人教A版数学必修一湖南省桃江县第一中学高一上学期期中考试试题.docx

桃江一中2015级高一年级期中考试
数学试卷
一、选择题 每小题5分，共60分，请将所选答案填在答卷对应题号的空格内.
1．若{
{}|0,|12A x x B x x =<<
=≤<，则A B ⋃=；
（A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥
（C ）{
0x ≤≤
（D ）{}|02x x <<
2．函数()()
2log 31x f x =+的值域为
A. ()0,+∞
B. )0,+∞⎡⎣
C. ()1,+∞
D. )1,+∞⎡⎣ 3. 2log 510＋log 50.25＝
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 4．如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2
－1)的定义域是
A ．[0，2]
B ．[－1,1]
C ．[－2，2]
D ．[－2，2]
5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x [0,∈+∞）时f (x )是增函数，则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是
A f (π)>f (-3)>f (-2)
B f (π)>f (-2)>f (-3)
C f (π)<f (-3)<f (-2)
D f (π)<f (-2)<f (-3)
6．函数()412
x x
f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 7．.方程62ln =+x x 的解一定位于区间
A. (1, 2) B (2 , 3) C. (3, 4) D(4, 5)
8．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y =f (x )的图象大致为
9.a =log 0.70.8, b =log 1.10.9, c =1.10.9
,那么
A. a <b <c
B. a <c <b
C. b <a <c
D. c <a <b
10.已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
A 、0
B 、 －10
C 、－18
D 、－26
11．设函数)(x f =x |x | + b x + c 给出下列四个命题： ①c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ②b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c )对称
④方程)(x f =0至多两个实根
其中正确的命题是
A ．①、④
B ．①、③
C ．①、②、③
D ．①、②、④
12. 已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)25
(f 的值是
A. 0
B. 21
C. 1
D. 2
5
二、填空题 每小题5分，共20分，请将答案填在答卷对应题号的横线上 13.函数20.5()log (43)f x x x =--的递增区间是_________.
14．设x ∈(0,1)时，幂函数y =x p
的图象在直线y =x 的上方，则p 的取值范围是 .
15．已知0t >，则函数241
t t y t
-+=的最小值为_________.
16．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.已知函数||
2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，
则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为
_________.
D
C
B
A
三、解答题 共70分，解题要有推理过程或演算步骤
17.(本小题10分)已知{}0822
=--∈=
x x
R x A ，{}01222=-++∈=a ax x R x B ，B 是A
的非空子集，求实数a 的值。

18.(本小题12分)已知函数()()91log 23≤≤+=x x x f ,求函数()()()
22
x f x f x g +
=的最大值与
最小值.
19．（本小题12分）
已知奇函数222(0)
()0
(0)(0)x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩
（1）求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象； （2）若函数f （x ）在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围.
20．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A 地运到B 地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下表：
运输工具
途中速度
（km/h ）
途中费用
（元/km ）
装卸时间
（h ） 装卸费用
（元） 汽车 50 8 2 1000 火车
100
4
4
2000
若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h ，设A 、B 两地距离为x km （I ）设采用汽车与火车运输的总费用分别为()f x 与()g x ，求()f x 与()g x ； （II ）试根据A 、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．
（注：总费用＝途中费用＋装卸费用＋损耗费用） 21．已知函数[)+∞∈++
=,1,2)(x x
a
x x f 。

（Ⅰ）当2
1
=
a 时，利用函数单调性的定义判断并证明)(x f 的单调性，并求其值域； （Ⅱ）若对任意[)0)(,,1>+∞∈x f x ,求实数a 的取值范围。

22．（本小题满分12分）
如果一个函数的定义域是值域的真子集，那么称这个函数为“思法” 函数。

(Ⅰ) 判断指数函数、对数函数是否为思法函数，并简述理由；
(Ⅱ) 判断幂函数()y x
Q α
α=∈是否为思法函数，并证明你的结论；
(Ⅲ) 已知()()
2ln 2t f x x x t =++是思法函数，且不等式()
112323t t t t k +++≤+对所有的()t f x 都成立，求实数k 的取值范围。

高一 数 学 期 中 考 试 题（参考答案）
一、DACDA DBDCD C A 二、13．3
(,1)2
-
14. （—∞，1） 15.-2 16.1 三、17．由已知，{}4,2-=A
ΘB 是A 的非空子集{}2-=∴B 或{}4或{}4,2-
若{}2-=B ，则有 ()012220
4842
222=-+--=+-=∆a a a a 解得 4=a 若{}4=B ，则有 0
12440
4842
222=-++=+-=∆a a a a 解得∅∈a 若{}4,2-=B ，由韦达定理可 ()()12
42422-=⨯--=+-a a
解得2-=a
综上，所求实数a 的值为2-或4。

18.解:由2
191319
x x x ≤≤⎧⇒≤≤⎨
≤≤⎩
()()()
2
2332
332log 2log log 6log 6,13g x x x x x x =+++=++≤≤
令()3log ,01x t t =≤≤,则原函数可化为:()()()2
2
663301h t t t t t =++=+-≤≤
∴当t =0时,原函数取最小值-3, 当t =1时,原函数取最大值13 19. 解（1）当 x <0时，－x >0，2
2
()()2()2f x x x x x -=-+-=--
又f （x ）为奇函数，∴2
()()2f x f x x x =--=+， ∴m ＝2
y ＝f （x ）的图象如右所示
（2）由（1）知f （x ）＝222(0)
(0)2(0)
x x x x x x x ⎧-+>⎪
=⎨⎪+<⎩
， 由图象可知，()f x 在[－1，1]上单调递增，要使()f x 在[－1，|a |－2]上单调递增，只需
||21
||21
a a ->-⎧⎨
-≤⎩
解之得3113a a -≤<-<≤或
20．解：由题意可知，用汽车运输的总支出为：
()81000(
2)300141600(0)50
x
f x x x x =+++⋅=+> 用火车运输的总支出为：
()42000(4)30073200(0)100
x
g x x x x =+++⋅=+>
（1）由()()f x g x < 得1600
7x <；
（2）由()()f x g x = 得1600
7x =
（3）由()()f x g x > 得1600
7x >
答：当A 、B 两地距离小于1600
7km 时，采用汽车运输好
当A 、B 两地距离等于1600
7km 时，采用汽车或火车都一样
当A 、B 两地距离大于1600
7
km 时，采用火车运输好.
21．解：（Ⅰ）任取,),,1[,2121x x x x <+∞∈且
则212121
()()22a a
f x f x x x x x -=+
+--- )1)((2112x x a x x -
-=,当),211)(()()(,212
11212x x x x x f x f a --=-=时 ∵,121x x <≤∴021
1,02
112>-
>-x x x x ，恒成立 ∴),1[)(+∞在x f 上是增函数，
∴当x=1时，f(x)取得最小值为2
72211)1(=++
=f , ∴f(x)的值域为).2
7
[∞+，
（Ⅱ）x a
x x x f x a x x f ++=++=2)(2)(2可变为,
∵对任意02)(),,1[2>++=
+∞∈x
a
x x x f x ,恒成立 ∴只需对任意02),,1[2
>+++∞∈a x x x 恒成立。

设),,1[,2)(2
+∞∈++=x a x x x g
∵g (x )的对称轴为x =－1, ∴只需g (1)>0便可， g (1)=3+a >0, ∴a >－3。

22．解：(Ⅰ) Q 指数函数的定义域是R ，值域()0,+∞。

∴指数函数不是思法函数 对数函数的定义域是()0,+∞，值域R ，故对数函数是思法函数。

(Ⅱ) 幂函数()y x
Q α
α=∈不是思法函数。

证明如下：
⑴当0α=时，显然0
y x =不是思法函数； ⑵当0α>时，设m
n
α=
(其中m ，n 是互质的正整数) 。

①若n 为偶数，则m 为奇数，定义域和值域都是[)0,+∞，不是思法函数；
②若n 为奇数，当m 为奇数时，定义域和值域都是R ，不是思法函数；当m 为偶数时，定义域R ，值域是[)0,+∞，不是思法函数。

⑶当0α<时，设m
n
α=-
(其中m ，n 是互质的正整数) ①若n 为偶数，则m 为奇数，定义域和值域都是()0,+∞，不是思法函数；
②若n 为奇数，当m 为奇数时，定义域和值域都是()(),00,-∞+∞U ，不是思法函数；当m 为偶数时，定义域()(),00,-∞+∞U ，值域是()0,+∞，不是思法函数。

综上所述；幂函数()y x
Q α
α=∈不是思法函数。

(Ⅲ) 令ln y u =，2
2u x x t =++。

则()2
11u x t =++-
⑴当440t ∆=-<，即1t >时，恒有10u t ≥->。

故()t f x 的定义域为R ，值域为
())ln 1,t -+∞⎡⎣，()t f x 不是思法函数；
⑵当440t ∆=-≥，即1t ≤时，2
2u x x t =++能取()0,+∞中的一切值，故()t f x 的值域为R 。

定义域不是R ，()t f x 是思法函数。

因此，()t f x 是思法函数⇔(],1t ∈-∞。

又()111
1
232
3
2323t t t t t
t
t t k k ++++++≤+⇔≥+，令()11
2323
t t t t
g t +++=+，则()max k g t ≥。

()223
13
2221133t
t t g t ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 在(],1-∞上是增函数，故()()max
1315g x g ==。

所以13,5k ⎡⎫∈+∞⎪⎢
⎣⎭。