山东省桓台第二中学高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

参考公式：1．22
112212211212
()n n n n n n n n n χ++++-=；2．22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
222121
[()()()]n s x x x x x x n =
-+-++- 1
3
V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 24S R π= 34
3
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． （1）已知集合1
{2,1,0,1,2}{|39R}3
x M P x x =--=<<∈，，，则M P =
（A ）{0,1}
（B ）{1
0}-，
（C ）{1,0,1}-
（D ）{2,1,0,1,2}--
（2）复数
313i
i
+- (i 为虚数单位)等于
（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -
（3）如图是一个几何体的三视图，则它的体积是 （A ）4 （B ）
83 （C ）2 （D ）16
3
（4）“33tan =
x ”是“)(6
2Z k k x ∈+=π
π”成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
2()P M M ≥
0.050 0.010 0.001 M
3.841
6.635
10.828
（5）实数x，y满足不等式组
1,
0,
0.
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪-≥
⎩
则
1
y
W
x
-
=的取值范围是
（A）)1,1
[-
（B）)2,1
[-（C）()21-，（D）[]11-，
（6）已知函数sin(6)
4
y x
π
=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移
8
π
个单位，所得函数的一个对称中心是
（A）(0)
16
π
，（B）(0)
9
π
，（C）(0)
4
π
，（D）(0)
2
π
，
（7）下面是计算P=1×2×3×4×…×2012的程序框图则判断框中的M代表
（A）i<2012 （B） i>2012 （C） i=2011 （D）i>2011
（8）函数cos
y x x
=⋅在坐标原点附近的图象可能是
（9） 已知{}n a 的前n 项和S n =n 2
-6n 则12||n a a a ++
+的值是
（A ）2
618n n -- （B ）2618
2
n n -+
（C ）2
618n n -+
（D ）
2618
2
n n --
（10）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的
数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},01,2,3,4,5a b ∈,，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 （A ） 29 （B ） 718 （C ） 49
（D ） 1
9
（11） 已知函数()f x 的导函数为()f x ',()f x '没有零点且图象是连续不断的曲线,又(2012)f x -的图象关于点(2012,0)对称.若函数定义域内的三个值a 、b 、c 满足)()0)()0a b b c a b c a ++>++>(，(，则()()()f a f b f c ++的值
（A ）大于零 （B ）小于零 （C ）等于零 （D ）正负都有可能
（12）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知
直线l 1:2x-y+a =0, l 2: 2x-y+a 2+1=0和圆：x 2+y 2
+2x-4=0相切，则a 的取值范围是
（A ）64a a ><-或 （B ） a a ><
（C ） 46a a -≤≤≤≤ （D ） 64a a ≥≤-或
第II 卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）某单位出现多人食物中毒，检验员怀疑与吃过食堂中的A 菜有关，将调查的有关数据
整理为下面的2×2列联表：
试运用独立性检验的思想方法分析：有 的把握认为吃过A 菜与食物中毒有关系. （14）若n 展开式的第四项为常数项，则n=_________.
（15）已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为 . （16）给出以下四个命题：
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2
:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题q p ∧是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=； ③函数()223x
f x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④若直线sin cos 10x y αα++=和直线1cos 102x y α-
-=垂直，则角2
k παπ=+或 26
k π
απ=+
()k Z ∈.
其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） （17）(本小题满分12分)
数列{a n }、{b n }均为各项都是正整数的等差数列，a n =n, b 1=1, 在集合M={(a i , b j )︳i=1,2, 3,…,n；j=1,2, 3,…,n}中满足a i +b j ≤4的点恰有4个. （Ⅰ）求b n 及{b n }的前n 项和S n ；
（Ⅱ）求
1
{
}
(21)n n
a
b +的前n 项和T n .
（18）(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=∠ACD=90︒
，∠BAC=∠CAD=60︒
，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB=1，PA=2. （Ⅰ）证明：直线CE ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PAC 所成角的余弦值.
（19）(本小题满分12分)
现代人普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练．某
大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置如下计分办法：
据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为5，挑战乙项目的成功概率为3
4
，挑战丙项目的成功概率为
1
2
． （Ⅰ）求某同学三个项目全部挑战成功的概率；
（Ⅱ）记该同学挑战三个项目后所得分数为X ，求X 的分布列并求EX ．
（20）(本小题满分12分) 已知0a >，函数()1ln a
f x x x
=
-+，()(1ln )x g x x e =-+（e 为自然对数底数）. （I ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值()h a ；
（II ）是否存在0(0,]x e ∈使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；
若不存在，请说明理由. (21) (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点(0,的距离之和等于4，设点P 轨迹为C .
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A B 、两点，以AB 为直径的圆过原点O ,求k 的值； （Ⅲ）若点A 在第一象限,证明:当0k >时,恒有||||OA OB >.
（22）（本小题满分10分）
已知ABCD 为圆内接四边形，AB ⊥AD ,延长BC 、AD 相
交于点E ，过三点D 、C 、E 的圆与BD 的延长线交于点F ．
求证: EC ⋅EB -DB ⋅DF=DE 2
理科数学参考答案
即b n =1+(n-1)2=2n-1，
2(121).2n n n
S n +-=
=………………………………6分
（Ⅱ）有（Ⅰ）知11111()
(21)(21)(21)22121n n a b n n n n ==-++--+……8分
1122
111(21)(21)(21)n n T a b a b a ∴=
++
+
+++
1111
11
211211221221
2121n n =
-+-+
+
-
⨯-⨯+⨯-⨯+-+………………10分
1212121n
n n =-
=
++．…………………………………
………12分
18．(本小题满分12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连接EF 、CF ， 则EF ∥PA ，∴EF ∥面PAB
在Rt ∆ABC 中，︒=∠=60,1BAC AB 所以AC=2，
在ACD RT ∆中，︒=∠60CAD
所以AD=4，因为F 为中点，所以AF=2， 所以ACF ∆为正三角形， 所以︒=∠=∠60BAC ACF 所以CF ∥AB ，所以CF ∥面PAB
即面CEF ∥面PAB ，所以CE ∥面PAB ，
H
F
E
A B
P
C
D
（2）(法一)∵PA ⊥面ABC ，∴PA ⊥CD ，又∠ACD=0
90，∴CD ⊥面PAC
∴面DPC ⊥面PAC ，作EH ⊥PC 于H 点，则EH ⊥面PAC ∴∠ECH 为CE 与平面PAC 所成的角
在Rt ∆PCD 中，
，
∴
∵E 为中点，∴
，
∴sin ∠ECH=EH EC
=5
所以CE 与平面PAC
所成角的余弦值为5
（法二）建立如图所示的坐标系，
则A （0，0，0）、B （1，0，0）、C （1
0）、D （-2，
0）、P （0，0，2） 所以有E （-1
，1）、
AP =(0,0,2), AC =（1
0）
设面PAC 的法向量为n =（x ，y ，z ）
则00
AP n AC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即00z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴n =（
1，0） 又CE =（-2，0，1） ∴cos ,CE n <>=
||||CE n CE
n =
设直线CE
与平面PAC 所成角为θ，则有sin θ
=
5
∴cos θ
=
5，即直线CE 与平面PAC 所成角的余弦值为5
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）甲乙丙这三个项目全部挑战成功的概率
431139
1(1)(1)(1)15424040
P =----=-=
；………………………………………4分
（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100。

…………6分
1111(0)54240P X ==⋅⋅=
，4111
(10)54210P X ==⋅⋅=， 1313(30)54240P X ==⋅⋅=
，4313
(40)54210P X ==⋅⋅=， 1111(60)54240P X ==⋅⋅=
，4111
(70)54210P X ==⋅⋅=， 1313
(90)54240P X ==⋅⋅=
，
4313
(100)54210
P X ==⋅⋅=。

………………………………………8分
所以X 的分布列为
E （X ）=0×
140+10×110+30×340+40×310+60×140+70×110+90×340+100×310
=60.5(分)
所以该同学所得分的数学期望为60.5分…………………………………………12分 20．(本小题满分12分)
解：（I ）函数()1ln a
f x x x
=-+的定义域为{x|x>0} 因为x
x a x f 1)('2+-
=， a>0时解0)('>x f 得x>a
所以当x>a 时f(x)单调递增，当0<x<a 时，f(x)单调递减， 因此:
当a 属于（0，e]时，函数在x=a 处取得最小值a a f ln )(= 当a>e 时，函数在x=e 处取得最小值e
a e f =)( 综上：
当0≤a 时，函数f(x)在区间（0，e]上无最小值；
当a 属于（0，e]时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为lna ；
当a>e 时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为e
a
（II ）：
函数()(1ln )x
g x x e =-+的定义域为{x|x>0}
1)1ln 1
(1)1(ln )('+-+=+-+=x x
e e x x e x g x x x
由（I ）知：当a 属于（0，e]时，函数f(x)在区间（0，e]上最小值为lna ，因此)1ln 1
(-+x x
可以看作是函数f(x)中a=1, 因此)1ln 1
(
-+x x
在区间（0，e]上的最小值为ln1=0, 因此： 11)1ln 1
(1)1(ln )('≥+-+=+-+=x x
e e x x e x g x x x 即)('x g 在区间（0，e]上不可能为零，因此：
不存在],0(0e x ∈，使曲线y=g(x)在点0x x =处的切线与y 轴垂直。

22.（本小题满分10分）
证明：因为ABCD 为圆内接四边形，AB ⊥AD ,因为圆内接四边形对角互补，所以
90BCD ∠=。

…………………3分
由题意，四边形CDFE 为圆内接四边形，所以BCD DFE ∠=∠， 所以BAD DFE ∠=∠，所以∆DFE ∽∆DAB 。

…………………6分
所以,DB DE
DB DF DA DE DA DF
=∴=，
所以EC ⋅EB -DB ⋅DF=ED ⋅EA -DA ⋅DE=DE ⋅ (EA -DA )=DE 2.……………………10分。