人教版高一(上)数学 圆与方程 单元质量检测题

学年人教版高一（上）数学 圆与方程 单元质量
检测题
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A.2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|
12＋12＝2，所
以所求的弦长为2
r 2－d 2＝2，选B.
2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0
D ．2x －y －1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－1
2，所以直线MN 的斜率为2，所
以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.
3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36
D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32
＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.
4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0
D ．2x ＋y ＋5＝0
解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝1
2
，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，
∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.
5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－3或3
D ．以上都不对
解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，
由题意得|－1×3－4×2－4|
(－3)2＋4
2＝
a 2＋7－1，解得a ＝±3.
6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A ．14米
B ．15米 C.51米
D ．251米
解析：选D 如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，
则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51，∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．
7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝0
解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形P ACB 的外接圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，12，半径长为1
2(3－1)2＋(1－0)2＝
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.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝5
4.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②。