据“等时圆”模型结论有，t a ＝4R g
＝2R
g
；B 点在圆外，t b >t a ，c 球做自由落体运动t c ＝
2R
g
；所以，有t c <t a <t b .C 、D 正确． 3．如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P .设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为( )
A ．2∶1
B ．1∶1
C ．3∶1
D ．1∶ 3 3．B 【解析】由“等时圆”模型结论有：t AP ＝t CP ＝2R
g ，t PB ＝t PD
＝2r
g
，所以t 1＝t AP ＋t PB ，t 2＝t CP ＋t PD ，知t 1＝t 2，B 项正确．
4．如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )．
A ．α＝θ
B ．α＝θ2
C ．α＝θ
3
D ．α＝2θ
4．B 【解析】如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ
2
．
5．如图所示，光滑细杆BC 、DC 和AC 构成矩形ABCD 的两邻边和对角线,AC ∶BC ∶DC ＝5∶4∶3，AC 杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a 、b 、d ，a 、b 、d 三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a 、b 、d 三小球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A ．1∶1∶1
B ．5∶4∶3
C ．5∶8∶9
D ．1∶2∶3
5．A 【解析】由题可知A 、B 、C 、D 恰好在以AC 为直径的圆上，且C 为最低点，由等时圆知识可知三小球在杆上运行时间相等，A 对。

6．如图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )
甲 乙 A ． 2 s B ．2 s C ． 3 s D ．2 2 s
6．B 【解析】A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m 的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝
4R
g
＝4AD
g
＝2 s ，选B ． 7．如图所示，圆弧AB 是半径为R 的1
4圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量为m 的小物体在BD 板的D 端
由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率．
7．【解析】由动能定理可知小物体从D 到C 有W G －μmgL ＝0，所以W G ＝μmgL
由等时圆知识可知小物体从D 到B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到B 点的时间，即为t ＝4R g
所以小物体在木板BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率为P ＝W G t ＝
μmgL 2g R
． 【答案】
μmgL
2g R。