江苏省启东中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

江苏省启东中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝⎭
，所以A 正确； 因为()()001
12
f x f x =+=-
， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05
2,6
k k Z ωϕππ+=-
∈， ()012,6
x k k Z π
ωϕπ++=-∈，
两式相减得，23
πω=， 所以23T π
ω
=
=，即B 错误，C 正确；
因为3T =，
所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，
()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．
2．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，
然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos B =，再根据cos B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin C =
由正弦定理得2
sin 3c R C =
==
，R =C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
214
a c
b B a
c +-===
，
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，
2
2
413AB AC AD DB AD DB AD DB →
→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确； 对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++
2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-， 解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误； 对于D
，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=
（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2
BAD π
∠∈
，又cos BAD ∠≥
BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<
C ．
753
A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆
【答案】ABD 【分析】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，
sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2
A =-，cos 0AC A
B bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1
sin 2
ABC S bc A ∆=，可判定D
【详解】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753
,,222
a k
b k
c k =
== ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；
又222
2
2
2
259491444cos 5322222
k k k
b c a A bc k k +-+-=
==-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选
项正确；
由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；
若8+=b c ，则2k =，故5,3,120o b c A ===，所以1sin 2ABC S bc A ∆==
，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
5．已知函数()2
2sin cos f x x x x =+，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3
π
个单位得到的 B ．()f x 在,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【分析】
A.化简得()2sin(2)3
f x x π
=+
，利用函数的图象变换得该选项错误；
B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；
C. 由2,3
x k k Z π
π+
=∈得该选项正确；
D.解方程sin 23x π⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭得该选项正确. 【详解】
()
2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，
把2sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23
t x π
=+
，则t 在,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调增， ,03x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦
又sin y t =在,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;
由2,3x k k Z π
π+
=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫
-+
∈ ⎪⎝⎭
，所以选项C 正确；
由sin 232
x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6
x k k Z π
π=
+∈，又[]0,10,x ∈
0,1,2,3k ∴=时，713190,
,,
,2,,3,6
666
x π
πππ
πππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得
()()g x h x =，再分析函数(),()g x h x 的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.
6．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,
2x x π
π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，若12x x <，则()()12f x f x < C ．对,
44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 成立
D ．当且仅当,4
x k k Z π
π=+∈时，f (x )1
【答案】AC 【分析】
根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首
先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】
解：因为()2
()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令
sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的
1
2
倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以
()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++
()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；
对于B ：因为3,2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
则)
14t x π⎛
⎫⎡=
+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，在53,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增， 又()2
2
15
124
f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21
f t t t =+-
在)
1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在53,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=----
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭
sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭
c 2424242sin os 2sin cos 4
x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭
+，故C 正确；
因为()2
215124
f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值
()
max 1f t =，令4t x π⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以
2,4
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得2,4
x k k Z π
π=
+∈，即当2,4
x k k Z π
π=
+∈时，函数
()f x
1，故D 错误；
故选：AC 【点睛】
本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次
函数；
7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的初相为6
π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω可以为1
2
D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】
根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】
A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭的初相为6
π
-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，236
2
k πωπ
π
π-≤
+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则
02ω<≤，正确；
C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以
1
2,3
k k Z ω=+∈
故ω不可以为
1
2
，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫
+=+- ⎪⎝
⎭
是偶函数，则,6
2
k k Z π
π
ωπ-
=
+∈，所以2,3
k k Z π
ωπ=
+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】
掌握三角函数图象与性质是解题的关键.
8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A ．tan ϕ=
B ．()f x 在[]
,a a -上存在零点，则a 的最小值为6
π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2
π
个单位得到 【答案】ABC 【分析】
首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】
解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以
11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以32
k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<
，所以6
π
=ϕ；
对于A ，tan tan
6
π
ϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛
⎫
=+
= ⎪⎝
⎭，得26
k x ππ
=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为
6
π
，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝
⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则
()F x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ()cos 266F x x ππ⎡⎤
⎛⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6
π个单位得到，故D 错误.
故选：ABC . 【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键是先根据()(
)124F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.
二、数列多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足2
1159,4n n n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误；
对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
10．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.。