格林公式的另一形式

11.3 格林公式及其应用 4

{ QP , } τd s
L
L
两类曲线积分的关系（200页）
{ Q , P } { c o s, c o s} d s
{ P , Q } { c o s, c o s} d s
L
τ
L
D
n
{ P ,Q }n d s
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线
此公式称为格林公式
D
L
Q P P d x Q d y ( ) d x d y x y L D
11.3 格林公式及其应用 2
格林公式的另一形式：用第一类曲线积分表示
P Q ( ) d x d y ( P c o s Q c o s ) d s x y L D
L
D
散 divA P Q 度 x y
单位时间流出 D 的流量
τ
L
D
n
τ { c o s, c o s }
n { c o s, c o s}
11.3 格林公式及其应用 1
格林公式
Green’s Theorem
定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围 成，函数 P(x, y)及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶 连续偏导数，则有
Q P P ( x ,) y d x Q ( x ,) y d y ( ) d x d y x y L D
L
τ { c o s, c o s }
n { c o s, c o s}
11.3 格林公式及其应用 5
格林公式的另一形式
P Q ( P c o s Q c o s ) d s ( )d x d y x y L D
( A n ) ds divA d

L
{ QP , } τd s
L
L
两类曲线积分的 关系(200页)
τ
L
n
{ Q , P } { c o s, c o s} d s
D
n { c o s, c o s} τ { c o s, c o s }
P Q Q d xP d y ( )dxdy x y D L
L
D
n
《高等数学学习手册》277页 表 10.3.1 格林公式
n { c o s, y P d x Q d y x y D L
推导 将 Q 换成 P，P 换成 -Q，得
11.3 格林公式及其应用 3
P Q ( ) dxdy Q d xP d y x y D