三角形全等复习题带答案

D
O C
B
A
A B
C
D
E
F
全等三角形
一、选择 1、(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示✍ABC 、✍ACD 、 ✍EFG 、✍EGH 。

若?ACB =?CAD =?EFG =?EGH =70?，?BAC =?ACD =?EGF =?EHG =50?，则下列叙述何者正确 ( )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等
(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
2．（2008年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（ ） Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．35
3、（2008山东潍坊）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,BE 平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ） =BF =ED =DC D.∠ABE =∠DFE ，
二、填空
1.（2008佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．
2.（2008年江苏省南通市）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
3、(2008年荷泽市)如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ ∥AE ；
G 50? A
B
C
D
E F 70?
50? 70?
50?
70?
50?
70? H
甲
乙 丙
丁
A
B
C
E D
O P
Q
③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
4.（2008海南省）已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，要使△ABC ≌△A 1B 1C 1，还需添加一个．．条件，这个条件可以是
.
5、(2008 湖北 天门)如图，已知AE ＝CF ，∠A ＝∠C ，要使△ADF ≌△CBE ，还需添加一个条件____________________(只需写一个)．
6. (08仙桃等)如图，ABC ∆中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使
ABD ∆与ABC ∆ 全等，那么点D 的坐标是 .
三、解答题
1、（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC 和DEF 。

将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O 。

（1）当DEF 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是 。

（2）当DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗请说明理由。

（3）在图③中，连接BO ，AD,探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明。

2、（2008浙江湖州） 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及延长线上的点，
A B C
D
E
F
x
y
O
A B
C
CF ∥BE ，
（1）求证：△BDE ≌△CDF
（2）请连结BF 、CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。

3．（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥．
4.（2008四川达州市）（6分）含30角的直角三角板ABC （30B ∠=）绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α（90α∠<），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 与B C '交于点M ，A B ''与BC 交于点N ，A B ''与AB 相交于点E ． （1）求证：ACM A CN '△≌△．
（2）当30α∠=时，找出ME 与MB '的数量关系，并加以说明．
5．（2008浙江金华）(本题6分)如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。

， AB = DC ，AC = BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。

(直接写出结论，不需证明) 。

6.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．
图1
图2
D
C A B
（第22题）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥．
7．（2008年陕西省）已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．
求证：ABC CDE △≌△．
8.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为40． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有
个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
9.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．
求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．
10.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，
图1
图2
D
C E A B
（第22题）
A
D
B
C E
D C
B
A
O （第23题）
1 2 3 4
连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证： CG AE ；
11.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
12.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点
C 旋转的度数=______；
(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．
13.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥
BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．
（1）求证：CF =AD ；
F
E
D C A D
(1)
(2)
A C
B E
D E
A C
B E
D
l
(3) l D ’
F A C B
E
D
(4)
A C
B E D l E ’
C ’ A
E
B
C
F
D
（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么
14.(2008 河北)如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，
连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗若成立，给出证明；若
不成立，请说明理由．
15.（2008 四川 泸州）如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF
16.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。

”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP 。

之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 外，原题中其它条件不变，发现“BQ ＝CP ” 仍然成立，请你就图②给出证明。

A
（E ） B
C （F ） P
l
l
l
B F
C 图1
图2
图3
P
F E D
C B A
17．（2008湖北黄石）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，，CF AB ∥．求证：AD CF =．
18．(2008北京)已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，
AB CE =，BC ED =．
求证：AC CD =．
19．(2008安徽)已知：点O 到ABC △的两边AB AC ，所在直线的距离相等，且OB OC =．
（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =； （2）如图2，若点O 在ABC △的内部，求证：AB AC =； （3）若点O 在ABC △的外部，AB AC =成立吗请画图表示．
20、无图形（2008 西宁）如图9，一块三角形模具的阴影部分已破损．
（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带 残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC 的形状和大 小完全相同的模具A B C '''请简要说明理由．
（2）作出模具A B C '''△的图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
21、（2008 四川 内江）如图，在ABC △中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE =∠∠，AD 与CE 相交于点F ，试判断AFC △的形状，并说明理由．
A
B C
D
E
F
A
C
E
D
B
第22题图1
第22题图2
A
A
B
B
C
C E
F D
O
B C
D F
A E
22、(2008 浙江 丽水)如图，正方形ABCD 中，E 与F 分别是AD 、BC 上一点．在①AE CF =、②BE ∥DF 、③12∠=∠中，请选择其中一个条件，证明BE DF =． （1）你选择的条件是 ▲ （只需填写序号）； （2）证明：
23、（2008 山东 临沂）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。

⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：
①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC;
②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。

24、(2008年镇江)（本小题满分6分）作图证明
如图，在ABC △中，作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交AB 于E ，BC 于F ，垂足为O ，连结DF ．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹） 25、(2008年金华市) (本题6分)如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。

， AB = DC ，AC =
BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。

(直接写出结论，不需证明) 。

26、(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．
第25题图 A M
N
D
B C A M N D
B C A M
N D B C
C F A B
D
E 1
2
（第18题）
A B
求证：OA ＝OD ．
27.（2008齐齐哈尔）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．
（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．
28.没有地方如图，在
ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形
29、（2008年?南宁市）如图8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF 。

（1）图中有几对全等的三角形请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。

解：（1）3对。

分别是：
△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF 。

（2）△BDE ≌△CDF 。

证明：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 所以∠BED=∠CFD=90° 又因为D 是BC 的中点，
所以BD=CD
在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，
⎩
⎨
⎧==CF BE CD
BD 所以△BDE ≌△CDF 。

B B M B
C N C
N M C N M 图1 图2 图3
A A A D D D
30、(2008 江苏 常州)已知:如图,AB=AD,AC=AE ,∠BAD=∠CAE. 求证:BC=DE.
31、(2008年福建省福州市)（1）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．
32、 (2008年广东湛江市)如图7所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与
BD 相交于点O ．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．
33、（2008新疆建设兵团）如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠B ．
求证：AB =AC +CD ．
（第22题）E
D A
B C
图7 D
B
A
O
C
四、答案
一、选择
B D A
二、填空
1、C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠
2、120
3、 ①②③⑤．
4、答案不唯一（如：∠B=∠B 1，∠C=∠C 1，AC=A 1C 1）
5、AD=BC 或∠D ＝∠B 或∠AFD ＝∠CEB
6、 )14(-， )31(，- )1,1(--
三、解答题
1、解：（1）AFD DCA ∠=∠（或相等） （2）AFD DCA ∠=∠（或成立），理由如下 方法一：由ABC DEF ≅，得
(),,,AB DE BC EF BF EC ABC DEF BAC EDF ===∠=∠∠=∠或
,ABC FBC DEF CBF ABF DEC ∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠
在ABF 和DEC 中 AFD DCA ∠=∠
AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
,,,,ABF DEC BAF EDC
BAC BAF EDF EDC FAC CDF AOD FAC AFD CDF DCA AFD DCA
∴≅∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠
方法二、连接AD ，同方法一，ABF DEC ≅，所以AF=DC 。

由,ABC DEF FD CA ≅=得。

可证,AFD DCA AFD DCA ≅∠=∠。

（3）如图，BO AD ⊥
方法一：由,ABC DEF ≅点B 与点E 重合，得,BAC BDF BA BD ∠=∠=， 所以点B 在AD 的垂直平分线上， 且BAD BDA ∠=∠
OAD BAD BAC ODA BDA BDF OAD ODA
∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠
所以OA=OD ，点O 在AD 的垂直平分线上，故BO AD ⊥。

方法二：延长BO 交AD 于点G 。

同方法一OA=OD ，可证,ABO DBO ABG DBG ≅≅ 则0
90,AGB DGB BO AD ∠=∠=∴⊥。

2证明：（1）∵CF ∥BE ∴EBD ＝FCD
又∵∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ∴△BDE ≌△CDF
（2）四边形BECF 是平行四边形 由△BDE ≌△CDF 得ED ＝FD ∵BD ＝CD
∴四边形BECF 是平行四边形
3、（1）解：图2中△ABE ≌C △ACD
证明如下：
∵△ABC 与AED 均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分 ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD ………………4分 ∴△ABE ≌△ACD ………………6分 (2)证明：由（1）△ABE ≌△ACD 知 ∠ACD=∠ABE=45°………………7分 又∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° ∴DC ⊥BE ………………9分
4解（1） 证明：∵∠A=∠A ′ AC ＝A ′C
∠ACM ＝∠A ′CN ＝900
－∠MCN ∴ACM A CN '△≌△ （2）在Rt △ABC 中 ∵30B ∠=，∴∠A ＝900
－300
＝600
又∵30α∠=，∴∠MCN ＝300
，
∴∠ACM ＝900－∠MCN ＝60
∴∠EMB ′＝∠AMC ＝∠A ＝∠MCA ＝600
∵∠B ′＝∠B ＝300
所以三角形MEB ′是Rt △MEB ′且∠B ′＝300
所以MB ′＝2ME
5、解(1)证明：在ΔABC 和ΔDCB 中
E B
M
A
C
A '
N
B '
AB DC BC CB AC BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ΔABC ≌ΔDCB(SSS) (2)等腰三角形。

6（1）解：图2中△ABE ≌C △ACD
证明如下：
∵△ABC 与AED 均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分 ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD ………………4分 ∴△ABE ≌△ACD ………………6分 (2)证明：由（1）△ABE ≌△ACD 知 ∠ACD=∠ABE=45°………………7分 又∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° ∴DC ⊥BE ………………9分 7证明：AC DE ∥，
ACD D ∴∠=∠，BCA E ∠=∠．、） 又ACD B ∠=∠， B D ∴∠=∠． 又AC CE =， ABC CDE ∴△≌△． （6分
8解：（1）如图1；
（2）如图2；
（3）4． （8分）
9证明：（1）在ABC △和ADC △中
1234AC AC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
ABC ADC ∴△≌△．
（2）ABC ADC △≌△，AB AD ∴=．又12∠=∠，BO DO ∴=．
2cm 40°
2cm
1cm 40°
图1 图2
10证明： 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形
,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=
,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△，
AE CG ∴=
11证明：（1）CF 平分BCD ∠，BCF DCF ∴∠=∠． 在BFC △和DFC △中，
BC DC BCF DCF FC FC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
． BFC DFC ∴△≌△． （2）连结BD ．
BFC DFC △≌△， BF DF ∴=，
FBD FDB ∴∠=∠．
DF AB ∥，ABD FDB ∴∠=∠． ABD FBD ∴∠=∠．
AD BC ∥，BDA DBC ∴∠=∠． BC DC =，DBC BDC ∴∠=∠． BDA BDC ∴∠=∠．
又BD 是公共边，∴BAD BED △≌△． AD DE ∴=．
12解：(1) 3-3；
(2)30°；
(3)证明：在△AEF 和△D ′BF 中，
∵AE =AC -EC , D’ B =D’ C -BC ， 又AC =D’ C ,EC =BC ，∴AE =D’ B．
又 ∠AEF =∠D’ BF =180°-60°=120°，∠A =∠CD’E =30°，
∴△AEF ≌△D’ BF．∴AF =FD’．
13（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠F ＝∠DAE 又∵∠FEC ＝∠AED CE ＝DE
∴△FEC ≌△AED ∴CF ＝AD
（2）当BC ＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上 其理由是：
∵BC ＝6 ，AD ＝2 ，AB ＝8 ∴AB ＝BC ＋AD
又∵CF ＝AD ，BC ＋CF ＝BF
∴AB ＝BF
∴点B 在AF 的垂直平分线上。

14解：（1）AB AP =；AB AP ⊥． （2）BQ AP =；BQ AP ⊥．
证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=． 又
AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．
在Rt BCQ △和Rt ACP △中，
BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，
Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．
②如图2，延长BQ 交AP 于点M ．
Rt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．
在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，
241390∴∠+∠=∠+∠=． 90QMA ∴∠=．BQ AP ∴⊥．
（3）成立． 证明：①如图3，45EPF ∠=，45CPQ ∴∠=．
又
AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．
在Rt BCQ △和Rt ACP △中，
BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，
Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．
②如图4，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．
Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．
在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，
90APC PBN ∴∠+∠=．90PNB ∴∠=． QB AP ∴⊥．
l
A
B F
C Q 图2
M
1
2 3
4 E
P l
A
B
Q
P E
F 图4
N C
15证明：
090FAE BAD ∠=∠=
FAE BAE BAD BAE
FAB EAD
∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠
FAB EAD
AB AD ABF ADE DE BF FBA EDA Rt ∠=∠⎫⎪
=⇒≅⇒=⎬⎪∠=∠=∠⎭
16证明：∵∠QAP ＝∠BAC
∴∠QAP ＋∠PAB ＝∠PAB ＋∠BAC
即∠QAB ＝∠PAC △ABQ 和△ACP 中 AQ ＝AP
∠QAB ＝∠PAC AB ＝AC
17证明：AB CF ∥，A ECF ∴∠=∠（2分）
又AED CEF ∠=∠，AE CE =， AED CEF ∴△≌△．（5分） AD CF ∴=． （6分） 18证明：
AB ED ∥，B E ∴∠=∠．
在ABC △和CED △中，
AB CE B E BC ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，，，ABC CED
∴△≌△．AC CD ∴=．
19[证]（1）过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E F ，分别是垂足，由题意知，OE OF =，
OB OC =，Rt Rt OEB OFC ∴△≌△，B C ∴∠=∠，从而AB AC =．
（2）过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E F ，分别是垂足， 由题意知，OE OF =．在Rt OEB △和Rt OFC △中，
OE OF =，OB OC =，Rt Rt OEB OFC ∴△≌△．OBE OCF ∴∠=∠，
又由OB OC =知OBC OCB ∠=∠，ABC ACD ∴∠=∠，AB AC ∴=． 解：（3）不一定成立．
20解：（1）只要度量残留的三角形模具片的B C ∠∠，的度数和边BC 的长， 因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
（2）按尺规作图的要求，正确作出A B C '''∠的图形． 21证：由条件可证()ABD CBE AAS ≅， 故可证()AEF CDF AAS ≅，
,AF CF AFC =∴得是等腰三角形。

22解法一：（1）选 ① ；
（2）证明：∵A
B C D 是正方形， ∴A B C D =，A C R t ∠=∠=∠． 又∵A E C F
=， ∴△A E B ≌△CFD ． ∴B E D F =． 解法二：（1）选 ② ；
（2）证明：∵A
B C D 是正方形， ∴AD ∥B C ． 又∵BE ∥DF ， ∴四边形E B F D 是平行四边形 ∴B E D F =． 解法三：（1）选 ③ ；）
（2）证明：∵A
B C D 是正方形， ∴A B C D
=，A C R t ∠=∠=∠． 又∵12∠=∠，
∴△A E B ≌△CFD ．
∴B E D F
=． 23解:⑴证明:∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°，
∴AB ＝AD ＝2
1
AC ，
∴AB ＋AD ＝AC 。

⑵成立。

证法一：如图，过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F 。

∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF.
∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ADC ＋∠CDE ＝180°, ∴∠CDE ＝∠ABC,
∵∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CED ≌△CFB,∴ED ＝FB,
∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE,由⑴知AF ＋AE ＝AC, ∴AB ＋AD ＝AC
证法二：如图，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG.
∵∠CAB ＝60°,AG ＝AC,∴∠AGC ＝60°,CG ＝AC ＝AG, ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ABC ＋∠CBG ＝180°, ∴∠CBG ＝∠ADC,∴△CBG ≌△CDA, ∴BG ＝AD,
∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC ， ⑶①3; ②2
cos
2α.
证明：由⑵知，ED ＝BF,AE ＝AF ， 在Rt △AFC 中，AC AF CAF =∠cos ,即AC
AF
=2cos α, ∴2
cos
α
AC AF =,
E A M
N
D
B C
F G
∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ＝22
cos
α
AC AF =，
24解（1）画角平分线，线段的垂直平分线． ······· （分，仅画出1条得2分） （2）BOE BOF DOF △≌△≌△ （4分，只要1对即可），证明全等．（6分） 25 (1)证明：在ΔABC 和ΔDCB 中
AB DC BC CB AC BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ΔABC ≌ΔDCB(SSS)
(2)等腰三角形。

26证明：BE CF =，BE EF EF CF ∴+=+，
BF CE ∴= ································
1分 在ABF △与DCE △中AB DC
B C BF CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
ABF DCE ∴△≌△
············ 2分 AF DE ∴= AFB DEC ∠=∠ OF OE ∴= ··················
1分 AF OF DE OE ∴-=- OA OD ∴= 1分
27解：（1）BM DN MN +=成立． ··················· （2分） 如图，把AND △绕点A 顺时针90，得到ABE △，
则可证得E B M ，，三点共线（图形画正确） · （3分） 证明过程中，
证得：EAM NAM ∠=∠ ········· （4分）
证得：AEM ANM △≌△ ······· （5分）
ME MN ∴= ME BE BM DN BM =+=+
DN BM MN ∴+=
··························· （6分） （2）DN BM MN -= ························· （8分）
28证明：(1)
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BF，∴ ∠D=∠ECF． ···················· 3分
∵ E 是CD 的中点，∴ DE = CE．
又 ∠AED=∠FEC， ············ 4分
∴ △ADE≌△FCE． ··········· 5分 (2) D ．或填“平行四边形”． ········ 8分
29解：（1）3对。

分别是：
△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF 。

（2）△BDE ≌△CDF 。

证明：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
B M E A
C
D N
所以∠BED=∠CFD=90° 又因为D 是BC 的中点，
所以BD=CD
在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，
⎩⎨
⎧==CF
BE CD
BD 所以△BDE ≌△CDF 。

30证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC 即：∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD ，AC=AE ∴△ABC ≌△ADE ∴BC=DE
31证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以AB=D C ，∠A=∠D ．因为M 为AD 的中点，所以AM=DM ．在
△ABM 和△DCM 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DM AM D A DC
AB ，所以△ABM ≌△DCM(SAS)，所以AM=MC ．
32． 解：∆ABC ≌∆DCB ··································· （2分） 证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ∴∠ABC =∠DCB ························· （4分） 在∆ABC 与∆DCB 中
AB DC
ABC DCB BC CB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∆ABC ≌∆DCB ·················································· （7分）（注：答案不唯一）
33证明： ∵∠1=∠B
∴∠AED =2∠B ，DE =BE ∴∠C =∠AED
在△ACD 和△AED 中
CAD EAD AD AD
C AE
D ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△AED ∴AC =AE ，CD =DE ，∴CD =BE ． ∴AB =AE +EB =AC +CD ．。