(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知正数x ，y 满足1431
x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．
53
B ．2
C ．
73
D ．6
2．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则
56
a b
+的最小值为（ ） A ．64
B ．81
C ．100
D ．121
3．若实数x ，y 满足约束条件210
10x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩
，则2z x y =-的最大值是（ ）
A ．1-
B ．2
C ．3
D ．4 4．已知实数满足约束条件0
20360x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
5．已知α，β满足11
123
αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）
A ．[1,7]
B ．[5,13]-
C ．[5,7]-
D ．[1,13]
6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大
值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．
254
B ．
499
C ．
144
25
D ．
225
49
7．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x
=+ B ．4
sin sin y x x
=+
（0πx << ） C ．343
x
x y -=+⨯
D ．lg 4log 10x y x =+
8．设x ，y 满足约束条件261322
x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨
⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
9．已知集合{
}
2
4120A x x x =--≤，{
}
440B x x =->，则A
B =（ ）
A ．{}12x x <≤
B ．{}2x x ≥-
C ．{}16x x <≤
D ．{}6x x ≥-
10．已知,20a b c a b c >>++=，则c
a
的取值范围是（ ） A ．31c
a
-<
<- B ．113c a -<
<- C ．21c
a
-<
<- D ．112
c a -<
<- 11．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1
b
B ．a 2>b 2
C ．
21a c +>21
b c + D ．a |c |>b |c |
二、填空题
13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则
22141
a b ++的最小值为___________. 14．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且21
3x y
+=-，则2a b +的最小值为__________．
15．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则z y x =-的最小值是__________．
16．正实数,x y 满足1x y +=，则
12
y x y
++的最小值为________． 17．实数,x y 满足20
25040x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
,则24z x y =+-的最大值是___.
18．已知圆1C ：()2
24x a y ++=和圆2C ：()2
221x y b +-=（,a b ∈R ，且
0ab ≠），若两圆外切，则22
22a b a b
+的最小值为______.
19．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则z x y =+的最大值为______.
20．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则
3211
x y
x y +--的最小值为______． 三、解答题
21．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()
f x y x
=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <.
22．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000
和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投
资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？
23．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫
=⋅-
⎪+⎝⎭
(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).
（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
24．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）设2
()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.
25．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．
（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 26．设1x >，且4
149(1)
x x +--的最小值为m ．
（1）求m ；
（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
化简
114[(1)]()131
x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】
由题得1
114
(1)1[(1)]31[(1)]()1331
x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+
-+ 114114(5)1(52)123131
y x y x x y x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.
2．D
解析：D 【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式
561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，
z ax by =+中，由于0,0a b >>，
a
b
是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax
by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=，
所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56
a b
+的最小值为121． 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．
3．D
解析：D 【分析】
画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】
画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪
<⎨⎪+-≥⎩
所表示的平面区域，如图所示，
.
目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10
210x y x y --=⎧⎨
-+=⎩
，解得(3,2)A ，
所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4．A
解析：A 【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122z
y x =-，通过平移直线法可求出2
z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数2z x y =-变形为122z
y x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2
z -最大，
所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
5．A
解析：A 【解析】
分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β） =（λ+v ）α+（λ+2v ）β． 比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨
+=⎩
，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6， 两式相加，得1≤α+3β≤7． 故α+3β的取值范围是[1，7]． 故选A
点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．
6．C
解析：C
【分析】
根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨
--=⎩解得4
3
x y =⎧⎨
=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点
()4,3取得最大值4312a b +=.
22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，
原点到直线43120x y +-=的距离为
22
1212
5
34-=
+， 所以22a b +的最小值为2
12144525⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】 A. 4
y x x
=+
，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令244
0110sinx t y t y t
t
（，），，＜，=∈
∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．
C ．244
x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立． D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．
8．C
解析：C 【分析】
作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】
作出x ，y 满足约束条件26
1322
x y x y y -≤⎧⎪⎪
+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，
目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，
又由2
1
32
y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
9．C
解析：C 【分析】
根据不等式的解法，求得集合{}
26A x x =-≤≤，{}
1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
412026A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}4401B x x x x =->=>，
根据集合交集的概念与运算，可得{}
16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求c
a
的取值范围 【详解】
解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，
所以2a c a --<，即3a c >-，解得
3c
a
>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1c
a
<-， 所以31c
a
-<<-， 故选：A 【点睛】
此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题
11．A
解析：A 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两
个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．C
解析：C 【分析】
首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】
当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11
a b
>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为
21
1c +>0，a >b ⇒2211
a b c c >++，故C 是正确的；
当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.
二、填空题
13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各
解析：6 【分析】
由条件可得(
)
2
2
312a b ++=，则()22
2222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭
由均值不等式可得答案. 【详解】
实数a ，b 满足22221a b +=，即2
2
12
a b +=
，所以()22
312a b ++=
则()22
2222
142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭
()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝
当且仅当2
2
22
141b a a b +=+, 又22
12a b +=，即22120
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
14．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（
解析：
2
【分析】
由条件化简可得2
18a b =，利用均值不等式求最小值即可.
【详解】
正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以
222221
2log log log 3a b a b x y
+=+==-， 所以2
18
a b =，
由均值不等式知，22
a b +≥=， 当且仅当2
a b =
，即a =
，4
b =时等号成立.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】
由z y x =-得y =x+z ，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC
平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，
由240
280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40
x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ． 代入目标函数z y x =-，得044z =-=-． 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】
方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；
（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
16．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7
【分析】 根据题中条件，由
1222()2212y x y x y y x
x y x y x y
++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】
因为正实数x ，y 满足1x y +=，
所以
1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即12
1
2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立.
故答案为：7. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化
解析：21 【分析】
画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可． 【详解】
画出,x y 满足的可行域，由20
250
x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经
过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
18．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最
解析：1 【分析】
根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：
2
2
49a b +=，据此可得22222211
a b a b a b
+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，
圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，
若两圆外切，则有2212||(0)(20)3C C a b R r ++-=+=，变形可得：2249a b +=， 22222222
2222222222111111414(4)()(5)(52)1999a b a b a b a b a b a b a b b a b a
+=+=++=+++⨯=，当且仅当222a b =时等号成立，
故22
22a b a b
+的最小值为1；
故答案为：1． 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．
19．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的
解析：1 【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，
当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.
20．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才
解析：526+. 【详解】
正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y y
x ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--
=-⎪⎩ 故得到113121323211=5++5+26111111x 1111y x y x x y y x y x y
⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------
（）（）
1111-y x ⎫⎫
-⎪⎪⎭⎭
. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．（1）91,,44
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
；（2）答案见解析. 【分析】
（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2
(21)20ax a x -++=的两根，求得18
a =
，得出()125
84
f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解； （2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集.
【详解】
（1）由题意，函数2
()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，
所以2
()(21)2f x ax a x =-++，
因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2
(21)20ax a x -++=的两根，
所以228c a a ⨯=
=，所以1
8a =，所以()12584
f x y x x x ==+-，
当0x >时，
12551
8444
x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；
当0x <时，
1251255
98484
44x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =
的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
.
（2）由2
()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，
因为0a >时，分三种情况讨论： ①当1
2a <，即12a >时，1()02f x x a
<⇒<<； ②当12a =，即1
2
a =时，无解； ③当
12a >，即1
02a <<时，1()02f x x a
<⇒<<，
综上所述，当
1
2
a>时，不等式
()0
f x<的解集为
1
|2
x x
a
⎧⎫
<<
⎨⎬
⎩⎭
；
当
1
2
a=时，不等式()0
f x<的解集为∅；
当
1
2
a
<<时，不等式()0
f x<的解集为
1
|2
x x
a
⎧⎫
<<
⎨⎬
⎩⎭
.
【点睛】
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；
（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
22．甲乙两项目投资额分别为1000万元和4000万元
【解析】
试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元.根据已知条件可列出可行域为5000
{0.40.21200
0,0
x y
x y
x y
+≤
+≤
≥≥
，目标函数为0.8
z x y
=+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()
1000,4000处取得最大值.
试题
设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元
5000
{0.40.21200
0,0
x y
x y
x y
+≤
+≤
≥≥
求0.8
z x y
=+最大值
如图作出可行域
当目标函数结果点()
1000,4000
A时，
0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，
此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大. 23．（1）3601808204
k
y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2
）4-；（3）0.65 【分析】
（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡
⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦
，进而结合基本不等式求出()4544
k
x x ++
+的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004
k
k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802
x x k x ++≥
+，求出
()()20842
x x x +++的最大值，令()()max
20841802
x x k x ++⎡⎤
≥⎢⎥+⎣
⎦，即可得出答案. 【详解】 （1）由题意，
80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--12306820
4k x x ⎛
⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭
3601808204
k
k x x =---+，
即3601808204
k
y k x x =-
--+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡
⎤=-
--=+-++⎢⎥++⎣⎦
， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以
()
4544
k
x x ++
≥=+4544k x x +
=+，即4x =时，等号成立.
所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤
=+-++
≤+-⎢⎥+⎣
⎦
故政府补贴为4
万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为
18012k +-.
（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004
k
k x x -
--≥+在
[0,10]x ∈上恒成立，
不等式整理得，()()20841802
x x k x ++≥
+，
令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()20848428
8202
x x m m m x m
m
++++==+
++， 由函数()8
820h m m m
=+
+在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********
h m h ==⨯+
+=+， 所以21801163
k ≥+，即2
11630.65180
k +
≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.
【点睛】
本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 24．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()2
3130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即
()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =
，23x =-，比较1
m
与-3的大小，进行讨论； 试题
（1）由题意()()2
2f x g x x x -+-=--，即()()2
2f x g x x x -=--，又
()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.
（2）由题意不等式即()2
3130mx m x +--<，
当0m =时，即30x --<，解得3x >-；
当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11
x m
=，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m
-<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m
>； 若13m =-，即1
3m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若
13m <-，即13m >-时，不等式的解为1
x m
<或3x >-；
综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭； 当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
或； 当0m =时，不等式的解集为{}3x x -；
当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.
25．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭
， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．
【分析】
（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；
（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.
【详解】
解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x
米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭
， 由4080020x x
->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）(
)8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x
=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．
【点睛】
本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 26．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
【分析】
（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)
x x +--的最小值； （2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497
x x x x +-=-+=--， 当且仅当4149(1)x x -=
-，即217x -=，也即97x =时等号成立， 故47
=m ． （2）由（1）知4,7m =
， 若不等式2407
ax ax -+ 的解集为R ，则 当0a = 时，407
恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩
， 解得1607a
<， 综上，1607
a ， 所以a 的取值范围为160,
7⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．。