江苏省无锡市2015年高考数学第一讲突破计算瓶颈练习

江苏省无锡市2015年高考数学 第一讲 突破计算瓶颈练习
方程：
1、分解因式613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 ∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-=+6
13231
m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m
∴原式=)32)(23(+--+y x y x
2、（1）当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果82
3
+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为
))((b y x a y x +-++ 解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22
比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==132m b a
∴当1±=m 时，原多项式可以分解；
当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x
（2）分析：82
3+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因
式必为形如c x +的一次二项式。

解：设82
3+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则82
3+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===4147c b a ， ∴b a +=21 3、分解因式（1）2622
34+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=22
212
(26)x x x x x ---
+=[]6)1()1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则212
22-=+t x x
∴原式=[
]6)222
2---t t x （=()
10222--t t x
=()()2522+-t t x =⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()
122522
2+++-x x x x
=)2)(12()1(2--+x x x
4、144234+++-x x x x
解：原式=22
241(41)x x x x x -++
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则212
22+=+y x
x
∴原式=22
(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --
=)31)(11(2----x
x x x x =()()
1312
2----x x x x
5、已知：x x x x +
=+=121
33，则__________ 解：x x
x x x x 3321111
+=+-+()()
=++--=⨯=()[()]
x x x x
11
21212
2
说明：利用x x x x 22
2
1
12+
=+-()等式化繁为易。

6、分解因式（1）432
3+-x x
解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=44432
3++--x x x x =
)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x
=)331)(1(2
+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x
=)44)(1(2
+-+x x x
=2)2)(1(-+x x =2
)2)(1(-+x x
不等式
一元一次不等式
7、解关于x 的不等式：m 2
x －1＜x ＋m. 答案：若m ＞1或m ＜－1，则11-<
m x ；若－1＜m ＜1，则1
1->m x ； 若m=1，则x ∈R ；若m=－1，则x ∈Φ.
一元二次不等式
8、解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．
分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．
解：分以下情况讨论
(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①
①当0<a 时，①式变为0)1)(1
(>--x a
x ，∴不等式的解为1>x 或a x 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1
(<--x a
x ． ②
∵a
a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 1
1<<．当1=a 时，11=a ，
此时②的解为11
<<x a
．
9、解关于x 的不等式 (x －2)(ax －2)＞0．
【解析】：不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．
1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为
22
a a
{x|2
a
x 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
a a
{x|x 2x }＜或＞；2
a
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
a a
{x|x x 2}＜或＞．2
a
从而可以写出不等式的解集为：
a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x |2a x 2＜时
，＜＜｝； 0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a ＝1时，{x|x ≠2}；
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
不等量关系中如何找等量关系
10、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32
-,则2
20cx x a -+->的解集为
________________.
解析：由2
20ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,
32
-为方程2
20ax x c ++=的两个
根,由韦达定理得11211,3232c
a a
-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,
∴220cx x a -+->即2
22120x x --<,其解集为(2,3)-.
11、关于x 的一元二次不等式2
5500ax x -->的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a=
【解析】
试题分析：因为关于x 的一元二次不等式2
5500ax x -->的解集为12(,)x x ，所以可知<0.
并且是方程的两个根.由韦达定理可得. =15.所以或（舍去）.所以选C. 考点：1.二次不等式的解法.2.韦达定理.3.二次方程的解法.
12、已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，
的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
,则实数c 的值为____. 【答案】9.
【考点】函数的值域，不等式的解法；
【解析】由值域[0+∞，）
,当2
0x ax b ++=时有2
40a b ∆=-=，即2
4
a b =， a 12,x x 2
5500ax x --=1212550,x x x x a a
+=
=-22112122
20025()4a x x x x x x a
+-=+-=
1
9a =-1a =
22
()04
a f x x ax c ∴=++-<,6m m +根据题意可知，是方程22
04a x ax c ++-=的
两个根，所以
2
6(6)4m m a
a m m c ++=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩消元后解得c=9
t
a t
b m m x x a m m x x -=-=-⋅-=+-=+4
8(,82
2121）,
又
因
为
()
212
212
214)(x x x x x x -+=-,即t t a a 4)4
(482
2
2
=--=,所以16=t .
考点：二次不等式与二次方程的关系,二次方程根与系数的关系,以及
()212
212214)(x x x x x x -+=-的使
分式不等式
13、解分式不等式
（1）2
2
123+-
≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x （1）解：原不等式等价于
⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0
)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0
)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
用“穿根法”
∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

（2）解法一：原不等式等价于 02
731
322
2>+-+-x x x x
2
12
1
310
2730
132027301320
)273)(132(2
22222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2
1
()31,(+∞⋃⋃-∞。

解法二：原不等式等价于
0)
2)(13()
1)(12(>----x x x x
0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x
用“穿根法”
∴原不等式解集为),2()1,2
1()31,(+∞⋂⋃-∞ 14、已知，不等式的解集为，且，则的取值范围是
【解析】
试题分析：直接代入求解，既然，那么有
或，解得或
．选D ．
考点：解不等式．
绝对值不等式
15、解不等式242
+<-x x
分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义
⎩
⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a
二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．
解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔2
40
424042
2
22x x x x x x 或 即⎩⎨
⎧>-<<<-⎩⎨
⎧<<--≤≥1
22
2222x x x x x x x 或或或 a R ∈31x x a
-≥+P 2P -∉a 2P -∉23
12a
--<-+20a -+=2a ≥3a <-
∴32<≤x 或21<<x
故原不等式的解集为{}
31<<x x ．
解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x
即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)
2(4242
2x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 16、解不等式：12
123+<--+x
x x .
{x|x ＜－5
2
或x ＞2}
对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则k 的取值范围是
|x+1|-|x-2|的几何意义是动点x 到定点-1与定点2的距离之差,因此,当1x ≤-时,取最小值-3,∴k<-3
||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b | 17、不等式
0212<---x x 的解集为 .
【答案】 【解析】 试题分析：
0212<---x x 即两边平方得，，， 所以，不等式
0212<---x x 的解集为.
考点：绝对值不等式的解法
18、不等式521≥++-x x 的解集为 . 【答案】. 【解析】
试题分析：令，则，
（1）当时，由得，解得，此时有； （2）当时，，此时不等式无解；
（3）当时，由得，解得，此时有； 综上所述，不等式521≥++-x x 的解集为.
(11)-，212,x x -<-21x <11-<x<(11)-，(][),32,-∞-+∞ ()12f x x x =-++()21,2
3,2121,1x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-+∞
【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.
指数不等式
19、不等式的解集为__________.
【答案】 【解析】
试题分析：原不等式变形为：，因为，所以
同解变形为：解得：，所以原不等式的解集为：. 考点：1.解指数型不等式；2.接分式不等式.
20、不等式311
2
2
x x
-+≤
的解集为 ．(,3](0,1]-∞- 21、已知a 任意实数，则关于x 的不等式(
)
()2
22
22010
2010x x
a a a a -+<-+的解集为
因为2
2112010201024a a a ⎛⎫-+=-+- ⎪⎝
⎭＞1，所以，原不等式等价于22x x <，解集为（0，2）．
对数不等式 22、不等式3)61
(log 2≤++
x
x 的解集为 ▲ 【答案】{}
{}
3223221x <x <x x ---+= 。

【考点】数函数单调性和不等式的解法。

【分析】∵221log (6)3log 8x x ++≤=，∴1068<x x ++≤，即12160
x x
x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩。

解得{}
{}
3223221x x <x <x x ∈---+= 。

分段函数不等式
121
1()12
x x -+≥1(,1]2
-0
12111()22x x -+⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
112<1021x x -≤+()()2102110x x x +≠⎧⎨
+-≤⎩
1
12x -<≤1(,1]2-
23、设，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
试题分析：当时，（舍去）；当时，
；综上所述，不等式的解集为
.
考点：不等式的解法、等价转换思想.
24、设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 。

解：由0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a >1，所以不等式
log (1)0a x ->可化为x －1>1，即x >2.
无理不等式 25、解不等式
x x x ->--81032．
分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：
⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩
⎪
⎨⎧>≥≥2
)]([)(0)(0
)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：
①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-2
22)
8(10301030
8x x x x x x
由①得⎩
⎨⎧-≤≥>258
x x x 或，∴8>x
22,0
()log (1),0
x x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩()2f x ≥(,1][3,)-∞-+∞ (,1][2,)-∞-+∞ [3,)+∞(,1]-∞-0x <2()2212f x x x x x ≥⇔-≥⇔≤-≥或0x ≥()2()2log 123f x x x ≥⇔+≥⇔≥()2f x ≥(,1][3,)-∞-+∞
由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.
1374
258x x x x 或 81374
≤<x ，
所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>1374x x ．
学霸必做题
1、“已知关于x 的不等式2
0ax bx c +>＋的解集为(1,2)-，解关于x 的不等式 2
0ax bx c -+>”，给出如下一种解法：
若关于x 的不等式
0<++++c x b x a x k 的解集为11
(1,)(,1)32-- ， 则关于x 的不等式1
011
kx bx ax cx ++<++的解集为 ▲ . (3,1)(1,2)--
2、已知函数a a x x f +-=|2|)(.若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 . 【答案】1a =
【解析】因为不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，即2
,3-是方程()6f x =的两个根，即66,46a a a a -+=++=，所以66,46a a a a -=-+=-，即64a a -=+，解得1a = 3、若不等式
1
122+--<
++-x x b
x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b
式子．
解：∵043
)21(122>+
+=++x x x ，
04
3
)21(122>+-=+-x x x ，
∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．
依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧
=-++=-+->-+3
423
1202b a b a b a b
a b a ， 解：由2
0ax bx c ++>的解集为(1,2)-，得2
()()0a x b x c -+-+>的解集为(2,1)-，
即关于x 的不等式2
0ax bx c -+>的解集为(2,1)-．
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==23
25b a ． 说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．
4、解下列不等式
（1）11x x x x
>++. （2）234x x ->. （3）2560x x -+>. （4）
2312x x ->+. 解：（1）由绝对值定义得，原不等式⇔
01x x
<+⇔()10x x +<⇔10x -<<. 所以，原不等式的解集为()1,0-. （2）原不等式⇔234x x -<-或234x x ->⇔2340x x -+<或2
340x x --> ⇔x 不存在或()()140x x +->⇔1x <-或4x >，
所以，原不等式的解集为()(),14,-∞-+∞ .
（3）原不等式⇔2560x x -+>⇔()()230x x --> ⇔2x <或3x >⇔22x -<<或3x <-或3x >.
所以，原不等式的解集为()()(),32,23,-∞--+∞ .
（4）原不等式⇔23
12x x ->+⇔23220x x x ⎧->+⎪⎨+≠⎪⎩⇔()()222322x x x ⎧->+⎪⎨≠-⎪⎩ ⇔2
316502x x x ⎧-+>⎨≠-⎩⇔()()31502x x x -->⎧⎪⎨≠-⎪⎩⇔1532x x x ⎧<>⎪⎨⎪≠-⎩或. 所以，原不等式的解集为()()1,22,5,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ .
[说明]
此例有一定难度，教师可视学生实际适当选用.
5、设0,1a a >≠，函数2lg(23)()x
x f x a -+=有最大值，则不等式()
2log 570a x x -+>的解集为 。

6、设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞
，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ） （A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞） 答案： D
解析：不等式等价于11,
22x x -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2,
x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即
0x ≥，故选D.
7、设12322()log (1)2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为
(1,2)(10,)⋃+∞
【解析】110222110112x x x e e e x x x --<>∴>=∴->∴>∴<<当时， 22232log (1)21910101010(1,2)(10,).x x x x x x x x C ≥->∴->∴>∴><-∴>∈+∞ 当时，或综合得所以选择
8、、设函数212
l o g ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．
(1,0)(1,)-+∞ ；
若0a >，则212
log log a a >，即22log 0a >，所以1a >， 若0a <则()()122
log log a a ->-，即()22log 0a -<，所以01a <-<，10a -<<。

所以实数a 的取值范围是1a >或10a -<<，即()()101a ,,∈-+∞U ．。