高考数学复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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跟踪训练 若数列{an}(n≥2),a1 = .1
2 (1)求证: 1 是等差数列;
Sn
证实 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0, 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,∴S1n-Sn1-1=2,
又S11=a11=2,
故S1n是首项为 2,公差为 2 的等差数列.
33/75
跟踪训练 (1)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和
S11等于
A.58
√B.88
C.143
D.176
解析 S11=11a12+a11=11a42+a8
=11×2 16=88.
解析 答案 34/75
(2)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若TSnn=23nn+-12,则ab77等于
∴a100=a10+90d=98,故选C.
解析 答案 20/75
思维升华 等差数列运算问题通性通法 (1)等差数列运算问题普通求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前 n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列通项公式及前n项和公式,共包括五个量a1,an,d,n,Sn,知 其中三个就能求另外两个,表达了用方程思想处理问题.
解析 答案 38/75
典例2 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求 当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它最大值.
规范41/解75 答
课时作业
46/75
基础保分练
1.(·济南质检)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于
A.-1
√B.0
C.1
解答 24/75
引申探究 本例中,若将条件变为a1=35 ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an} 通项公式. 解 由已知可得na+n+11 =ann+1,即na+n+11 -ann=1,又 a1=35, ∴ann是以a11=35为首项,1 为公差的等差数列, ∴ann=35+(n-1)·1=n-25,∴an=n2-25n.
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基础自测
题组一 思索辨析 1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它前一项差都是常数,则这个数列是等 差数列.( )× (2)等差数列{an}单调性是由公差d决定.( ) √ (3)等差数列前n项和公式是常数项为0二次函数.( ) ×
123456
D.6
解析 因为数列是等差数列,a2=4,2a4=a2+a6=4,所以a6=0,故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案 47/75
2.(·日照模拟)由公差为d等差数列a1,a2,a3,…组成新数列a1+a4, a2+a5,a3+a6,…是 A.公差为d等差数列
解析 答案 31/75
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=-2 014,2S2001144 -2S2000088 =6, 则 S2 018=__6__0_5_4__. 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d,则2S2001144 -2S2000088 =6d=6,∴d=1. 故2S2001188 =S11+2 017d=-2 014+2 017=3, ∴S2 018=3×2 018=6 054.
√A.3277
B.1194
C.3299
D.43
解析
ab77=22ab77=ab11+ +ab1133=ba11++22 ba1133××1133=TS1133
=23××1133+-12=3277.
解析 答案 35/75
高频小考点 等差数列前n项和及其最值
考点分析
公差不为0等差数列,求其前n项和与最值在高考中时常出现,题型有 小题,也有大题,难度不大.
21/75
题型二 等差数列判定与证实
师生共研
典例 已知数列{an}中,a1=35,an=2-an1-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn=an-1 1(n∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列;
证实 22/75
(2)求数列{an}中最大项和最小项,并说明理由. 解 由(1)知 bn=n-72,则 an=1+b1n=1+2n2-7. 设 f(x)=1+2x-2 7, 则 f(x)在区间-∞,72和72,+∞上为减函数. 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 7.等差数列前n项和最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;若a1<0,d>0,则Sn 存在最 小 值.
7/75
【知识拓展】 等差数列四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
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5.等差数列前n项和公式
na +a nn-1 1 n
na + d 1
设等差数列{a }公差为d,其前n项和S = 2 或S = 2 . n
n
__________________________
n
_________________________________
6.等差数列前n项和公式与函数关系 Sn=d2n2+a1-d2n.
解得d=4.故选C.
解析 答案 19/75
2.(·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项和为27,a10=8,则a100等于
A.100
B.99
√C.98
D.97
解析 由等差数列性质,知 S9=9a12+a9=9×22a5=9a5=27,得 a5=3,
而 a10=8,因此公差 d=a1100--a55=1,
解析 由等差数列性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, ∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
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解析 答案 13/75
题组三 易错自纠 4.一个等差数列首项为 d取值范围是 A.d>785
2,15从第10项起开始比1大,则这个等差数列公差 B.d<235
C.785<d<235
解析 答案 30/75
命题点2 等差数列前n项和性质
典例 (1)设等差数列{an}前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等 于
A.63
√B.45
C.36
D.27
解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3) =S3+(S9-S6), 得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
4/75
3.等差中项
由三个数a,A,b组成等差数列能够看成最简单等差数列.这时,A叫做a
与b
等差中. 项
5/75
4.等差数列惯用性质 (1)通项公式推广:an=am+ (n-m)(dn,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公 差为 md 等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…组成等差数列.
证实 27/75
(2)求数列{an}通项公式.
解答 28/75
题型三 等差数列性质应用
多维探究
命题点1 等差数列项性质 典例 已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+ b6=____2_1___.
解析 因为{an},{bn}都是等差数列, 所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6, 所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即2×15=9+(a5+b6), 解得a5+b6=21.
9/75
(4)已知等差数列{an}通项公式an=3-2n,则它公差为-2.( ) √ (5)数列{an}为等差数列充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.
(√ )
(6)已知数列{an}通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定 是等差数列.( √)
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第六章 数 列
§6.2 等差数列及其前n项和
1/75
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
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基础知识 自主学习
3/75
知识梳理 1.等差数列定义 普通地,假如一个数列 从第2项起,每一项与它前一项差等于同一个 _________________________________________________________________________________________________________________________ 常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 公差,通 惯用字母 表d 示. 2.等差数列通项公式 假如等差数列{an}首项为a1,公差为d,那么它通项公式是 an=a1+(n-1)d .
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解析 答案 17/75
题型分类 深度剖析
18/75
题型一 等差数列基本量运算
自主演练
1.(·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则
{an}公差为
A.1
B.2
√C.4
D.8
解析 设{an}公差为d,
由Sa64=+4a85=,24,
a1+3d+a1+4d=24, 得6a1+6×2 5d=48,
解答 25/75
思维升华 等差数列四个判定方法 (1)定义法:证实对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证实对任意正整数n都有2an+1=an+an+2. (3)通项公式法:得出an=pn+q后,再依据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证实数列{an}为 等差数列.
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解析 答案 16/75
6.一物体从1 960 m高空降落,假如第1秒降落4.90 m,以后每秒比前 一秒多降落9.80 m,那么经过_____2_0__秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中,每一秒降落距离组成首项为4.90,公差为9.80等 差数列. 所以4.90t+12t(t-1)×9.80=1 960, 即4.90t2=1 960,解得t=20.
√D.785<d≤235
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解析 答案 14/75
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=____8____时,{an} 前n项和最大.
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0. 又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0. 故当n=8时,其前n项和最大.
10/75
题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,
则S8等于 A.31
√B.32
C.33
D.34
123456
解析 答案 11/75
3.[P39T5]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8 =___1_8_0___.
√B.公差为2d等差数列
C.公差为3d等差数列
D.非等差数列
36/75
典例1 (1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列
前10项和S10等于
√A.45
B.60
C.75
D.90
解析 由题意得a3+a8=9, 所以 S10=10a12+a10=10a32+a8=102×9=45.
解析 答案 37/75
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=__-__1_1_0__.
解析 答案 32/75
思维升华 等差数列性质 (1)项性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq. (2)和性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an.
跟踪训练 若数列{an}(n≥2),a1 = .1
2 (1)求证: 1 是等差数列;
Sn
证实 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0, 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,∴S1n-Sn1-1=2,
又S11=a11=2,
故S1n是首项为 2,公差为 2 的等差数列.
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跟踪训练 (1)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和
S11等于
A.58
√B.88
C.143
D.176
解析 S11=11a12+a11=11a42+a8
=11×2 16=88.
解析 答案 34/75
(2)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若TSnn=23nn+-12,则ab77等于
∴a100=a10+90d=98,故选C.
解析 答案 20/75
思维升华 等差数列运算问题通性通法 (1)等差数列运算问题普通求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前 n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列通项公式及前n项和公式,共包括五个量a1,an,d,n,Sn,知 其中三个就能求另外两个,表达了用方程思想处理问题.
解析 答案 38/75
典例2 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求 当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它最大值.
规范41/解75 答
课时作业
46/75
基础保分练
1.(·济南质检)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于
A.-1
√B.0
C.1
解答 24/75
引申探究 本例中,若将条件变为a1=35 ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an} 通项公式. 解 由已知可得na+n+11 =ann+1,即na+n+11 -ann=1,又 a1=35, ∴ann是以a11=35为首项,1 为公差的等差数列, ∴ann=35+(n-1)·1=n-25,∴an=n2-25n.
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基础自测
题组一 思索辨析 1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它前一项差都是常数,则这个数列是等 差数列.( )× (2)等差数列{an}单调性是由公差d决定.( ) √ (3)等差数列前n项和公式是常数项为0二次函数.( ) ×
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D.6
解析 因为数列是等差数列,a2=4,2a4=a2+a6=4,所以a6=0,故选B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 答案 47/75
2.(·日照模拟)由公差为d等差数列a1,a2,a3,…组成新数列a1+a4, a2+a5,a3+a6,…是 A.公差为d等差数列
解析 答案 31/75
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=-2 014,2S2001144 -2S2000088 =6, 则 S2 018=__6__0_5_4__. 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d,则2S2001144 -2S2000088 =6d=6,∴d=1. 故2S2001188 =S11+2 017d=-2 014+2 017=3, ∴S2 018=3×2 018=6 054.
√A.3277
B.1194
C.3299
D.43
解析
ab77=22ab77=ab11+ +ab1133=ba11++22 ba1133××1133=TS1133
=23××1133+-12=3277.
解析 答案 35/75
高频小考点 等差数列前n项和及其最值
考点分析
公差不为0等差数列,求其前n项和与最值在高考中时常出现,题型有 小题,也有大题,难度不大.
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题型二 等差数列判定与证实
师生共研
典例 已知数列{an}中,a1=35,an=2-an1-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn=an-1 1(n∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列;
证实 22/75
(2)求数列{an}中最大项和最小项,并说明理由. 解 由(1)知 bn=n-72,则 an=1+b1n=1+2n2-7. 设 f(x)=1+2x-2 7, 则 f(x)在区间-∞,72和72,+∞上为减函数. 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数). 7.等差数列前n项和最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;若a1<0,d>0,则Sn 存在最 小 值.
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【知识拓展】 等差数列四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
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5.等差数列前n项和公式
na +a nn-1 1 n
na + d 1
设等差数列{a }公差为d,其前n项和S = 2 或S = 2 . n
n
__________________________
n
_________________________________
6.等差数列前n项和公式与函数关系 Sn=d2n2+a1-d2n.
解得d=4.故选C.
解析 答案 19/75
2.(·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项和为27,a10=8,则a100等于
A.100
B.99
√C.98
D.97
解析 由等差数列性质,知 S9=9a12+a9=9×22a5=9a5=27,得 a5=3,
而 a10=8,因此公差 d=a1100--a55=1,
解析 由等差数列性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, ∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
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解析 答案 13/75
题组三 易错自纠 4.一个等差数列首项为 d取值范围是 A.d>785
2,15从第10项起开始比1大,则这个等差数列公差 B.d<235
C.785<d<235
解析 答案 30/75
命题点2 等差数列前n项和性质
典例 (1)设等差数列{an}前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等 于
A.63
√B.45
C.36
D.27
解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3) =S3+(S9-S6), 得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
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3.等差中项
由三个数a,A,b组成等差数列能够看成最简单等差数列.这时,A叫做a
与b
等差中. 项
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4.等差数列惯用性质 (1)通项公式推广:an=am+ (n-m)(dn,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公 差为 md 等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…组成等差数列.
证实 27/75
(2)求数列{an}通项公式.
解答 28/75
题型三 等差数列性质应用
多维探究
命题点1 等差数列项性质 典例 已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+ b6=____2_1___.
解析 因为{an},{bn}都是等差数列, 所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6, 所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即2×15=9+(a5+b6), 解得a5+b6=21.
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(4)已知等差数列{an}通项公式an=3-2n,则它公差为-2.( ) √ (5)数列{an}为等差数列充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.
(√ )
(6)已知数列{an}通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定 是等差数列.( √)
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第六章 数 列
§6.2 等差数列及其前n项和
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内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
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基础知识 自主学习
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知识梳理 1.等差数列定义 普通地,假如一个数列 从第2项起,每一项与它前一项差等于同一个 _________________________________________________________________________________________________________________________ 常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 公差,通 惯用字母 表d 示. 2.等差数列通项公式 假如等差数列{an}首项为a1,公差为d,那么它通项公式是 an=a1+(n-1)d .
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解析 答案 17/75
题型分类 深度剖析
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题型一 等差数列基本量运算
自主演练
1.(·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则
{an}公差为
A.1
B.2
√C.4
D.8
解析 设{an}公差为d,
由Sa64=+4a85=,24,
a1+3d+a1+4d=24, 得6a1+6×2 5d=48,
解答 25/75
思维升华 等差数列四个判定方法 (1)定义法:证实对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证实对任意正整数n都有2an+1=an+an+2. (3)通项公式法:得出an=pn+q后,再依据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证实数列{an}为 等差数列.
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解析 答案 16/75
6.一物体从1 960 m高空降落,假如第1秒降落4.90 m,以后每秒比前 一秒多降落9.80 m,那么经过_____2_0__秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中,每一秒降落距离组成首项为4.90,公差为9.80等 差数列. 所以4.90t+12t(t-1)×9.80=1 960, 即4.90t2=1 960,解得t=20.
√D.785<d≤235
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解析 答案 14/75
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=____8____时,{an} 前n项和最大.
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0. 又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0. 故当n=8时,其前n项和最大.
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题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,
则S8等于 A.31
√B.32
C.33
D.34
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解析 答案 11/75
3.[P39T5]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8 =___1_8_0___.
√B.公差为2d等差数列
C.公差为3d等差数列
D.非等差数列
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典例1 (1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列
前10项和S10等于
√A.45
B.60
C.75
D.90
解析 由题意得a3+a8=9, 所以 S10=10a12+a10=10a32+a8=102×9=45.
解析 答案 37/75
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=__-__1_1_0__.
解析 答案 32/75
思维升华 等差数列性质 (1)项性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq. (2)和性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an.