2019-2020学年四川省成都市青羊区石室中学八年级(下)期中数学试卷

2019-2020学年四川省成都市青羊区石室中学八年级（下）期中
数学试卷
一、选择題（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•香坊区模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）（2018春•双流区期末）下列分式中，无论a取何值，分式总有意义的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）（2015•潜江）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
4．（3分）（2020春•青羊区校级期中）下列命题中，错误的是（）
A．过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形
B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
5．（3分）（2020春•镇海区期末）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”
时，应先假设（）
A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
6．（3分）（2020春•青羊区校级期中）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若
将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则C′点的坐标为（）
A．（1，）B．（1，）C．（1，1+）D．（1，3﹣）7．（3分）（2016•河北）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）
A．66°B．104°C．114°D．124°
8．（3分）（2019春•九龙坡区校级期末）某旅游纪念品商店计划制作一种手工编织的工艺品600件，制作120个以后，临近旅游旺季，商店老板决定加快制作进度，后来每天比原计划多制作20个，最后共用时11天完成，求原计划每天制作该工艺品多少个？设原计划每天制作该工艺品x个，根据题意可列方程（）
A．+＝11B．+＝11
C．+＝11D．+＝11
9．（3分）（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB
于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）10．（3分）（2020秋•莒南县期末）如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2020春•青羊区校级期中）分解因式：4x2﹣16＝；x2+x﹣2＝．12．（4分）（2014•崇安区校级模拟）已知：一个多边形的每一个内角都是160°，那么这个多边形的边数为．
13．（4分）（2020春•青羊区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b ＜﹣2的解集为．
14．（4分）（2014•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2020春•青羊区校级期中）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣18xy2+27y3；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
16．（6分）（2019春•揭阳期末）已知关于x的分式方程﹣＝1的解为负数，求k 的取值范围．
17．（8分）（2019春•九龙坡区校级期末）先化简，再求值：（﹣a）+，其中a是满足不等式组的整数解．
18．（9分）（2019春•盐湖区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标；
（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．
19．（9分）（2020•宿松县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE ＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．
20．（10分）（2020春•青羊区校级期中）已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；
（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）（2020春•青羊区校级期中）已知a+2b＝0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是．
22．（4分）（2020春•青羊区校级期中）若关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围为．
23．（4分）（2020春•青羊区校级期中）已知关于x的分式方程+＝﹣1无解，则m的值为．
24．（4分）（2018春•南山区校级期末）已知平面直角坐标系中A、B两点坐标如图，若PQ 是一条在x轴上活动的线段，且PQ＝1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标．
25．（4分）（2020秋•海珠区校级期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC 的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的有（写出序号）．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共计30分）
26．（8分）（2019春•开江县期末）在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2：3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成．已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？
27．（10分）（2019春•永新县期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH 是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB 方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；
（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？
（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．
28．（12分）（2019春•丹东期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BP是△ABC的角平分线，过点P作PD⊥AB于点D，将∠EPF绕点P旋转，使∠EPF的两边交直线AB于
点E，交直线BC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EPF绕点P旋转到如图①的位置，点E在线段AD上，点F在线段BC上时，且满足PE＝PF．
①请判断线段CP、CF、AE之间的数量关系，并加以证明
②求出∠EPF的度数．
（2）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图②的位置时，若∠CFP＝60°，
BE＝+﹣1，求△AEP的面积．
（3）当∠EPF保持等于（1）中度数且绕点P旋转到图③的位置时，若∠CFP＝30°，
BE＝（++1）m，请用含m的代数式直接表示△AEP的面积．
2019-2020学年四川省成都市青羊区石室中学八年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择題（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
2．【解答】解：A、∵a2≥0，
∴a2+1＞0，
∴总有意义；
B、当a＝﹣时，2a+1＝0，无意义；
C、当a＝1时，a3﹣1＝0，无意义；
D、当a＝0时，无意义；
故选：A．
3．【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
在数轴上表示不等式的解集是：
故选：D．
4．【解答】解：A、过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，正确，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；
C、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，正确，不符合题意；
D、等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线及底边的高互相重合，故原命题错误，符合
题意；
故选：D．
5．【解答】解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，假设每一个内角都小于90°，
故选：D．
6．【解答】解：由图可得，AC＝＝，
∵将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，
∴AC′＝AC＝，
∴C′点的坐标为（1，1+），
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
8．【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
9．【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
10．【解答】解：∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，AE＝CD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠CAD+∠BAP＝60°，
∴∠ABE+∠BAP＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×4＝8，
∴BE＝BP+PE＝8+1＝9，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，
又∵AE＝CD，
∵△ABE≌△ADC，
∴AD＝BE＝9，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．【解答】解：4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）；
x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．
故答案为：4（x+2）（x﹣2）；（x﹣1）（x+2）．
12．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于160°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣160°＝20°，
∴边数n＝360°÷20°＝18．
故答案为：18．
13．【解答】解：当x＜0时，y＜﹣2，
所以不等式kx+b＜﹣2的解集为x＜0．
故答案是：x＜0．
14．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝AC＝，∠AOD＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴＝，即＝，解得AD＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．【解答】解：（1）原式＝3y（x2﹣6xy+9y2）
＝3y（x﹣3y）2；
（2），
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
则不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
16．【解答】解：去分母得（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝（x+1）（x﹣1），整理得x＝1﹣2k，
因为分式方程﹣＝1的解为负数，
所以1﹣2k＜0且x≠±1，
即1﹣2k≠±1，
解得k＞且k≠1，
即k的取值范围为k＞且k≠1．
17．【解答】解：（﹣a）+＝＝＝①，
解不等式得：0＜a≤2，故此不等式的整数解为：a＝1或a＝2．当a＝2时，原代数式的分母为0，故x＝1
将a＝1代入以上化简结果中，结果为0．
18．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△AB2C2如图所示，点B2（4，﹣2）．
（3）△A3B3C3如图所示，B3的坐标（﹣4，﹣4）．
19．【解答】证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB＝∠DEF
20．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝25，∠ABC+∠BAG＝180°，
∵∠ABC＝∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC＝180°，
∴∠BAG＝∠CEB，
∵∠ABG+∠BEH＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠ECB，
在△BAG和△CEB中，，
∴△BAG≌△CEB（AAS），
∴BE＝AG＝10，
∴DG＝AD﹣AG＝25﹣10＝15；
（2）证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：∵△BAG≌△CEB，
∴CE＝AB，
∵∠ABG+∠BAC＝∠ECB+∠ABC＝90°，∠ABG＝∠ECB，∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG，
在△ABF和△ECF中，，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∵∠HFN＝∠EF A＝90°，
∴∠AFN＝∠EFH，
∵∠BAC＝∠ABC，∠ABC＝∠BEH，
∴∠NAF＝∠HEF，
在△ANF和△EHF中，，
∴△ANF≌△EHF（ASA），
∴HE＝AN，HF＝NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN＝HF，
∴HA+AN＝HA+HE＝HF，
∴HA＝HF﹣HE．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．【解答】解：原式＝a3+2a2b+2ab2+4b3
＝a2（a+2b）+2b2（a+2b）
＝（a+2b）（a2+2b2）
∵a+2b＝0
∴（a+2b）（a2+2b2）＝0
故答案为：0
22．【解答】解：∵x﹣b＞0，
∴x＞b，
∵不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2．
故答案为﹣3≤b＜﹣2．
23．【解答】解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝9，
∴当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0，即m﹣1≠0时，由分式方程无解，可得x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入（m﹣1）x＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4．
故答案为：1或4．
24．【解答】解：如图把点B向右平移1个单位得到E（1，3），作点E关于x轴的对称点F （1，﹣3），连接AF，AF与x轴的交点即为点Q，此时BP+PQ+QA的值最小．
设AF的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线AF的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，得到x＝，
∴Q（，0），
故答案为（，0）．
25．【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S
＝S△COE，
△BOD
═S△ABC＝＝，所以③正确；
∴四边形ODBE的面积＝S
△OBC
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S
＝•OE•OE＝OE2，
△ODE
即S
随OE的变化而变化，
△ODE
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S
≠S△BDE；所以②错误；
△ODE
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．
故答案为①③④．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共计30分）
26．【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝60，3x＝90．
答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．
（2）由题意，得：+＝1，
∴n＝90﹣m．
设施工总费用为w万元，则w＝15m+8n＝15m+8×（90﹣m）＝3m+720．
∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，
∴，
∴20≤m≤40．
∵15＞0，
∴w值随m值的增大而增大，
∴当m＝20时，完成此项工程总费用最少，此时n＝90﹣m＝60，w＝780万元．
答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元．27．【解答】解：（1）根据题意得：CD＝3tcm，CE＝tcm；
故答案为：3t，t；
＝BD•AH＝12，AH＝4，
（2）∵S
△ABD
∴AH×BD＝24，
∴BD＝6．
若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，t＝；
若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t＝；
综上所述：当t为s或s时，△ABD的面积为12cm2；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：如图所示：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD＝CE．
∵CE＝t，BD＝8﹣3t
∴t＝8﹣3t，
∴t＝2，
∵在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD＝CE．
∵CE＝t，BD＝3t﹣8，
∴t＝3t﹣8，
∴t＝4，
∵在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
28．【解答】解：（1）①CP﹣CF＝AE；理由如下：∵PD⊥AB，
∴∠PDE＝∠C＝90°，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC，
在Rt△PDE和Rt△PCF中，，
∴Rt△PDE≌Rt△PCF（HL），
∴DE＝CF，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠APD＝∠A＝45°，
∴AD＝PD，
∴AD＝CP，
∵AD﹣DE＝AE，
∴CP﹣CF＝AE；
②∵Rt△PDE≌Rt△PCF，
∴∠DPE＝∠CPF，
∴∠EPF＝∠DPC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DPC＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∴∠EPF＝135°；
（2）∵∠EPF＝135°，∠DPC＝135°，
∴∠DPE＝∠CPF，
在△PDE和△PCF中，，
∴△PDE≌△PCF（ASA），
∴DE＝CF，
在Rt△PCB和Rt△PDB中，，
∴Rt△PCB≌Rt△PDB（HL），
∴BC＝BD，
设DE＝CF＝x，则BD＝BC＝+﹣1+x，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝BC＝（+﹣1+x），
∵∠CFP＝60°，
∴∠CPF＝30°，
∴PF＝2CF＝2x，PC＝＝＝x，∴PD＝AD＝PC＝x，
∴AB＝AD+DE+BE＝x+x++﹣1，
∴（+﹣1+x）＝x+x++﹣1，
解得：x＝1，
∴AE＝+1，
∴S
＝AE•PD＝＝；
△AEP
（3）∵∠EPF＝135°，∠DPC＝135°，
∴∠DPE＝∠CPF，
在△PDE和△PCF中，，
∴△PDE≌△PCF（ASA），
∴DE＝CF，
在Rt△PCB和Rt△PDB中，，
∴Rt△PCB≌Rt△PDB（HL），
∴BC＝BD，
第21页（共21页）设AD ＝PD ＝PC ＝x ，则AP
＝
x ，∴BC ＝AC ＝x +x ，BP ＝＝＝x ，∵∠CFP ＝30°，PF ＝2x ，
∴CF ＝＝＝x ，∴DE ＝CF
＝x ，
∴BD ＝BE ﹣DE ＝（++1）m ﹣x ，
∵BD ＝＝＝
x
＝（+1）x ，∴（++1）m
﹣x ＝（
+1）x ，∴x ＝m ，AB ＝AC ＝（+1）m ＝（2+）m ，
∴AE ＝BE ﹣AB ＝（++1）m ﹣（2+）m ＝（﹣1）m ，
∴S △AEP ＝PD •AE ＝×m ×（
﹣1）m
＝．。